Главная » Просмотр файлов » Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 58

Файл №1083078 Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики) 58 страницаБерзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078) страница 582018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Отметим еще раз, что для фермионов {nl } — последовательностьнулей и единиц. В координатном q-представлении базисные состояния системыописываются антисимметричными волновыми функциями (12.32), т. е.(a)Φ{n } (q1 , . . . , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.29)Любой вектор состояния системы фермионов |Ψ(t) может быть представлен ввиде разложения по базисным векторам, которое формально совпадает с формулой (17.8) для бозонов, но в данном случае аргументом амплитуды C({nl }, t)является последовательность нулей и единиц.Теперь требуется определить операторы рождения â†l и уничтожения âl частицтак, чтобы операторы динамических переменных типа (17.11) выражались черезоператоры рождения и уничтожения формулами (17.13) и (17.14).

Легко заметить,что для фермионов прежние правила действия (17.4) операторов â†l и âl не годятся.Рассмотрим, например, второе правило. Если nl = 1, т. е. одночастичное состояние |l “заполнено”, то в результате действия оператора â†l получается состояниесистемы, в котором nl = 2. Это, однако, противоречит принципу Паули, согласнокоторому два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же одночастичном состоянии. Таким образом, пытаясь распространить правила (17.4)239на системы фермионов, мы получаем не существующие в природе состояния или,как обычно говорят, нефизические состояния.Для того, чтобы правильно определить действие операторов рождения и уничтожения для систем фермионов, нужно рассмотреть матричные элементы операторов динамических переменных вида (17.12), но с антисимметричными волновыми функциями (12.32), а потом “угадать” правила действия операторов рожденияи уничтожения.

Это впервые удалось двум физикам — П. Йордану и Е. Вигнерув 1928 г. Мы не будем приводить соответствующие математические детали, а сразу выпишем правила действия операторов рождения и уничтожения на базисныевекторы состояния системы фермионов:âl | . . . , nl , . .

. = (−1)νl√nl | . . . , 1 − nl , . . .,â†l | . . . , nl , . . . = (−1)νl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . ..Здесь νl =l−1(17.30)nl — число заполненных одночастичных состояний, предшеству-k=1ющих состоянию |l. Как видим, правила оказались более сложными, чем длябозонов. Впрочем, для практических вычислений сами эти правила используютсяочень редко.

Обычно достаточно знать основные свойства операторов рождения иуничтожения, которые мы теперь рассмотрим.Покажем, что оператор числа частиц в состоянии |l, как и в случае бозонов,имеет вид (17.5). С этой целью найдем, как действует оператор n̂l на базисныевекторы состояния системы. Используя формулы (17.30), пишемâ†l âl | . . . , nl , .

. . = (−1)νl√nl â†l | . . . , 1 − nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..Итак, мы приходим к соотношениюâ†l âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl , . . .,(17.31)которое показывает, что n̂l = â†l âl действительно играет роль оператора числачастиц в состоянии |l.Проверим теперь, что при действии операторами âl и â†l на базисные состояниясистемы не возникает нефизических состояний с числами заполнения, превышающими единицу. Опять используя формулы (17.30), находимâl | . . . , 0, . .

. = 0,âl | . . . , 1, . . . = (−1)νl | . . . , 0, . . .,â†l | . . . , 0, . . . = (−1)νl | . . . , 1, . . .,â†l | . . . , 1, . . . = 0.(17.32)Особо отметим последнее равенство. Благодаря ему нефизические состояния системы с nl > 1 не появляются в теории. Кроме того, из равенств (17.32) следует,что(â†l )2 ≡ â†l â†l = 0.(17.33)(âl )2 ≡ âl âl = 0,Эти свойства операторов рождения и уничтожения фермионов несколько необычны; до сих пор не встречались операторы, квадрат которых был бы равен нулю.240Как и в случае бозонов, очень важны коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения. Посмотрим, что дает действие оператора âl â†lна базисные векторы состояния системы.

Применяя правила (17.30), пишемâl â†l | . . . , nl , . . . = (−1)νlИтак,1 − nl âl | . . . , 1 − nl , . . . = (1 − nl )| . . . , nl , . . ..âl â†l | . . . , nl , . . . = (1 − nl ) | . . . , nl , . . ..(17.34)Сравнивая это равенство с (17.31), видим, что коммутатор âl â†l − â†l âl не равен единичному оператору 1̂, как это было в случае бозонов. Заметим, однако, что можнополучить единичный оператор, если вместо коммутатора построить другую конструкцию из операторов рождения и уничтожения. Введем для любых двух операторов  и B̂ так называемый антикоммутатор {Â, B̂}, который определяетсяформулой{Â, B̂} ≡ ÂB̂ + B̂ Âантикоммутатор.(17.35)Из (17.31) и (17.34) следует, чтоâl â†l + â†l âl | .

. . , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..Поскольку это равенство справедливо для любого базисного вектора состояния,имеем{âl , â†l } = 1.(17.36)Нетрудно доказать, что операторы рождения и уничтожения фермионов, относящиеся к разным одночастичным состояниям |l и |l , антикоммутируют друг сдругом, т. е.(17.37){â†l , â†l } = {âl , âl } = {â†l , âl } = 0, если l = l .Идея доказательства всех этих равенств одна и та же, поэтому мы ограничимсяравенством {â†l , â†l } = 0. Доказательство остальных равенств оставляем читателюв качестве упражнения.Так как любой вектор состояния системы записывается в виде суперпозиции (17.8), то достаточно проверить, что при действии операторов â†l â†l и â†l â†l налюбой базисный вектор состояния | .

. . , nl , . . . , nl , . . . результаты различаютсялишь знаком. Предположим сначала, что l < l . Тогда, следуя правилам (17.30),находимâ†l â†l | . . . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl1 − nl1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , . . ..Изменив порядок операторов в произведении, получим соотношениеâ†l â†l | .

. . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl +11 − nl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , . . ..241Во втором случае появляется дополнительный множитель (−1). Каково его происхождение? Дело в том, что оператор â†l изменяет число заполнения nl . Еслив исходном базисном состоянии системы nl = 0, то после действия â†l получаетсясостояние с nl = 1. Так как мы предположили, что l < l , то в состоянии системы,на которое действует â†l , число заполненных одночастичных состояний, предшествующих |l , возросло на единицу.

Это и приводит к появлению дополнительногомножителя (−1) в результате. Если l > l , рассуждения проводятся совершенноаналогично, поэтому мы не будем их повторять1 .Итак, операторы рождения и уничтожения фермионов удовлетворяют “антикоммутационным” соотношениям{âl , âl } = {â†l , â†l } = 0,{âl , â†l } = δll .(17.38)Они заменяют коммутационные соотношения (17.10) для бозонов. В квантовоймеханике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям (17.38), принято называть ферми-операторами. С помощью фермиоператоров описывается, например, система электронов в кристаллах. В качествеодночастичных состояний |l обычно выбираются стационарные состояния электрона в периодическом поле решетки |α, k, ms , где α — номер энергетическойзоны, k — волновой вектор одноэлектронного состояния2 , ms — магнитноеспиновое число. Эти состояния подробно обсуждались в параграфе 15.Важным обстоятельством является то, что операторы динамических переменных для системы фермионов выражаются через операторы рожденияи уничтожения точно такими же формулами, что и в случае бозонов.

Вчастности, для аддитивных динамических переменных и переменных бинарноготипа [см. (17.11)] получаются выражения (17.13) и (17.14), где теперь âl и â†l —ферми-операторы. Таким образом, тип статистики частиц в рассматриваемойсистеме автоматически учитывается алгебраическими свойствами соответствующих операторов рождения и уничтожения, а многие формулы имеют совершенноодинаковый вид как для бозонов, так и для фермионов. Это значительноупрощает исследование свойств многочастичных квантовых систем с помощьюпредставления чисел заполнения.Упражнения17.1. Доказать коммутационные соотношения (17.9).Указание: Достаточно проверить, что любой из коммутаторов (17.9) при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль.17.2.

Доказать, что операторы чисел заполнения n̂l для бозонов коммутируютдруг с другом.Указание: Достаточно проверить, что коммутатор [n̂l , n̂l ] при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль. Для этого проще всего воспольСлучай, когда в исходном базисном состоянии системы nl = 1, можно не рассматривать, так как оба оператора â†l â†l и â†l â†l при действии на такое базисное состояние даютнуль.2Можно, конечно, характеризовать состояние электрона не волновым вектором k, аквазиимпульсом p = k.1242зоваться соотношением (17.7).17.3.

Проверить антикоммутационные соотношения (17.38) для фермиоператоров.Указание: Пример доказательства одного из этих соотношений приведен в тексте. Остальные доказываются аналогичным способом.17.4. Проверить, что для бозе- и ферми-операторов[âl , n̂l ] = δll âl ,[â†l , n̂l ] = −δll â†l .(17.39)Указание: Вывод коммутационных соотношений для любых операторовв представлении чисел заполнения легко проводится с помощью основныхравенств (17.10) и (17.38).В качестве примера дадим вывод первого изсоотношений (17.39).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее