Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поверить, что оператор ↠[см. (16.84)] является эрмитово сопряженнымоператору â.Указание: Учесть, что операторы x̂ и p̂x эрмитовы.16.11. С помощью выражений (16.89) преобразовать гамильтониан осциллятора (16.73) к виду (16.90).Прямая подстановка выражений (16.89) в (16.73) с учетом того, чтоУказание:x0 = /mω, даетĤ =ω ,(â + ↠)(â + ↠) − (â − ↠)(â − ↠) .4231Раскрывая круглые скобки и следя за порядком расположения операторов, получаемω †Ĥ =ââ + ↠â .2†Поскольку из (16.86) следует, что ââ = 1 + ↠â, приходим к выражению (16.90).17.Вторичное квантованиеИнтересно, что представление чисел заполнения можно ввести не только дляосциллятора, но и для произвольной квантовой системы, состоящей из одинаковыхчастиц1 .
По историческим причинам переход к представлению чисел заполненияполучил название вторичного квантования. В целях экономии места мы не будем останавливаться на происхождении этого термина. Интересующийся читательможет найти эти сведения, например, в книгах [2, 4].Для систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, представлениечисел заполнения оказалось настолько удобнее координатного представления, чтофактически полностью вытеснило последнее и в настоящее время применяется длярешения большинства конкретных физических задач.17.1.Представление чисел заполнения для бозоновСначала мы введем представление чисел заполнения для систем, состоящихиз одинаковых бозонов, т. е. частиц с целым спином, подчиняющихся статистикеБозе-Эйнштейна.
Так как нам потребуются некоторые сведения из раздела 12.3. ,то рекомендуем читателю предварительно еще раз прочесть этот раздел.Будем исходить из разложения (12.29) произвольной волновой функции системы бозонов по симметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.25).
Мы уже отмечали, что квантовое состояние системы, которое опи(s)сывается базисной волновой функцией Φ{n } (q1 , . . . , qN ), полностью определяетсяlнабором чисел заполнения {nl }. Каждое число nl может принимать значения0, 1, 2, . . . , N ; оно показывает, сколько частиц находится в одночастичном состоянии |l.Расположим значения индекса l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы(17.1)|{nl } = |n1 , n2 , . . . , nl , . .
. ,где {nl } — все возможные наборы чисел заполнения, удовлетворяющие условию (12.23). Как работать с таким базисом ? Пока мы знаем только, что“проекциями” состояний (17.1) в координатном q-представлении являютсяволновые функции (12.25):(s)Φ{n } (q1 , . .
. , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.2)Кроме того, согласно (12.24), этот базис является ортонормированным:{nl }|{nl } = δ{nl },{nl } .(17.3)Впрочем, к аналогии с осциллятором следует относиться осторожно. В частности, дляквантовой системы, состоящей из одинаковых частиц, представление чисел заполненияне имеет никакого отношения к энергетическому представлению.1232Символ Кронекера имеет тот же смысл, что и в (12.24): величина δ{n },{n } равнаllединице, если наборы чисел заполнения совпадают, и равна нулю, если nl = nlхотя бы для одного |l.К сожалению, волновые функции (17.2) зависят от огромного числа переменных, если число частиц N в системе велико.
Поэтому желательно избежать их использования при вычислении средних значений физических величин, матричныхэлементов операторов и т. д. Все это несколько напоминает ситуацию с осциллятором. Напомним, что там оказались очень удобными операторы рождения и уничтожения, которые действовали непосредственно на базисные состояния и меняличисло квантов возбуждения. Удивительно, но факт: тот же прием срабатывает идля системы из одинаковых частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна.Итак, попытаемся действовать по аналогии с осциллятором.
Введем операторы уничтожения и рождения частиц в одночастичных состояниях |l.Обозначим их âl и â†l . Договоримся, что эти операторы действуют на базисныесостояния (17.1) по правилам [ср. (16.85)]√âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl − 1, . .
.,(17.4)â†l | . . . , nl , . . . = nl + 1 | . . . , nl + 1, . . ..Точками обозначены числа заполнения остальных одночастичных состояний |l сl = l. Они не меняются при действии операторов âl и â†l на вектор состояниясистемы.Соотношения (17.4) полностью определяют операторы рождения и уничтожения.
В самом деле, с их помощью легко вычислить матричные элементы в представлении чисел заполнения {nl }|âl |{nl } и {nl }|â†l |{nl }, а затем, если нужно, —в любом другом представлении, следуя правилам, изложенным в разделе 16.2. Втеории многочастичных квантовых систем важную роль играют операторыn̂l = â†l âl .(17.5)Они эрмитовы (проверьте!) и, согласно (17.4), действуют на базисные векторысостояния следующим образом:n̂l | .
. . , nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..(17.6)Операторы n̂l называются операторами числа частиц в состояниях |l или операторами чисел заполнения.Докажем, что операторы рождения и уничтожения â†l и âl удовлетворяют коммутационному соотношению[âl , â†l ] = 1,(17.7)которое аналогично соотношению (16.86) для осциллятора.
Так как любой вектор состояния системы, состоящей из одинаковых бозонов, можно записать в видесуперпозиции базисных состояний (17.1), т. е.C ({nl }, t) | . . . , nl , . . . ,(17.8)|Ψ(t) ={nl }то достаточно доказать, что для любого базисного состоянияâl â†l − â†l âl | . . . , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..233Это равенство легко проверить, используя правила (17.4).Операторы рождения и уничтожения, относящиеся к разным одночастичнымсостояниям, коммутируют друг с другом:[âl , â†l ] = [âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,(l = l ).(17.9)Доказательство этих почти очевидных соотношений мы оставляем читателю (см.упражнение 17.1.). Объединяя формулы (17.7) и (17.9), запишем основные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения в виде[âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,[âl , â†l ] = δll ,(17.10)где l и l — произвольные индексы одночастичных состояний.
В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационнымсоотношениям (17.10), принято называть бозе-операторами. Такие операторывстречаются не только в теории систем, состоящих из “обычных” частиц с целымспином. Например, операторы рождения и уничтожения для квантового осциллятора (см. раздел 16.4.) также являются бозе-операторами. Другой физическиинтересный пример относится к квантовой оптике, т. е. к фотонной теории электромагнитного излучения.
Для описания квантовых состояний электромагнитногополя также удается построить представление чисел заполнения и определить операторы рождения и уничтожения фотонов в состояниях |p, α, где p — импульсфотона, а α характеризует поляризацию фотона (см. стр. 214). Соответствующиеоператоры рождения фотонов â†p α и âp α также являются бозе-операторами.Отметим, что сами по себе операторы рождения и уничтожения не соответствуют каким-либо наблюдаемым величинам. Зачем же они нужны? Дело в том, чтооператор любой физической величины для системы из одинаковых бозонов можновыразить через операторы рождения и уничтожения.Наиболее важные операторы динамических переменных для многочастичнойсистемы имеют видÂ(1)=Ni=1Â(1) (qi ),Â(2) =1 (2) (qi , qj ),2 i=j(17.11)где Â(1) (qi ) — оператор, действующий на координаты i-ой частицы, Â(2) (qi , qj ) —оператор, действующий на координаты частиц с номерами i и j.
Динамическая переменная, оператор которой Â(1) есть сумма операторов для отдельных частиц, называется аддитивной динамической переменной; динамические переменныес операторами Â(2) обычно называются динамическими переменными бинарного типа. В некоторых задачах квантовой механики встречаются операторыболее сложной конструкции, но мы не будем здесь ими заниматься.В качестве иллюстрации приведем простые примеры динамических переменных вида (17.11). Аддитивной динамической переменной является кинетическая(энергия частиц системы T̂ = i p̂2i /2m, а примером динамической переменной би(нарного типа может служить энергия взаимодействия Û = (1/2) i=j U (|ri − rj |).Рекомендуем читателю самому вспомнить, какие из других ранее встречавшихсядинамических переменных относятся к аддитивным переменным и к переменнымбинарного типа.234Обычно операторы динамических переменных Â(1) и Â(2) легче всего построитьв координатном представлении.
Чтобы найти их матричные элементы в представлении чисел заполнения, нужно вычислить интегралы (s) ∗(s)(1){nl }|Â |{nl } =Φ{n } Â(1) (qi ) Φ{n } dq1 · · · dqN ,{nl }|Â(2) |{nl }lli1=2 i=j(17.12)(s) ∗Φ{n }l(2)Â(s)(qi , qj ) Φ{n }ldq1 · · · dqNс симметризованными базисными волновыми функциями (12.25). На первыйвзгляд задача кажется безнадежной из-за огромного числа переменных при больших значениях числа частиц N .
Впрочем, есть и упрощающие обстоятельства.Так как частицы одинаковы, то вид операторов Â(1) (qi ) и Â(2) (qi , qj ) одинаков для(s)любых номеров частиц. Далее, многочастичные базисные волновые функции Φ{n }lесть произведения одночастичных ортонормированных волновых функций ϕl (q).Поэтому из формул (17.12) удается получить более или менее простые выражениядля матричных элементов.
Мы не будем приводить соответствующие выкладки1 .Оказывается, что матричные элементы (17.12) любых аддитивных операторов Â(1)и любых операторов бинарного типа Â(2) совпадают с матричными элементамиследующих операторов, записанных через операторы рождения и уничтожения:Â(1) =l |Â(1) |l â†l âl ,(17.13)l, lÂ(2) =1 l m |Â(2) |lm â†m â†l âl âm .2 l, m, l , m(17.14)Здесь l |Â(1) |l и l m |Â(2) |lm — матричные элементы операторов Â(1) и Â(2) поодночастичным волновым функциям ϕl (q):(1)l | |l = ϕ∗l (q) Â(1) (q)ϕl (q) dq,(17.15)(2)l m | |lm =ϕ∗l (q1 )ϕ∗m (q2 ) Â(2) (q1 , q2 ) ϕl (q1 )ϕm (q2 ) dq1 dq2 .(17.16)Ясно, что матричные элементы (17.15) и (17.16) вычислить намного проще, чемматричные элементы (17.12) с многочастичными волновыми функциями.Главное достоинство формул (17.13) и (17.14) состоит в том, что вычислениесредних значений и матричных элементов операторов физических величин сводится теперь к вычислению средних значений и матричных элементов операторов,построенных из операторов рождения и уничтожения, которые довольно простодействуют на базисные векторы состояния системы |n1 , n2 , .
. . , nl , . . . и удовлетворяют простым коммутационным соотношениям (17.10).Интересующийся читатель может обратиться к учебникам по квантовой механике(см., например, [4]).1235Для иллюстрации того, насколько представление чисел заполнения для многочастичных систем удобнее, чем координатное представление, рассмотрим идеальный квантовый газ, состоящий из N одинаковых бозонов. Эту модель принятоназывать бозе-газом.В идеальном квантовом газе частицы не взаимодействуют друг с другом, поэтому гамильтониан системы совпадает с оператором кинетической энергии:Np̂i2Ĥ =.2mi=1(17.17)Сам гамильтониан, конечно, очень прост, но в координатном представленииквантовое состояние системы описывается симметризованной волновой функцией Ψ(s) (q1 , q2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
