Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Отметим еще раз, что для фермионов {nl } — последовательностьнулей и единиц. В координатном q-представлении базисные состояния системыописываются антисимметричными волновыми функциями (12.32), т. е.(a)Φ{n } (q1 , . . . , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.29)Любой вектор состояния системы фермионов |Ψ(t) может быть представлен ввиде разложения по базисным векторам, которое формально совпадает с формулой (17.8) для бозонов, но в данном случае аргументом амплитуды C({nl }, t)является последовательность нулей и единиц.Теперь требуется определить операторы рождения â†l и уничтожения âl частицтак, чтобы операторы динамических переменных типа (17.11) выражались черезоператоры рождения и уничтожения формулами (17.13) и (17.14).
Легко заметить,что для фермионов прежние правила действия (17.4) операторов â†l и âl не годятся.Рассмотрим, например, второе правило. Если nl = 1, т. е. одночастичное состояние |l “заполнено”, то в результате действия оператора â†l получается состояниесистемы, в котором nl = 2. Это, однако, противоречит принципу Паули, согласнокоторому два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же одночастичном состоянии. Таким образом, пытаясь распространить правила (17.4)239на системы фермионов, мы получаем не существующие в природе состояния или,как обычно говорят, нефизические состояния.Для того, чтобы правильно определить действие операторов рождения и уничтожения для систем фермионов, нужно рассмотреть матричные элементы операторов динамических переменных вида (17.12), но с антисимметричными волновыми функциями (12.32), а потом “угадать” правила действия операторов рожденияи уничтожения.
Это впервые удалось двум физикам — П. Йордану и Е. Вигнерув 1928 г. Мы не будем приводить соответствующие математические детали, а сразу выпишем правила действия операторов рождения и уничтожения на базисныевекторы состояния системы фермионов:âl | . . . , nl , . .
. = (−1)νl√nl | . . . , 1 − nl , . . .,â†l | . . . , nl , . . . = (−1)νl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . ..Здесь νl =l−1(17.30)nl — число заполненных одночастичных состояний, предшеству-k=1ющих состоянию |l. Как видим, правила оказались более сложными, чем длябозонов. Впрочем, для практических вычислений сами эти правила используютсяочень редко.
Обычно достаточно знать основные свойства операторов рождения иуничтожения, которые мы теперь рассмотрим.Покажем, что оператор числа частиц в состоянии |l, как и в случае бозонов,имеет вид (17.5). С этой целью найдем, как действует оператор n̂l на базисныевекторы состояния системы. Используя формулы (17.30), пишемâ†l âl | . . . , nl , .
. . = (−1)νl√nl â†l | . . . , 1 − nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..Итак, мы приходим к соотношениюâ†l âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl , . . .,(17.31)которое показывает, что n̂l = â†l âl действительно играет роль оператора числачастиц в состоянии |l.Проверим теперь, что при действии операторами âl и â†l на базисные состояниясистемы не возникает нефизических состояний с числами заполнения, превышающими единицу. Опять используя формулы (17.30), находимâl | . . . , 0, . .
. = 0,âl | . . . , 1, . . . = (−1)νl | . . . , 0, . . .,â†l | . . . , 0, . . . = (−1)νl | . . . , 1, . . .,â†l | . . . , 1, . . . = 0.(17.32)Особо отметим последнее равенство. Благодаря ему нефизические состояния системы с nl > 1 не появляются в теории. Кроме того, из равенств (17.32) следует,что(â†l )2 ≡ â†l â†l = 0.(17.33)(âl )2 ≡ âl âl = 0,Эти свойства операторов рождения и уничтожения фермионов несколько необычны; до сих пор не встречались операторы, квадрат которых был бы равен нулю.240Как и в случае бозонов, очень важны коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения. Посмотрим, что дает действие оператора âl â†lна базисные векторы состояния системы.
Применяя правила (17.30), пишемâl â†l | . . . , nl , . . . = (−1)νlИтак,1 − nl âl | . . . , 1 − nl , . . . = (1 − nl )| . . . , nl , . . ..âl â†l | . . . , nl , . . . = (1 − nl ) | . . . , nl , . . ..(17.34)Сравнивая это равенство с (17.31), видим, что коммутатор âl â†l − â†l âl не равен единичному оператору 1̂, как это было в случае бозонов. Заметим, однако, что можнополучить единичный оператор, если вместо коммутатора построить другую конструкцию из операторов рождения и уничтожения. Введем для любых двух операторов  и B̂ так называемый антикоммутатор {Â, B̂}, который определяетсяформулой{Â, B̂} ≡ ÂB̂ + B̂ Âантикоммутатор.(17.35)Из (17.31) и (17.34) следует, чтоâl â†l + â†l âl | .
. . , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..Поскольку это равенство справедливо для любого базисного вектора состояния,имеем{âl , â†l } = 1.(17.36)Нетрудно доказать, что операторы рождения и уничтожения фермионов, относящиеся к разным одночастичным состояниям |l и |l , антикоммутируют друг сдругом, т. е.(17.37){â†l , â†l } = {âl , âl } = {â†l , âl } = 0, если l = l .Идея доказательства всех этих равенств одна и та же, поэтому мы ограничимсяравенством {â†l , â†l } = 0. Доказательство остальных равенств оставляем читателюв качестве упражнения.Так как любой вектор состояния системы записывается в виде суперпозиции (17.8), то достаточно проверить, что при действии операторов â†l â†l и â†l â†l налюбой базисный вектор состояния | .
. . , nl , . . . , nl , . . . результаты различаютсялишь знаком. Предположим сначала, что l < l . Тогда, следуя правилам (17.30),находимâ†l â†l | . . . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl1 − nl1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , . . ..Изменив порядок операторов в произведении, получим соотношениеâ†l â†l | .
. . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl +11 − nl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , . . ..241Во втором случае появляется дополнительный множитель (−1). Каково его происхождение? Дело в том, что оператор â†l изменяет число заполнения nl . Еслив исходном базисном состоянии системы nl = 0, то после действия â†l получаетсясостояние с nl = 1. Так как мы предположили, что l < l , то в состоянии системы,на которое действует â†l , число заполненных одночастичных состояний, предшествующих |l , возросло на единицу.
Это и приводит к появлению дополнительногомножителя (−1) в результате. Если l > l , рассуждения проводятся совершенноаналогично, поэтому мы не будем их повторять1 .Итак, операторы рождения и уничтожения фермионов удовлетворяют “антикоммутационным” соотношениям{âl , âl } = {â†l , â†l } = 0,{âl , â†l } = δll .(17.38)Они заменяют коммутационные соотношения (17.10) для бозонов. В квантовоймеханике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям (17.38), принято называть ферми-операторами. С помощью фермиоператоров описывается, например, система электронов в кристаллах. В качествеодночастичных состояний |l обычно выбираются стационарные состояния электрона в периодическом поле решетки |α, k, ms , где α — номер энергетическойзоны, k — волновой вектор одноэлектронного состояния2 , ms — магнитноеспиновое число. Эти состояния подробно обсуждались в параграфе 15.Важным обстоятельством является то, что операторы динамических переменных для системы фермионов выражаются через операторы рожденияи уничтожения точно такими же формулами, что и в случае бозонов.
Вчастности, для аддитивных динамических переменных и переменных бинарноготипа [см. (17.11)] получаются выражения (17.13) и (17.14), где теперь âl и â†l —ферми-операторы. Таким образом, тип статистики частиц в рассматриваемойсистеме автоматически учитывается алгебраическими свойствами соответствующих операторов рождения и уничтожения, а многие формулы имеют совершенноодинаковый вид как для бозонов, так и для фермионов. Это значительноупрощает исследование свойств многочастичных квантовых систем с помощьюпредставления чисел заполнения.Упражнения17.1. Доказать коммутационные соотношения (17.9).Указание: Достаточно проверить, что любой из коммутаторов (17.9) при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль.17.2.
Доказать, что операторы чисел заполнения n̂l для бозонов коммутируютдруг с другом.Указание: Достаточно проверить, что коммутатор [n̂l , n̂l ] при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль. Для этого проще всего воспольСлучай, когда в исходном базисном состоянии системы nl = 1, можно не рассматривать, так как оба оператора â†l â†l и â†l â†l при действии на такое базисное состояние даютнуль.2Можно, конечно, характеризовать состояние электрона не волновым вектором k, аквазиимпульсом p = k.1242зоваться соотношением (17.7).17.3.
Проверить антикоммутационные соотношения (17.38) для фермиоператоров.Указание: Пример доказательства одного из этих соотношений приведен в тексте. Остальные доказываются аналогичным способом.17.4. Проверить, что для бозе- и ферми-операторов[âl , n̂l ] = δll âl ,[â†l , n̂l ] = −δll â†l .(17.39)Указание: Вывод коммутационных соотношений для любых операторовв представлении чисел заполнения легко проводится с помощью основныхравенств (17.10) и (17.38).В качестве примера дадим вывод первого изсоотношений (17.39).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
