Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вспоминая формулу (16.43), находим, чтоAaa =a|n a |n∗ An .(16.46)nВ заключении остановимся еще на одном моменте. Напомним читателю, чтонаблюдаемыми значениями физических величин, т. е. значениями, которые реально могут быть измерены в эксперименте, являются средние значения, которые всхеме Дирака даются формулойAt = Ψ(t)|Â|Ψ(t).(16.47)Они могут быть вычислены в любом a-представлении с помощью волновойфункции системы Ψ(a, t) = a|Ψ(t).
Действительно, используя опять соотношение (16.21), пишемAt =Ψ(t)|a a|Â|a a |Ψ(t)a ,aили, что то же самое,At =Ψ∗ (a, t) Aaa Ψ(a , t).(16.48)a,aЧитатель согласится, наверное, что на уровне общих соотношений изложеннаявыше схема квантовой механики довольно проста и красива. Для лучшего усвоения смысла основных понятий рекомендуем читателю самостоятельно разобратьнесколько примеров, которые приведены в упражнениях к этому параграфу.
Следует, однако, отметить, что построение базисных векторов состояния, вычислениематричных элементов операторов и волновых функций для конкретной квантовойсистемы может оказаться сложной задачей. Тем не менее, теория Дирака служитнадежной основой для многочисленных приложений квантовой механики и поканаходится “вне конкуренции”. В разное время были предложены и другие схемы,но они оказались более удобными лишь для решения частных проблем.21916.3.Координатное, импульсное и энергетическоепредставленияДля иллюстрации формальных конструкций из предыдущих разделов рассмотрим три представления, которые весьма часто используются в конкретных задачах.Координатное представление. Начнем с координатного представления, которое соответствует волновой механике Шредингера. Однако теперь мы взглянемна него с точки зрения общей схемы Дирака. Для простоты ограничимся случаемодной бесспиновой частицы1 .В координатном представлении базисными квантовыми состояниями частицыявляются состояния |r ≡ |x, y, z, где совокупность координат играет роль индекса“a” базисного состояния.
В состоянии |r частица локализована в точке с радиусомвектором r. Спектр координат непрерывный, поэтому базисные векторы состояниянормированы на дельта-функцию:r |r = δ(r − r ) ≡ δ(x − x ) δ(y − y ) δ(z − z ).(16.49)Условие полноты набора базисных векторов состояния |r , согласно (16.21), символически записывается в виде(16.50)|r r | d3r = 1̂ ,где для элемента объема введено обозначение d3r = dx dy dz . Разложение произвольного вектора состояния частицы по базисным дается формулой|Ψ(t) = |r r |Ψ(t) d3r.(16.51)Скалярные произведения (они же — амплитуды вероятности)Ψ(r, t) = r |Ψ(t)(16.52)играют роль волновой функции в координатном представлении. Это — хорошознакомая волновая функция Шредингера. Таким образом, произвольный векторсостояния частицы выражается через Ψ(r, t):|Ψ(t) =Ψ(r, t) |r d3r.(16.53)Благодаря этому соотношению и условию нормировки (16.49) все действия с векторами состояния в координатном представлении сводятся к действиям с волновыми функциями.
В качестве простого упражнения проверим, что волновая функция нормирована на единицу, если вектор состояния |Ψ(t) удовлетворяет условиюΨ(t)|Ψ(t) = 1. Из (16.52) следует, что2 3|Ψ(r, t)| d r = Ψ(t)|r r |Ψ(t) d3r = Ψ(t)|1̂|Ψ(t) = 1,Некоторые приводимые ниже соотношения являются обобщением на трехмерный случай формул для одномерного движения, кратко рассмотренного в разделе 16.1.1220где мы использовали свойство скалярного произведения векторов состоянияr |Ψ(t)∗ = Ψ(t)|r и условие полноты базиса (16.50). Покажем теперь, чтоскалярное произведение двух векторов состояния |Ψ1 и |Ψ2 в координатномпредставлении выражается через скалярное произведение волновых функцийΨ1 (r ) и Ψ2 (r ), которым мы неоднократно пользовались.
Действительно, сноваиспользуя условие полноты (16.50), находим, что3Ψ1 |Ψ2 = Ψ1 |1̂|Ψ2 = Ψ1 | r r |Ψ2 d r = Ψ∗1 (r ) Ψ2 (r ) d3r.Посмотрим теперь, как выглядит в координатном представлении основное пра это волноваявило действия операторов (16.33). Поскольку в данном случае a|Ψ r, t), а суммирование по индексу базисных состояний — интегрированиечастицы Ψ(по r, операторы в координатном представлении должны действовать на волновыефункцию следующим образом: r, t) = r |Â| r Ψ(r , t) d3r .Ψ((16.54) r, t) = (ÂΨ)(r, t) — волновая функция состояния Â|Ψ(t),Здесь, как и в (16.33), Ψ(а r |Â| r — матричные элементы оператора в координатном представлении.
Напервый взгляд, формула (16.54) совершенно не похожа на правила, по которымоператоры действовали на волновую функцию в волновой механике Шредингера.Например, для основных операторов rˆ и pˆ, из которых строился гамильтониан,оператор момента импульса и т. д., мы имели довольно простые соотношения(rˆ Ψ)(r, t) = r Ψ(r, t), r, t),(pˆ Ψ)(r, t) = −i ∇Ψ((16.55)т.е. действие операторов координат x̂, ŷ, ẑ сводилось к умножению волновой функции на сами координаты, а действие операторов проекций импульса — к дифференцированию волновой функции по координатам. Вместо этого, в формуле (16.54)производится интегрирование волновой функции с матричными элементами оператора1 .
Покажем, однако, что формула (16.54) дает старые привычные правиладля rˆ и pˆ.Напомним, что координатное представление является собственным представлением для операторов x̂, ŷ, ẑ, т. е.rˆ |r = r |r .(16.56)Поэтому матрица оператора rˆ оказывается, как и должно быть, диагональной:r | rˆ | r = r δ(r − r ).(16.57)Подставляя это выражение в (16.54) и вспоминая основное свойство дельтафункции, приходим к первому равенству (16.55).В математике говорят, что формула (16.54) определяет интегральное преобразованиеволновой функции.1221Покажем теперь, что для оператора импульса мы также получаем старое правило, если определим матричные элементы этого оператора формулой δ(r − r ),r | pˆ | r = −i ∇(16.58) = {∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z} означает дифференцирование по проекциям r. Вгде ∇формулу (16.58) входят производные дельта-функции, которые пока не встречались.
Так как сама дельта-функция относится к обобщенным функциям (см. раздел 5.6.), то и ее производные естественно определить как обобщенные функции,т. е. через интегралы с обычными гладкими функциями. Мы ограничимся определением производной дельта-функции δ (x − x0 ) от одного аргумента x. Обобщениена случай нескольких переменных оставим читателю. По определению,+∞δ (x − x0 ) f (x) dx = −f (x0 ).−∞Легко заметить, что это правило соответствует хорошо известному приему “интегрирования по частям”. Аналогично определяются производные дельта-функцииδ (n) (x − x0 ) высших порядков.Согласно общему правилу (16.54) действия оператора на волновую функцию вкоординатном представлении, имеемˆ(p Ψ)(r, t) =r |pˆ |r Ψ(r , t) d3r == −i∇3 δ (r − r ) Ψ(r , t) d r r, t).= −i∇Ψ(Таким образом, в координатном представлении общая схема квантовой механики,предложенная Дираком, эквивалентна волновой механике Шредингера.Импульсное представление.
В импульсном представлении в качестве базисных состояний берутся собственные состояния оператора импульса частицы. Обозначим эти состояния |p ≡ |px , py , pz . Для определенности будем считать, чтоспектр импульса непрерывный1 .Волновую функцию частицы Φ(p, t) = p |Ψ(t) в импульсном представлении2можно выразить через Ψ(r, t) с помощью соотношения (16.23), где следует положить b = p и a = r:(16.59)Φ(p, t) = p | r Ψ(r, t) d3 r.Интегрирование по каждой из переменных x, y, z ведется от −∞ до +∞, так какмы предположили, что частица движется в неограниченной области. Остаетсянайти матрицу преобразования p | r от координатного представления к импульсному.
Проще, однако, найти сначала матрицу r | p , а потом воспользоватьсяЭто означает, что частица движется в неограниченной области пространства (см.раздел 5.7.).2Чтобы не спутать ее с волновой функцией Ψ в координатном представлении, мыобозначаем эту функцию буквой Φ.1222соотношением (16.25). В самом деле, r | p = ψp (r ) есть не что иное как волноваяфункция свободной частицы с импульсом p в координатном представлении. Длянее мы имеем явное выражение (5.47). Поэтомуp | r = r | p ∗ =1e−ip · r/ .3/2(2π)(16.60)Вспоминая (16.59), находим связь между волновыми функциями частицы в координатном и импульсном представлениях:1Φ(p, t) =(2π)3/2e−ip · r/ Ψ(r, t) d3r.Если Ψ(r, t) нормирована на единицу, то нетрудно проверить (см.ние 16.7.), что Φ(p, t) также нормирована на единицу, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
