Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 57
Текст из файла (страница 57)
. , qN , t), зависящей от огромного числа переменных. Найдемгамильтониан (17.17) в представлении чисел заполнения, где квантовое состояниегаза определяется набором амплитуд вероятности C ({nl }, t) в разложении (17.8),а все динамические переменные выражаются через операторы рождения иуничтожения.Прежде всего нужно выбрать одночастичные состояния |l, с помощью которыхстроится представление чисел заполнения. В принципе, эти состояния можно выбрать как угодно, лишь бы они образовывали полный набор состояний для однойчастицы.
Желательно, однако, выбрать состояния |l так, чтобы гамильтониан выглядел попроще. Заметим, что гамильтониан идеального квантового газа (17.17)относится к аддитивным динамическим переменным типа Â(1) [см. (17.11)], причем роль одночастичного оператора Â(1) играет оператор кинетической энергииp̂2 /2m. Поэтому гамильтониан (17.17) выражается через операторы рождения иуничтожения формулой (17.13). Естественно выбрать одночастичные состояния |lтак, чтобы матрица l |p̂2 |l была диагональной. Легко сообразить, что подходящими одночастичными состояниями, образующими полный и ортонормированныйнабор, являются состояния |l = |p, ms , где p — импульс частицы, а ms — магнитное квантовое число, которое определяет проекцию спина частицы (если онне равен нулю) на ось квантования z.
Таким образом, основными операторами, спомощью которых можно записать гамильтониан и все интересующие нас операторы динамических переменных, являются операторы рождения â†p, ms и операторыуничтожения âp, ms частиц в квантовых состояниях |p, ms .Здесь, правда, нужно сделать одно замечание. Как мы видели в разделе 5.7.,спектр значений импульса частицы может быть непрерывным (если область движения не ограничена) и дискретным (если частица движется в конечном объемеV ). Наши предыдущие рассуждения относились к случаю, когда базисные одночастичные состояния |l нумеруются дискретным индексом l. Действительно,всюду мы писали суммы по l, а это можно делать только тогда, когда этот индексдискретный. В принципе, можно было бы обобщить всю схему на случай непрерывного набора базисных одночастичных состояний, но это не обязательно. Болеетого, само предположение о том, что объем, занимаемый газом (или любой другойсистемой частиц), бесконечен, физически абсурдно, поскольку средняя плотностьчастиц в бесконечном объеме равна нулю! Обычно поступают так.
Объем системыV считается большим, но конечным. Тогда спектр импульса частицы является дискретным и дается формулами (5.62). В конце вычислений, если необходимо, можноперейти от суммирования по возможным проекциям импульса к интегрированиюсогласно правилу (5.63).236Итак, будем считать, что спектр импульса частицы p дискретный, т. е. рассматриваемый нами бозе-газ находится в конечном объеме V . В этом случае векторыодночастичных состояний |p, ms нормированы на единицу:p , ms |p, ms = δp, p δms ,ms ,(17.18)где для краткости мы записали(17.19)δp, p = δpx ,px δpy ,py δpz ,pz .Поскольку |p, ms являются собственными состояниями импульса, матричные элементы оператора p̂ 2 легко вычисляются:p , ms |p̂ 2 |p, ms = p2 δp, p δms ,ms .Таким образом, гамильтониан бозе-газа (17.17) в представлении чисел заполнения(при выборе |p, ms в качестве одночастичных состояний) принимает видĤ = p2 †â.â2m p , ms p , ms(17.20)p, msЭту формулу можно записать в более наглядном виде, если вспомнить определениеоператоров чисел заполнения [ср.
(17.5)]:n̂p , ms = â†p , ms âp , ms .(17.21)Тогда мы приходим к выражениюĤ =p, msε(p ) n̂p , ms ,ε(p ) =p2.2m(17.22)Модель идеального квантового газа служит нулевым приближением при исследовании многих реальных физических систем, в которых взаимодействие междучастицами по тем или иным причинам можно считать слабым. Поэтому имеетсмысл хотя бы кратко остановиться на некоторых простых, но важных следствияхиз выражения (17.22).Прежде всего легко проверяется, что базисные квантовые состояния системы впредставлении чисел заполнения|{np , ms } = | . . . , np , ms , .
. . (17.23)являются собственными состояниями гамильтониана (17.22). Для этого достаточноподействовать гамильтонианом на любое базисное состояние и вспомнить правилодействия операторов чисел заполнения (17.6). Собственные значения образуютспектр энергии бозе-газа:E=ε(p ) np , ms ,(17.24)p, msгде числа заполнения должны удовлетворять дополнительному условиюnp , ms = N,p, ms(17.25)237а каждое из np , ms может принимать любое целое значение от нуля до N . Итак,стационарные состояния бозе-газа отличаются друг от друга тем, что частицыпо-разному распределены по одночастичным состояниям |p, ms , причем энергиявсей системы в стационарном состоянии равна сумме энергий свободно движущихся частиц.
Это вполне согласуется с нашими интуитивными представлениями об“идеальном газе”.Отметим одно важное обстоятельство. В основном состоянии бозе-газа все Nчастиц имеют минимальную энергию ε(p ) = 0, которая соответствует нулевомузначению импульса. Как мы увидим в следующем разделе, для идеального квантового газа из одинаковых фермионов это не так.Произвольное квантовое состояние бозе-газа описывается вектором состоянияC({np , ms }; t) |{np , ms },(17.26)|Ψ(t) ={np , m }sгде суммирование ведется по всем наборам чисел заполнения, удовлетворяющимусловию (17.25).
Величины w({np , ms }; t) = |C({np , ms }; t)|2 есть вероятности различных наборов чисел заполнения в состоянии |Ψ(t).Найдем, как меняются со временем средние числа заполнения одночастичныхсостоянийn̄p , ms (t) ≡ n̂p , ms t = Ψ(t)|n̂p , ms |Ψ(t).(17.27)Используя формулы (4.31) и (4.32), получаем уравнение1dn̄p , ms (t)dt=1, Ĥ]t .[n̂i p , ms(17.28)В принципе, это уравнение справедливо для системы с любым гамильтонианом. Вслучае идеального квантового газа, когда гамильтониан имеет вид (17.22), праваячасть уравнения (17.28) равна нулю, так как операторы чисел заполнения коммутируют друг с другом (см.
упражнение 17.2.). Таким образом, если частицыне взаимодействуют друг с другом, то средние числа заполнения одночастичныхсостояний не зависят от времени и равны их значениям в некоторый начальныймомент времени.Напомним, однако, фундаментальный физический принцип, который гласит,что в любой многочастичной системе со временем устанавливается равновесноемакроскопическое состояние или, как часто говорят, — тепловое равновесие. Втепловом равновесии должно существовать некоторое распределение частиц n̄p , msпо одночастичным квантовым состояниям, которое не зависит от начального распределения и определяется лишь внешними условиями (например, температуройгаза).
Может ли уравнение (17.28) описать процесс установления теплового равновесия? Оказывается, что может, но для этого в гамильтониане нужно учестьоператор взаимодействия2 .При использовании формулы (4.32) нужно учесть, что операторы чисел заполненияn̂p , m не зависят от времени.s2Если взаимодействие частиц с номерами i и j описывается энергией взаимодействияU (|ri − rj |), то оператор взаимодействия всех частиц относится к динамическим переменным бинарного типа [см.
(17.14)].1238Изучением неравновесных процессов в квантовых системах и их равновесныхмакроскопических свойств занимаются специальные разделы квантовой теории:квантовая кинетика и квантовая статистическая механика. По понятным причинам мы не можем здесь углубляться в эти интересные, но довольно сложныенауки. Отметим только, что представление чисел заполнения играет в них исключительно важную роль.
В частности, уравнение (17.28) служит прообразом такназываемых квантовых кинетических уравнений, описывающих неравновесныепроцессы в кристаллах, плазме и других макроскопических системах, где необходимо учитывать квантовые эффекты.17.2.Представление чисел заполнения для фермионовЕсли система состоит из N одинаковых фермионов, т. е. частиц с полуцелымспином, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, то в изложенную выше схемунужно внести изменения.Прежде всего напомним, что в координатном представлении любая волноваяфункция системы фермионов должна быть антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому нужно исходить из разложения (12.36)волновой функции по антисимметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.32). Как и в случае бозонов, квантовое состояние системы(a)фермионов, которое описывается базисной волновой функцией Φ{n } (q1 , .
. . , qN ),lполностью определяется набором чисел заполнения {nl } одночастичных состояний |l . Однако теперь каждое nl может принимать только два значения: 0 или1. Иначе говоря, состояние |l может быть либо свободным, либо занятым лишьодной частицей.Представление чисел заполнения для фермионов строится примерно так же,как и в предыдущем разделе. Расположим значения индекса одночастичных состояний l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы (17.1),где {nl } — наборы чисел заполнения, удовлетворяющие дополнительному условию (12.23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
