Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 60
Текст из файла (страница 60)
18.1. Вероятность обнаружить систему в состоянии |2 периодически изменяется со временем с частотой 2Ω, гдеΩ зависит от разности (E1 − E2 ) среднихзначений энергии в базисных состоянияхи амплитуды перехода A [см. (18.16)].Может показаться,что w2 (t)[см. (18.20)] не обращается тождественно в нуль при A = 0, хотя в этом случае,как мы уже выяснили, состояние |1является стационарным и, следовательно, если вероятность w1 равна единицев начальный момент времени, то онаРис.
18.1.должна оставаться такой же во вседругие моменты, а вероятность w2 должна быть равна нулю. Нетрудно доказать,однако, что при A = 0 коэффициент b2 в формуле (18.20) обращается в нуль, такчто никаких парадоксов не возникает.247Зависимость вероятности w2 (t) от времени, изображенная на Рис. 18.1., довольно интересна. Получается, что вероятность периодически “перекачивается” из состояния |1 в состояние |2.
Говорят, что система постоянно совершает “квантовыепереходы” между базисными состояниями.Уже неоднократно отмечалось, что выбор базисных состояний для описаниядинамики системы (т. е. выбор представления ) в значительной степени произволен. В частности, для рассматриваемой здесь модели годятся любые два состояния, удовлетворяющие соотношениям (18.6). В общем виде переход от одногопредставления к другому был сформулирован в разделах 16.1. и 16.2.
Поучительно посмотреть, как “работает” эта схема на примере системы с двумя базиснымисостояниями. В качестве иллюстрации рассмотрим переход к энергетическомупредставлению.Прежде всего, построим векторы стационарных состояний. С этой целью решим задачу на собственные состояния и собственные значения гамильтониана.Обозначая вектор стационарного состояния |ϕ, запишем стационарное уравнениеШредингераĤ |ϕ = E |ϕ.(18.21)По предположению, |1 и |2 — базисные векторы состояния, поэтому любое решение уравнения (18.21) можно записать в виде суперпозиции|ϕ = α1 |1 + α2 |2(18.22)с некоторыми комплексными коэффициентами α1 и α2 .
Подставив это разложениев (18.21), вычислим скалярные произведения обеих частей уравнения с базиснымивекторами |1 и |2. С учетом равенств (18.6) получаем систему уравнений длякоэффициентов α1 и α2 :(H11 − E) α1 + H12 α2 = 0,H21 α1 + (H22 − E) α2 = 0,(18.23)где Hij — матричные элементы гамильтониана по базисным состояниям |1 и |2.∗Напомним, что H21 = H12.Ненулевые решения системы однородных уравнений (18.23) существуют тольков том случае, когда определитель системы равен нулю, т.
е. H11 − EH12 = 0.(18.24) HH22 − E 21Раскрывая определитель, находим уровни энергии E, которые занумеруем латинскими цифрами I и II:11EI = (H11 + H22 ) +(H − H22 )2 + |H12 |2 ,24 11(18.25)11EII = (H11 + H22 ) −(H − H22 )2 + |H12 |224 11Вспоминая обозначения (18.10) и (18.16), легко проверить, чтоEI = (ω0 + Ω) ,EII = (ω0 − Ω) ,(18.26)248т. е. частоты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности пропорциональны значениям энергии стационарных состояний.Построим теперь векторы |I и |II стационарных состояний, каждый из которых имеет вид (18.22).
Сначала в уравнениях (18.23) положим E = EI и выразим,например, α2 через α1 из второго уравнения1 : α2 = α1 H21 /(EI − H22 ). После этогополучаемH21|2 .(18.27)|I = α1 |1 +EI − H22Коэффициент α1 находится из условия нормировки I|I = 1. Простые вычисленияс учетом того, что состояния |1 и |2 ортогональны, дают|H12 |21+(EI − H22 )2α1 =−1/2.(18.28)Вектор состояния |II строится аналогичным способом. Полагаем в уравнениях (18.23) E = EII , а затем выражаем α1 через α2 с помощью первого уравнения.После этого приходим к выражениюH12|1 .(18.29)|II = α2 |2 +EII − H11Требуя, чтобы этот вектор был нормирован на единицу, получаемα2 =|H12 |21+(EII − H11 )2−1/2.(18.30)Легко проверить (см.
упражнение 18.4.), что векторы (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу. Впрочем, результат очевиден заранее, так как эти векторысоответствуют различным значениям энергии системы.Состояния |I и |II можно использовать в качестве базисных вместо исходных состояний |1 и |2. Тогда произвольный вектор состояния системы в моментвремени t будет иметь вид суперпозиции|Ψ(t) = CI (t) |I + CII (t) |II.(18.31)Уравнения для амплитуд CI (t) и CII (t) находятся из (18.3). Напомним, что |I и|II — собственные состояния гамильтониана, поэтомуI|Ĥ|I = EI ,II|Ĥ|II = EII ,а недиагональные матричные элементы I|Ĥ|II и II|Ĥ|I равны нулю. Такимобразом, уравнения (18.3) принимают очень простой видidCI (t)= EI CI (t),dtidCII (t)= EII CII (t)dtМожно, конечно, воспользоваться и первым уравнением. Результат будет тем же(проверьте!).1249и легко решаются:CI (t) = CI (t = 0) e−iEI t/ ≡ CI (t = 0) e−i(ω0 +Ω)t ,CII (t) = CII (t = 0) e−iEII t/ ≡ CII (t = 0) e−i(ω0 −Ω)t .(18.32)Вероятности обнаружить систему в базисных стационарных состояниях |I, |IIдаются формулами wI = |CI (t)|2 , wII = |CII (t)|2 и не зависят от времени.В математическом отношении оба представления (18.7) и (18.31) для векторасостояния полностью эквивалентны.
В этом легко убедиться, если подставить, например, выражения для |I и |II через исходные базисные векторы |1 и |2 вформулу (18.31). Возникает, однако, вопрос: есть ли различие между представлениями (18.7) и (18.31) с физической точки зрения? Покажем, что такое различиеимеется и оно непосредственно связано с ролью измерения в квантовой механике.Как известно, измерения производятся с помощью приборов.
В квантовой механике прибором принято называть любой макроскопический объект, взаимодействующий с рассматриваемой квантовой системой (в этом и состоит “измерение”).В зависимости от ситуации, прибор выполняет две функции. Во-первых, он может служить для приготовления квантового состояния, после чего квантовое состояние изменяется со временем согласно уравнению Шредингера. Фактическиначальные значения амплитуд вероятности, о которых мы упоминали выше, несутинформацию о том, как было приготовлено квантовое состояние в результате взаимодействия системы с прибором. Вторая важная функция прибора — определениеквантового состояния рассматриваемой системы в некоторый момент времени1 .Читателю уже известно, что если квантовое состояние есть суперпозициянескольких ортогональных “базисных” состояний, то результат измерения не будетоднозначным. При многократном повторении однотипных измерений приборбудет регистрировать систему в различных базисных состояниях с некоторымивероятностями.
Предсказание значений этих вероятностей и есть основная задачаквантовой механики.Заметим, однако, что для практической реализации процедуры измерения вероятностей прибор должен быть способен отличить одно базисное состояние отдругого. Иначе говоря, любой прибор “настроен” на представление квантового состояния системы как суперпозиции некоторого набора базисных состояний.
С этойточки зрения использование различных представлений вполне оправдано: каждоеиз них предназначено для определенного типа измерений.Вернемся теперь к задаче о системе с двумя базисными состояниями. Записьвектора состояния в виде (18.7) удобно тогда, когда прибор различает базисныесостояния |1 и |2. С другой стороны, если при измерении можно различить стационарные состояния |I и |II, то для вектора состояния естественно использоватьпредставление (18.31).
Как было показано в разделе 16.1. и как мы убедились напримере системы с двумя базисными состояниями, имеются точные правила перехода от одного представления к другому. Существование таких правил совершеннонеобходимо. Иначе было бы невозможно связать и сопоставить результаты измерений различного типа над одной и той же системой.Обычно информация о квантовом состоянии содержится в физических величинах,которые измеряются приборами.125018.3.Примеры систем с двумя базисными состояниямиХотя модель с двумя базисными состояниями является предельно упрощенной,она, тем не менее, неплохо описывает некоторые “настоящие” физические объекты.Рассмотрим атомы, основными термами которых являются термы с J = 1/2.Например, у атомов водорода (H), атомов щелочных металлов (Li, Na, K, Rb, Cs),меди (Cu), серебра (Ag), золота (Au) и т.д. основным является терм 2 S1/2 .
Вэтом состоянии отсутствует орбитальный момент атома (L = 0), так что полныймомент определяется спином электронов. Спиновое квантовое число, как легкосообразить, равно S = 1/2. Основным термом атомов бора (B), алюминия (Al) инекоторых других является терм 2 P1/2 . В этом случае L = 1, а S = 1/2.Предположим, что атом, основному состоянию которого соответствует J = 1/2, причем дополнительная магнитнаянаходится в постоянном магнитном поле B,энергия электронов в поле мала по сравнению с разностью между соседними уровнями энергии атома в отсутствии поля. В разделе 13.7.
мы выяснили, что гамильтониан взаимодействия атома со слабым магнитным полем можно записать ввиде = g e Jˆ · B.(18.33)Ŵмаг = −µˆ · B2mЗдесь µˆ — оператор магнитного момента атома, g-множитель Ланде (13.88). Длятермов 2 S1/2 и 2 P1/2 имеем, соответственно, g = 2 и g = 2/3. Если J = 1/2, то проекция оператора полного момента на любую ось квантования z может приниматьлишь два значения: Jz = /2 (MJ = 1/2) и Jz = −/2 (MJ = −1/2).Динамика атома в магнитном поле описывается гамильтонианомĤ = Ĥ (0) + Ŵмаг ,(18.34)где Ĥ (0) — гамильтониан в отсутствие поля. Собственными состояниями Ĥ (0) являются состояния |LSJMJ , а собственными значениями — энергии стационарных(0)состояний ELSJ .
Напомним, что оператор (18.33) имеет отличные матричные элементы лишь для состояний |LSJMJ с одинаковыми квантовыми числами L, S иJ. Поэтому задача о поведении атома в слабом магнитном поле сводится к моделис двумя базисными состояниями, в качестве которых можно выбрать состояния сразличными значениями проекции Jz на ось квантования момента:|1 = |LSJ, MJ = 1/2,|2 = |LSJ, MJ = −1/2.(18.35) то формула (18.33)Если направить ось квантования z вдоль магнитного поля B,примет вид [см. также (13.90)]Ŵмаг = geB ˆJ .2m z(18.36)В этом случае матричные элементы гамильтониана (18.34) для базисных состояний (18.35) легко вычисляются:(0)H11 = ELSJ +1g µB B,2(0)H22 = ELSJ −1g µB B,2H12 = H21 = 0.(18.37)251Поскольку недиагональные матричные элементы равны нулю, то состояния (18.35)являются стационарными1 , причем H11 и H22 — соответствующие значения энергииатома. Впрочем, все это мы уже видели в разделе 13.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
