Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В рассматриваемой задаче мы выбрали в качестве базисных состояний стационарныесостояния гамильтониана системы Ĥ (0) , поэтому с учетом формулы (18.43) запишемdCf i (t)f |Ŵ (t)|f Cf i (t).(18.48)= Ef Cf i (t) +idtfЭту систему уравнений нужно дополнить очевидными начальными условиямиCf i (0) = δf i .(18.49)Система уравнений (18.48) точная, но очень сложная, так как базисных состояний обычно очень много (бывает, что и бесконечно много) и, кроме того, внешнееИндексы состояний i и f общеприняты в физической литературе и соответствуютпервым буквам английских слов initial — “начальный” и final — “конечный”.1255воздействие может сильно менять состояние системы. Мы ограничимся случаем,когда для решения уравнений (18.48) можно воспользоваться теорией возмущений.
Физические условия для применимости теории возмущений состоят в следующем. Предположим, что матричные элементы f |Ŵ (t)|f малы (т. е. поля,действующие на систему, достаточно слабы), а время действия возмущения τ неочень велико, так что за это время амплитуды Cf i (t) мало изменяются относительно своих начальных значений. Иначе говоря, мы предполагаем, что вероятностиперехода (18.47) при f = i удовлетворяют неравенству wf i (τ ) 1.Приведем теперь систему уравнений (18.48) к виду, наиболее удобному дляприменения теории возмущений.
С этой целью перейдем от амплитуд Cf i (t) кновым амплитудам af i (t), которые определяются соотношениямиCf i (t) = af i (t) e−iEf t/.(18.50)Ясно, что новые амплитуды удовлетворяют тем же самым начальным условиям(18.51)af i (0) = δf iи, кроме того, |Cf i (t)|2 = |af i (t)|2 . Поэтому в формуле (18.47) можно заменитьстарые амплитуды на новые. Подставляя выражение (18.50) в (18.48) и производяэлементарные преобразования, которые мы оставим читателю в качестве полезногоупражнения, приходим к уравнениямiгде введено обозначениеdaf i (t) iω tf |Ŵ (t)|f e f f af i (t),=dtf1ωf f = Ef − Ef .(18.52)(18.53)Главным достоинством уравнений (18.52) по сравнению с исходными уравнениями (18.48) является то, что их правые части малы, так как они пропорциональныматричным элементам оператора возмущения.Решать уравнения (18.52) можно разными способами.
Мы приведем наиболееизящный способ, популярный среди физиков. Разделим обе части каждого уравнения на i, а затем проинтегрируем его от t = 0 до t. C учетом начальныхусловий (18.51) получаем1 af i (t) = δf i +i f tf |Ŵ (t )|f eiωf f taf i (t ) dt .(18.54)0Такого типа уравнения называются интегральными, так как неизвестные функцииaf i (t ) входят в правую часть под знаком интеграла.По предположению, интегральный член в (18.54) мал, поэтому амплитуды af i (t)можно найти методом последовательных приближений (или, как говорят, методомитераций) в виде ряда по степеням матричных элементов оператора возмущения.Пренебрегая вообще интегральным членом в (18.54), находим амплитуды в нулевом(0)приближении: af i (t) = δf i (никаких переходов нет).
Если теперь эти амплитуды256(1)подставить в правую часть (18.54), то получим амплитуды af i (t) в первом порядкетеории возмущений. Для f = i имеем(1)af i (t)1=itf |Ŵ (t )|i eiωf i t dt ,(f = i).(18.55)0Продолжая итерации в уравнениях (18.54), можно найти амплитуды af i (t) в любом порядке теории возмущений. Мы ограничимся первым приближением (18.55).Полагая t = τ , получаем для вероятностей перехода выражение τ221 (1) iωf i twf i (τ ) = af i (τ ) = 2 f |Ŵ (t)|i edt . (18.56)0Как уже отмечалось, эта формула справедлива для f = i. Вычисление вероятности перехода wii (τ ) = |aii (τ )|2 , т.
е. вероятности перехода системы из начальногосостояния в него же, представляет собой более сложную задачу и вот почему. Изэлементарных вероятностных соображений следует, чтоwii (τ ) = 1 −wf i (τ ).(18.57)f =iЕсли даже каждая из вероятностей wf i (τ ) мала, их сумма по всем конечным состояниям |f может иметь заметную величину.
В частности, если подставить в (18.57)выражения (18.56), полученные в первом порядке теории возмущений, то для достаточно больших τ может оказаться (а так и бывает), что сумма превысит единицуи для вероятности обнаружить систему в начальном состоянии |i получится отрицательная (!) величина. Причина такого абсурдного результата состоит в том,что выражения (18.56) справедливы лишь для достаточно малого промежуткаτ .
При больших значениях τ система даже под действием слабого возмущениясовершит много квантовых переходов и амплитуда aii (τ ) будет сильно отличатьсяот единицы. Это противоречит нашему исходному предположению, что за время τвсе амплитуды, включая и aii (τ ), мало изменяются относительно своих начальныхзначений. Для того, чтобы выяснить область применимости теории возмущений,нужно найти решение уравнения (18.54) для aii (t) при больших t. Анализ этойзадачи показывает, что при малом возмущении вероятность перехода wii (t) изменяется со временем примерно по экспоненциальному законуwii (t) = |aii (t)|2 ≈ e−t/τi ,(18.58)где величина τi имеет размерность времени и выражается через матричные элементы оператора возмущения.
Она характеризует быстроту “ухода” системы изначального состояния и называется временем жизни состояния |i. Такимобразом, теория возмущений и, в частности, полученная нами формула (18.56)справедливы для промежутков времени τ , удовлетворяющих неравенству τ τi .25718.5.Вероятность перехода в единицу времениДля практического применения формулы (18.56) нужно знать стационарныесостояния системы |n и явное выражение для оператора возмущения Ŵ (t). Многочисленные примеры физических задач, в которых удается вычислить матричные элементы оператора возмущения и получить результаты, допускающие экспериментальную проверку, приведены в учебниках по квантовой механике (см.,например, [2, 4]). Мы рассмотрим два типичных случая, когда формула (18.56)для вероятностей перехода принимает особенно простой вид.Предположим, что оператор Ŵ не зависит от времени между моментами включения (t = 0) и выключения (t = τ ) возмущения.
Иначе говоря, мы рассматриваемвероятности перехода под действием постоянного возмущения. В этом случае матричный элемент в (18.56) не зависит от времени и его можно вынести из-под знакаинтеграла. Интеграл явно вычисляется и для вероятности перехода получаем eiωf i τ − 1 2122 1 − cos(ωf i τ )wf i (τ ) = 2 |f |Ŵ |i|2 . = 2 |f |Ŵ |i| iωf i ωf2iВспоминая обозначение (18.53), запишем это выражение в таком виде:2(Esin−E)τ/24ifwf i (τ ) = 2 |f |Ŵ |i|2.(Ef − Ei )2 /2(18.59)При разумных значениях τ аргумент синуса очень велик, если только энергияконечного состояния Ef не лежит в непосредственной близости к энергии начального состояния Ei . В самом деле, возьмем для оценки Ef − Ei ≈ 10−3 эВ. Тогдавеличина /(Ef −Ei ), имеющая размерность времени примерно равна 10−12 c.
Длительность внешнего воздействия τ обычно значительно больше. Таким образом,физический интерес представляет вероятность перехода (18.59) при значениях τ ,удовлетворяющих неравенствам1 τ τi ,Ei(18.60)где τi — уже упоминавшееся время жизни начального состояния.Почти во всех физических системах конечные состояния |f имеют непрерывный (или почти непрерывный) спектр энергии. Поэтому реально измеряется невероятность перехода в какое-то конкретное состояние |f , а вероятность перехода wf i в группу состояний, обладающих практически одинаковыми матричнымиэлементами f |Ŵ |i и имеющих энергию в некотором малом интервале от Ef − ∆Eдо Ef + ∆E, где величина ∆E характеризует разрешающую способность прибора.Таким образом, аргумент (Ef −Ei ) в формуле (18.59) можно считать непрерывным.Введем три безразмерных параметраα=τ Ei,2εf =Ef,Eiεi =Ei= 1.EiБудем считать, что начало отсчета энергии выбрано так, что все значения Ei положительны.1258Тогда последний множитель в (18.59) можно записать так (проверьте!): 2sin2 (Ef − Ei )τ /2πτ sin α(εf − εi )=2 .(Ef − Ei )2 /22Eiπα εf − εi(18.61)Так как в силу первого из неравенств (18.60) α 1, то, вспоминая одно из представлений дельта-функции [см.
(5.39)], видим, что множитель (18.61) очень близокк (πτ /2Ei ) δ(εf − εi ). Заменяя его этим предельным значением, а также используя свойство (5.35) дельта-функции, приводим формулу (18.59) для вероятностиперехода к виду2π(18.62)τ |f |Ŵ |i|2 δ Ef − Ei .wf i (τ ) =Итак, при выполнении первого неравенства (18.60) вероятность перехода линейнорастет с τ . Кроме того, видно, что под действием постоянного возмущения квантовые переходы происходят только между состояниями с одной и той же энергией,так как дельта-функция равна нулю, если Ef = Ei .По поводу формулы (18.62) необходимо сделать два важных замечания, иначе,понимаемая буквально, эта формула может приводить к абсурдным выводам.Во-первых, с ростом τ вероятность перехода неограниченно растет, что, конечно, недопустимо, поскольку вероятность не может быть больше единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
