Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е.| Φ(p, t)|2 d3 p = 1,(16.61)упражне-(16.62)где d3 p = dpx dpy dpz и интегрирование по каждой проекции импульса ведется от−∞ до +∞. Преобразование волновой функции, обратное к (16.61), имеет вид(проверьте!)1Ψ(r, t) =(16.63)eip · r/ Φ(p, t) d3 p.(2π)3/2 p, t) состояния Â|Ψ(t) находитсяСогласно общей теории, волновая функция Φ(по формуле p, t) = p |Â| p Φ(p , t) d3 p .Φ((16.64)Найдем матричные элементы наиболее важных операторов: rˆ и pˆ. Проще начатьс оператора pˆ, так как для него импульсное представление является собственными, следовательно,pˆ | p = p | p .(16.65)Отсюда находим, что p | pˆ | p = p δ(p − p ).(16.66)Как и следовало ожидать, матрица оператора импульса в этом представлении диагональна. Подставляя выражение (16.66) в формулу (16.64), приходим к заключению, что действие оператора импульса на волновую функцию в своем собственномпредставлении сводится к умножению, т.
е. можно пользоваться правиломpˆ Φ(p, t) = p Φ(p, t).(16.67)Все это очень похоже на свойства оператора rˆ в координатном представлении.223Найдем теперь матричные элементы rˆ в импульсном представлении. Сделатьэто можно многими способами, но мы, чтобы еще раз проиллюстрировать применение схемы Дирака, будем исходить из общей формулы (16.46). Так как собственными значениями оператора rˆ являются векторы r, а в случае непрерывногоспектра суммирование заменяется интегрированием, то1∗3ˆ p |r | p = r r | p r | p d r =r e−i(p−p )·r/ d3 r.3(2π)Интеграл в последнем выражении можно записать следующим образом:11−i(p−p )·r/ 3−i(p−p)·r/3 pd r = i ∇d r ,r ee(2π)3(2π)3где векторный оператор p =∇∂∂∂,,∂px ∂py ∂pz(16.68)играет роль оператора градиента в пространстве импульсов.
Заметим теперь, что, согласно формуле (5.40),1(16.69)e−i(p−p ) · r/ d3 r = δ(p − p ).3(2π)Таким образом, матрица оператора rˆ в импульсном представлении принимает вид1 δ(p − p ).p | rˆ | p = i ∇p(16.70)Обратим внимание на сходство этого выражения с (16.58). Если мы теперь применим формулу (16.64) к Â = rˆ, то окажется, что в импульсном представленииоператор радиуса-вектора частицы действует на волновую функцию по правилу(проверьте!) p Φ(p, t).rˆ Φ(p, t) = i ∇(16.71)Зная, как действуют операторы rˆ и pˆ в импульсном представлении, можно построить, в принципе, всю квантовую механику одной частицы, используя вместоволновой функции Ψ(r, t), зависящей от координат, волновую функцию Φ(p, t), которая зависит от импульса частицы. Импульсное представление бывает удобнеекоординатного в некоторых задачах, но все-таки оно используется реже.Энергетическое представление. В этом представлении базисными квантовыми состояниями являются стационарные состояния системы, т.
е. собственныесостояния гамильтониана Ĥ. Как уже многократно отмечалось, в стационарномсостоянии точно определена не только энергия системы, но и все динамическиепеременные, операторы которых коммутируют с гамильтонианом. Полное числодинамических переменных (включая гамильтониан), имеющих точно определенные значения в стационарном состоянии, совпадает с числом степеней системы.1Определение производной дельта-функции приводится на стр.
221.224Например, у частицы, движущейся в центральном поле, гамильтониан коммути2рует с оператором квадрата момента импульса L̂ , с оператором его проекции L̂zна произвольно выбранную ось квантования z и с оператором проекции спинаŜz . Кроме того, все эти операторы коммутируют друг с другом. Таким образом,стационарные состояния частицы в центральном поле |n ≡ |n0 l m ms нумеруютсясложным индексом n, включающим четыре квантовые числа, которые определяютзначения всех перечисленных динамических переменных1 . Для системы, состоящей из N частиц, обладающих спином, количество квантовых чисел в индексе nравно 4N . Некоторые из этих квантовых чисел могут принимать непрерывныйнабор значений.Иногда в качестве базисных состояний бывает удобнее использовать не собственные состояния гамильтониана и коммутирующих с ним динамических переменных, а их ортонормированные линейные комбинации.
В качестве примера напомним, что в разделе 11.4. для электрона в водородоподобном атоме вводилисьстационарные состояния, которые характеризовались не l, m, ms , а квантовымичислами l, j, mj , где j определяет значение квадрата полного момента частицы, аmj — значение его проекции на ось квантования.Роль “волновой функции” в энергетическом представлении играет набор амплитуд вероятности n|Ψ(t) обнаружить систему в любом из базисных стационарныхсостояний, а разложение произвольного вектора состояния |Ψ(t) имеет вид|nn|Ψ(t).(16.72)|Ψ(t) =nПри решении конкретных задач энергетическое представление используется только для достаточно простых систем, так как для построения базисных состояний|n нужно точно решить стационарное уравнение Шредингера.16.4.Представление чисел заполнения для осциллятораМодель гармонического осциллятора очень часто встречается в приложенияхквантовой механики.
Например, в разделе 14.2. мы выяснили, что этой модельюописываются колебания молекул. Важную роль играет модель квантового осциллятора и в физике твердого тела, поскольку колебания атомов кристаллическойрешетки около положений равновесия также удается описать на языке связанныхдруг с другом квантовых осцилляторов. Ввиду практической ценности модели желательно иметь наиболее простое и удобное представление для квантовых состояний осциллятора и относящихся к нему операторов.
В этом разделе мы построимтакое представление; по причинам, которые станут ясны чуть позже, его обычноназывают представлением чисел заполнения, хотя стоит сразу же сказать,что оно совпадает с энергетическим представлением.Чтобы избежать удаленных ссылок на формулы из раздела 6.3., приведем ещераз наиболее важные факты и соотношения. Гамильтониан квантового гармонического осциллятора имеет видĤ =p̂x2mω 2 x̂2+,2m2(16.73)Мы обозначили главное квантовое число буквой n0 , чтобы не спутать его со всемсложным индексом n.1225где m — масса осциллятора1 , ω — частота колебаний осциллятора. Операторыкоординаты x̂ и импульса p̂x удовлетворяют коммутационному соотношению(16.74)[x̂, p̂x ] = i .В волновой механике Шредингера (т.
е. в координатном представлении) задачана собственные функции и собственные значения гамильтониана осциллятора точно решается (см. раздел 6.3.). В результате находится спектр энергии осциллятора1En = ω n +,n = 0, 1, 2, . . .(16.75)2и координатные волновые функции соответствующих стационарных состояний1/2 x122√ψn (x) =,(16.76),x0 =e−x /2x0 Hnnx0mω2 n! π x0где Hn (ξ) — полиномы Эрмита (6.40). Явный вид этих полиномов нам не понадобится, но в дальнейшем важную роль будут играть соотношенияξ Hn (ξ) = nHn−1 (ξ) +1H (ξ),2 n+1dHn (ξ)= 2nHn−1 (ξ),dξ(16.77)(16.78)проверку которых оставляем читателю (см. упражнение 16.8.).Функции (16.76) образуют полный ортонормированный набор функций на бесконечном интервале −∞ < x < +∞, поэтому в координатном представлении произвольная волновая функция осциллятора Ψ(x, t) может быть записана в виде рядаΨ(x, t) =∞Cn (t) ψn (x),(16.79)n=0где набор комплексных коэффициентов Cn (t) (амплитуд вероятности) описываетквантовое состояние осциллятора.В принципе, любую задачу, относящуюся к квантовому осциллятору, можнорешать в координатном представлении, используя волновые функции, зависящиеот x и t.
Но, к сожалению, при вычислении средних значений и других величинвсе время приходится обращаться к явному выражению (16.76) для собственныхфункций гамильтониана. Этого можно избежать, если описывать квантовые состояния осциллятора несколько иначе.Воспользуемся общей схемой Дирака и будем рассматривать стационарные состояния |n как базисные. Тогда произвольный вектор состояния осцилляторазапишется в виде (16.72). Пока, конечно, мы не получили никаких преимуществ:разложение (16.72) полностью эквивалентно формуле (16.79), поскольку Ψ(x, t) =Значение массы осциллятора зависит от свойств системы, к которой применяется этамодель.
В частности, для двухатомной молекулы m — приведенная масса ядер.1226x|Ψ(t) и ψn (x) = x|n. Идея, реализацию которой мы дальше рассмотрим, состоит в том, чтобы вместо операторов x̂ и p̂x ввести новые основные операторы,действующие непосредственно на базисные векторы состояния |n и обладающиепростыми свойствами.В качестве первого шага рассмотрим действие операторов x̂ и p̂x на волновыефункции стационарных состояний осциллятора (16.76). Начнем с оператора координаты. Используя свойство (16.77) полиномов Эрмита, легко проверить (см.упражнение 16.9.), чтоnn+1(16.80)x̂ψn ≡ x ψn = x0+ψψn+1 .2 n−12На языке векторов состояния это означает, чтоnn+1x̂|n = x0|n − 1 +|n + 1 .22(16.81)В самом деле, вычисляя матричные элементы n |x̂|n с помощью формул (16.80)и (16.81), мы получим одинаковые результаты.Посмотрим теперь, что дает действие оператора p̂x = −i ∂/∂x на волновуюфункцию ψn (x).
Здесь помогает свойство (16.78) полиномов Эрмита. После простых преобразований (см. упражнение 16.9.) получаемnn+1ip̂x ψn = −(16.82)−ψψn+1 ,x02 n−12или, переходя к векторам состояния,inn+1p̂x |n = −|n − 1 −|n + 1 .x022(16.83)Мы подошли к ключевому моменту. Введем операторы1â = 2x̂ix0+p̂ ,x0 x1â = 2†x̂ix0−p̂ .x0 x(16.84)Они обладают некоторыми важными свойствами. Во-первых, с помощью (16.81)и (16.83) находим действие этих операторов на базисные состояния |n:â|n =n |n − 1,↠|n =n + 1 |n + 1.(16.85)Таким образом, оператор ↠переводит стационарное состояние осциллятора с номером n в состояние с номером на единицу бо́льшим (с дополнительны множителем n + 1 ), а оператор â переводит |n в стационарное состояние с номеромна единицу меньшим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
