Главная » Просмотр файлов » Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 56

Файл №1083078 Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики) 56 страницаБерзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078) страница 562018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Поверить, что оператор ↠[см. (16.84)] является эрмитово сопряженнымоператору â.Указание: Учесть, что операторы x̂ и p̂x эрмитовы.16.11. С помощью выражений (16.89) преобразовать гамильтониан осциллятора (16.73) к виду (16.90).Прямая подстановка выражений (16.89) в (16.73) с учетом того, чтоУказание:x0 = /mω, даетĤ =ω ,(â + ↠)(â + ↠) − (â − ↠)(â − ↠) .4231Раскрывая круглые скобки и следя за порядком расположения операторов, получаемω †Ĥ =ââ + ↠â .2†Поскольку из (16.86) следует, что ââ = 1 + ↠â, приходим к выражению (16.90).17.Вторичное квантованиеИнтересно, что представление чисел заполнения можно ввести не только дляосциллятора, но и для произвольной квантовой системы, состоящей из одинаковыхчастиц1 .

По историческим причинам переход к представлению чисел заполненияполучил название вторичного квантования. В целях экономии места мы не будем останавливаться на происхождении этого термина. Интересующийся читательможет найти эти сведения, например, в книгах [2, 4].Для систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, представлениечисел заполнения оказалось настолько удобнее координатного представления, чтофактически полностью вытеснило последнее и в настоящее время применяется длярешения большинства конкретных физических задач.17.1.Представление чисел заполнения для бозоновСначала мы введем представление чисел заполнения для систем, состоящихиз одинаковых бозонов, т. е. частиц с целым спином, подчиняющихся статистикеБозе-Эйнштейна.

Так как нам потребуются некоторые сведения из раздела 12.3. ,то рекомендуем читателю предварительно еще раз прочесть этот раздел.Будем исходить из разложения (12.29) произвольной волновой функции системы бозонов по симметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.25).

Мы уже отмечали, что квантовое состояние системы, которое опи(s)сывается базисной волновой функцией Φ{n } (q1 , . . . , qN ), полностью определяетсяlнабором чисел заполнения {nl }. Каждое число nl может принимать значения0, 1, 2, . . . , N ; оно показывает, сколько частиц находится в одночастичном состоянии |l.Расположим значения индекса l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы(17.1)|{nl } = |n1 , n2 , . . . , nl , . .

. ,где {nl } — все возможные наборы чисел заполнения, удовлетворяющие условию (12.23). Как работать с таким базисом ? Пока мы знаем только, что“проекциями” состояний (17.1) в координатном q-представлении являютсяволновые функции (12.25):(s)Φ{n } (q1 , . .

. , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.2)Кроме того, согласно (12.24), этот базис является ортонормированным:{nl }|{nl } = δ{nl },{nl } .(17.3)Впрочем, к аналогии с осциллятором следует относиться осторожно. В частности, дляквантовой системы, состоящей из одинаковых частиц, представление чисел заполненияне имеет никакого отношения к энергетическому представлению.1232Символ Кронекера имеет тот же смысл, что и в (12.24): величина δ{n },{n } равнаllединице, если наборы чисел заполнения совпадают, и равна нулю, если nl = nlхотя бы для одного |l.К сожалению, волновые функции (17.2) зависят от огромного числа переменных, если число частиц N в системе велико.

Поэтому желательно избежать их использования при вычислении средних значений физических величин, матричныхэлементов операторов и т. д. Все это несколько напоминает ситуацию с осциллятором. Напомним, что там оказались очень удобными операторы рождения и уничтожения, которые действовали непосредственно на базисные состояния и меняличисло квантов возбуждения. Удивительно, но факт: тот же прием срабатывает идля системы из одинаковых частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна.Итак, попытаемся действовать по аналогии с осциллятором.

Введем операторы уничтожения и рождения частиц в одночастичных состояниях |l.Обозначим их âl и â†l . Договоримся, что эти операторы действуют на базисныесостояния (17.1) по правилам [ср. (16.85)]√âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl − 1, . .

.,(17.4)â†l | . . . , nl , . . . = nl + 1 | . . . , nl + 1, . . ..Точками обозначены числа заполнения остальных одночастичных состояний |l сl = l. Они не меняются при действии операторов âl и â†l на вектор состояниясистемы.Соотношения (17.4) полностью определяют операторы рождения и уничтожения.

В самом деле, с их помощью легко вычислить матричные элементы в представлении чисел заполнения {nl }|âl |{nl } и {nl }|â†l |{nl }, а затем, если нужно, —в любом другом представлении, следуя правилам, изложенным в разделе 16.2. Втеории многочастичных квантовых систем важную роль играют операторыn̂l = â†l âl .(17.5)Они эрмитовы (проверьте!) и, согласно (17.4), действуют на базисные векторысостояния следующим образом:n̂l | .

. . , nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..(17.6)Операторы n̂l называются операторами числа частиц в состояниях |l или операторами чисел заполнения.Докажем, что операторы рождения и уничтожения â†l и âl удовлетворяют коммутационному соотношению[âl , â†l ] = 1,(17.7)которое аналогично соотношению (16.86) для осциллятора.

Так как любой вектор состояния системы, состоящей из одинаковых бозонов, можно записать в видесуперпозиции базисных состояний (17.1), т. е.C ({nl }, t) | . . . , nl , . . . ,(17.8)|Ψ(t) ={nl }то достаточно доказать, что для любого базисного состоянияâl â†l − â†l âl | . . . , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..233Это равенство легко проверить, используя правила (17.4).Операторы рождения и уничтожения, относящиеся к разным одночастичнымсостояниям, коммутируют друг с другом:[âl , â†l ] = [âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,(l = l ).(17.9)Доказательство этих почти очевидных соотношений мы оставляем читателю (см.упражнение 17.1.). Объединяя формулы (17.7) и (17.9), запишем основные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения в виде[âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,[âl , â†l ] = δll ,(17.10)где l и l — произвольные индексы одночастичных состояний.

В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационнымсоотношениям (17.10), принято называть бозе-операторами. Такие операторывстречаются не только в теории систем, состоящих из “обычных” частиц с целымспином. Например, операторы рождения и уничтожения для квантового осциллятора (см. раздел 16.4.) также являются бозе-операторами. Другой физическиинтересный пример относится к квантовой оптике, т. е. к фотонной теории электромагнитного излучения.

Для описания квантовых состояний электромагнитногополя также удается построить представление чисел заполнения и определить операторы рождения и уничтожения фотонов в состояниях |p, α, где p — импульсфотона, а α характеризует поляризацию фотона (см. стр. 214). Соответствующиеоператоры рождения фотонов â†p α и âp α также являются бозе-операторами.Отметим, что сами по себе операторы рождения и уничтожения не соответствуют каким-либо наблюдаемым величинам. Зачем же они нужны? Дело в том, чтооператор любой физической величины для системы из одинаковых бозонов можновыразить через операторы рождения и уничтожения.Наиболее важные операторы динамических переменных для многочастичнойсистемы имеют видÂ(1)=Ni=1Â(1) (qi ),Â(2) =1 (2) (qi , qj ),2 i=j(17.11)где Â(1) (qi ) — оператор, действующий на координаты i-ой частицы, Â(2) (qi , qj ) —оператор, действующий на координаты частиц с номерами i и j.

Динамическая переменная, оператор которой Â(1) есть сумма операторов для отдельных частиц, называется аддитивной динамической переменной; динамические переменныес операторами Â(2) обычно называются динамическими переменными бинарного типа. В некоторых задачах квантовой механики встречаются операторыболее сложной конструкции, но мы не будем здесь ими заниматься.В качестве иллюстрации приведем простые примеры динамических переменных вида (17.11). Аддитивной динамической переменной является кинетическая(энергия частиц системы T̂ = i p̂2i /2m, а примером динамической переменной би(нарного типа может служить энергия взаимодействия Û = (1/2) i=j U (|ri − rj |).Рекомендуем читателю самому вспомнить, какие из других ранее встречавшихсядинамических переменных относятся к аддитивным переменным и к переменнымбинарного типа.234Обычно операторы динамических переменных Â(1) и Â(2) легче всего построитьв координатном представлении.

Чтобы найти их матричные элементы в представлении чисел заполнения, нужно вычислить интегралы (s) ∗(s)(1){nl }|Â |{nl } =Φ{n } Â(1) (qi ) Φ{n } dq1 · · · dqN ,{nl }|Â(2) |{nl }lli1=2 i=j(17.12)(s) ∗Φ{n }l(2)Â(s)(qi , qj ) Φ{n }ldq1 · · · dqNс симметризованными базисными волновыми функциями (12.25). На первыйвзгляд задача кажется безнадежной из-за огромного числа переменных при больших значениях числа частиц N .

Впрочем, есть и упрощающие обстоятельства.Так как частицы одинаковы, то вид операторов Â(1) (qi ) и Â(2) (qi , qj ) одинаков для(s)любых номеров частиц. Далее, многочастичные базисные волновые функции Φ{n }lесть произведения одночастичных ортонормированных волновых функций ϕl (q).Поэтому из формул (17.12) удается получить более или менее простые выражениядля матричных элементов.

Мы не будем приводить соответствующие выкладки1 .Оказывается, что матричные элементы (17.12) любых аддитивных операторов Â(1)и любых операторов бинарного типа Â(2) совпадают с матричными элементамиследующих операторов, записанных через операторы рождения и уничтожения:Â(1) =l |Â(1) |l â†l âl ,(17.13)l, lÂ(2) =1 l m |Â(2) |lm â†m â†l âl âm .2 l, m, l , m(17.14)Здесь l |Â(1) |l и l m |Â(2) |lm — матричные элементы операторов Â(1) и Â(2) поодночастичным волновым функциям ϕl (q):(1)l | |l = ϕ∗l (q) Â(1) (q)ϕl (q) dq,(17.15)(2)l m | |lm =ϕ∗l (q1 )ϕ∗m (q2 ) Â(2) (q1 , q2 ) ϕl (q1 )ϕm (q2 ) dq1 dq2 .(17.16)Ясно, что матричные элементы (17.15) и (17.16) вычислить намного проще, чемматричные элементы (17.12) с многочастичными волновыми функциями.Главное достоинство формул (17.13) и (17.14) состоит в том, что вычислениесредних значений и матричных элементов операторов физических величин сводится теперь к вычислению средних значений и матричных элементов операторов,построенных из операторов рождения и уничтожения, которые довольно простодействуют на базисные векторы состояния системы |n1 , n2 , .

. . , nl , . . . и удовлетворяют простым коммутационным соотношениям (17.10).Интересующийся читатель может обратиться к учебникам по квантовой механике(см., например, [4]).1235Для иллюстрации того, насколько представление чисел заполнения для многочастичных систем удобнее, чем координатное представление, рассмотрим идеальный квантовый газ, состоящий из N одинаковых бозонов. Эту модель принятоназывать бозе-газом.В идеальном квантовом газе частицы не взаимодействуют друг с другом, поэтому гамильтониан системы совпадает с оператором кинетической энергии:Np̂i2Ĥ =.2mi=1(17.17)Сам гамильтониан, конечно, очень прост, но в координатном представленииквантовое состояние системы описывается симметризованной волновой функцией Ψ(s) (q1 , q2 , . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее