Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Это уже немало, но дело нетолько в удобстве схемы Дирака при выполнении математических манипуляций.Имеется глубокая физическая причина для построения квантовой механики безиспользования с самого начала волновой функции. По мере развития квантовоймеханики выяснилось, что существуют квантовые состояния, которые невозможно описать волновой функцией, зависящей от координат частиц, а для некоторых систем вообще невозможно разумным образом определить такую волновуюфункцию1 . Например, невозможно ввести понятие “волновой функции фотона”— кванта электромагнитного излучения.
Между тем, для фотона можно ввестиортонормированные базисные векторы состояний |p, α, где p — импульс фотона2 , а квантовое число α определяет состояние поляризации фотона — аналогОсобенно много таких примеров встречается в релятивистской квантовой теории.В качестве характеристики состояния фотона вместо импульса p часто используетсяволновой вектор k = p/.12214спинового состояния. Фотон, как и электрон, обладает собственным моментом импульса. Он не называется спином, так как его свойства несколько отличаются отсвойств спина “массивных” частиц. Собственный момент фотона может быть направлен либо вдоль направления его движения (т.
е. вдоль вектора импульса p ),либо в противоположную сторону. Проекция момента фотона Sp на направлениеp принимает значения Sp = α, где α = ±1. Говорят, что в состоянии с α = 1фотон является правополяризованным, а в состоянии с α = −1 — левополяризованным. Когерентное электромагнитное излучение с циркулярной поляризацией,знакомое читателю из курса оптики, состоит из фотонов с определенной поляризацией. Линейно поляризованное излучение состоит из фотонов, находящихся вквантовом состоянии |p, l, которое является суперпозицией состояний с разнымиполяризациями, например,11|p , l = √ |p , +1 + √ |p , −1.22(16.29)Как видим, можно описывать состояния фотона и составлять их суперпозицию, неприбегая к понятию волновой функции.16.2.Различные представления операторовОбсудим теперь вопрос о том, как работать с операторами в квантовой механике, построенной на основе понятия векторов состояния.
Пока мы имеем лишьпостулат, что оператор, действуя на любой вектор состояния, переводит его в другой вектор состояния. Опираясь только на этот постулат можно дать важноеопределения линейного оператора 1 .• Оператор Â называется линейным, если он обладает свойством Âci |Ψi =ci Â|Ψi ,i(16.30)iгде |Ψi — любые векторы состояния системы, ci — произвольные комплексные числа.Нетрудно также, действуя по аналогии с алгеброй операторов в волновой механикеШредингера, ввести общее определение эрмитово сопряженного оператора исамосопряженного (или эрмитового) оператора.
В схеме Дирака оператор †называется эрмитово сопряженным оператору Â, если для любых векторов состояния выполняется равенствоΨ1 |† |Ψ2 = Ψ2 |Â|Ψ1 ∗ .(16.31)Если † = Â, то оператор  называется самосопряженным или эрмитовым.Более сложным является, на первый взгляд, вопрос: как определить само действие интересующего нас оператора на векторы состояния? Не станем же мыперечислять результаты его действия на все возможные векторы состояний системы. Выход из положения такой:Как известно, все операторы наблюдаемых физических величин — линейные операторы, поэтому нас прежде всего интересует этот класс операторов.12151) Нужно определить, как оператор действует на волновую функцию a|Ψ хотябы в одном из возможных представлений.2) Нужно сформулировать правило, позволяющее определить действие оператора на волновую функцию b|Ψ в любом другом представлении.Решив эти две задачи, мы сможем, например, исходить из координатного представления, где уже было построено много различных операторов, а затем найтиявный вид этих операторов в том представлении, которое нас интересует.
Или,если оператор встречается первый раз, можно построить его сначала в наиболееудобном для этого представлении, а затем распространить его действие на вседругие представления.Итак, пусть  — некоторый линейный оператор. Найдем, как он действует наволновую функцию a|Ψ в a-представлении. Если = Â|Ψ,|Ψ(16.32)то нужно найти связь между a|Ψ и волновой функцией возникшего состояния Здесь опять помогают скобочные обозначения Дирака. Умножая скалярноa|Ψ.обе части равенства (16.32) на базисный вектор |a, получим = a|Â|Ψ = a| 1̂|Ψ =a|Ψa|Â|a a |Ψ,aгде мы снова воспользовались выражением (16.21) для единичного оператора.Комплексные числа a|Â|a называются матричными элементами операторав a-представлении. Набор матричных элементов образует матрицу операторав данном представлении. Итак, мы приходим к заключению:• В любом a-представлении действие оператора  на волновые функции в этомпредставлении Ψ(a) ≡ a|Ψ полностью определяется его матричными элементами Aaa ≡ a|Â|a :Ψ(a)=Aaa Ψ(a ), = Â|Ψ .если |Ψ(16.33)aИначе говоря, достаточно знать, как оператор действует на базисные векторы состояний |a, чтобы определить его действие на произвольную волновую функциив этом представлении.Все свойства операторов можно записать на языке матричных элементов.Например, матрица эрмитово сопряженного оператора † , согласно соотношению (16.31), выражается через матрицу самого оператора  такой формулой:(† )aa = A∗a a .(16.34)Если оператор  эрмитов, то его матричные элементы в любом представленииудовлетворяют соотношениюAaa = A∗a aдля эрмитового оператора.(16.35)216В математике матрицы с таким свойством называют эрмитовыми.Если базисных состояний |a немного, то Aaa — обычная матрица, знакомая читателю из курса алгебры.
Проиллюстрируем это на следующем простом примере.Предположим, что оператор Â изменяет только спиновое состояние электрона1 .Введем базисные спиновые состояния| ↑ ≡ |1,| ↓ ≡ |2.(16.36)В первом состоянии проекция спина электрона на ось квантования z равна Sz =/2, а во втором Sz = −/2.
Базисные векторы состояния ортогональны друг кдругу и можно считать, что они нормированы на единицу. Произвольное спиновоесостояние электрона описывается вектором |χ, который имеет вид суперпозиции|χ = c1 | ↑ + c2 | ↓ ≡ c1 |1 + c2 |2.(16.37)Для того, чтобы вектор состояния был нормирован на единицу, комплексные коэффициенты c1 и c2 должны удовлетворять условию (проверьте!)|c1 |2 + |c2 |2 = 1.(16.38)Собственно говоря, коэффициентыc1 = 1|χ,c2 = 2|χ(16.39)и играют роль спиновой “волновой функции” электрона в представлении с базисными состояниями (16.36), причем |c1 |2 есть вероятность того, что Sz = /2, а |c2 |2— вероятность того, что Sz = −/2.Любой спиновый оператор электрона Â в базисе (16.36) представляется матрицейA11 A12.(16.40)Aij =A21 A22Если |χ = Â|χ, то спиновая “волновая функция” (коэффициенты c1 и c2 ) длясостояния |χ, согласно общей формуле (16.33), находятся по формуламci =2Aij cj .(16.41)j=1Удобно записать спиновую волновую функцию в виде столбца (спинора) 10c1= c1+ c2.χ=01c2(16.42)Тогда правая часть формулы (16.41) выглядит как произведение матрицы Aij настолбец cj .
Как видим, мы пришли к описанию спиновых состояний и спиновыхоператоров электрона, которое уже было сформулировано в параграфе 11 на основе других соображений. Теперь мы исходили из общей схемы Дирака.1Это могут быть, например, операторы проекций спина Ŝx , Ŝy , Ŝz .217В рассмотренном примере базисных состояний было всего два, поэтому в математическом отношении теория спина электрона оказалась очень проста.
К сожалению, в большинстве случаев базис {|a} содержит бесконечное число векторовсостояния. В частности, даже для одной частицы естественный базис |p Sz бесконечен, так как проекции импульса p могут принимать бесконечный набор значений.Матричные элементы операторов p Sz |Â|p Sz в этом базисе образуют матрицы сбесконечным числом столбцов и строк. Наглядно изобразить их, конечно, невозможно.Для полноты нужно сформулировать правило, по которому, зная матрицу оператора Aaa в a-представлении, можно найти матрицу этого оператора Abb в любомдругом b-представлении. Решить эту задачу в общем виде совсем несложно.
Запишемb|a a|Â|a a |b ,b|Â|b = b|1̂Â1̂|b =a ,aгде для двух единичных операторов было использовано выражение (16.21). Итак,правило преобразования матрицы оператора гласит:• Матрицы одного и того же оператора Â в двух различных представленияхсвязаны соотношениемAbb =b|a b |a ∗ Aaa .(16.43)a,aПри записи правой части мы заменили a |b на b |a ∗ , что можно сделать в силуравенства (16.25). Подчеркнем, что матрицы всех операторов при переходе отодного представления к другому преобразуются совершенно одинаково.Как уже знает читатель, в квантовой механике важную роль играют собственные волновые функции операторов физических величин. В частности, набор собственных функций любой такой величины является полным и, следовательно, поэтим функциям можно разложить любую волновую функцию системы.
В схемеДирака естественно ввести понятие собственных векторов операторов.• Вектор состояния |A называется собственным вектором оператора Â, если выполняется соотношениеÂ|A = A|A.(16.44)Комплексное число A называется собственным значением оператора.Уравнение (16.44) на собственные значения и собственные векторы оператора можно преобразовать в уравнение для волновой функции ψA (a) ≡ a|A в любом aпредставлении (см.
упражнение 16.4.).Предположим, что уравнение (16.44) решено, т. е. найдены все собственныезначения An данного оператора Â и соответствующие собственные векторы |n.Если Â соответствует наблюдаемой физической величине, то набор {|n} является полным1 . Поэтому его можно взять в качестве базисного набора состояний(предварительно проведя процедуру ортогонализации и нормирования) и построить соответствующее представление для волновых функций и операторов.Обсуждение вопроса о полноте набора собственных состояний физических величинсм. в разделе 5.4.1218• Представление, в котором базисные векторы состояний |n являются собственными векторами оператора Â, называется собственным представлением этого оператора.Особая роль собственного представления состоит в следующем очевидном факте:• В собственном представлении оператора Â его матрица Ann ≡ n|Â|n диагональна:Ann = An δnn ,(16.45)где An — собственные значения оператора.Благодаря этому свойству матричные элементы оператора в любом другом aпредставлении можно выразить через его собственные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
