Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Многие теоремы этой теории оказались весьма полезны длярешения задач квантовой механики и обоснования ее соотношений.Из принципа суперпозиции следует, что квантовое состояние фактически определяется лишь “направлением” вектора |Ψ в гильбертовом пространстве, а не его“длиной” Ψ|Ψ. Иногда говорят, что правильнее сопоставлять квантовым состояниям не векторы, а “лучи” в гильбертовом пространстве, но мы не будем вдаватьсяв такие тонкости. Обычно векторы состояний нормируются на единицу условиемΨ|Ψ = 1. В некоторых случаях это сделать невозможно.
Как мы видели в разделе 5.6., собственные функции операторов с непрерывным спектром значений приходится нормировать на дельта-функцию. Поэтому в гильбертовом пространствеквантовых состояний допускается существование векторов с бесконечной длиной.• В гильбертовом пространстве любой системы имеется хотя бы один полныйортонормированный набор базисных векторов состояний {|a}, характеризуемых индексом a = {a1 , a2 , . . .
, }, где ai принимают дискретные или непрерывные значения1 . Полнота набора {|a} означает, что любой вектор состояниясистемы |Ψ можно представить в виде суперпозицииC(a) |a,(16.11)|Ψ =aгде C(a) — комплексные числа. Как и раньше, договоримся, что знак суммирования по непрерывному индексу означает интегрирование.• Коэффициент C(a) в разложении (16.11) квантового состояния системы побазисным есть амплитуда вероятности того, что при измерении система будетобнаружена в базисном состоянии |a.
Сама вероятность такого результатаизмерения равна |C(a)|2 .Существование полного ортонормированного базиса в пространстве квантовыхсостояний — вполне естественное предположение. Мы видели, что в пространствеволновых функций полные наборы образуют собственные функции операторов физических величин.Напомним, что ранее оператор действовал на волновую функцию системы;в результате получалась новая волновая функция. Поскольку в схеме Диракаквантовое состояние описывается вектором состояния, то теперь смысл операторанесколько меняется.• Любой квантовомеханический оператор Â действует на векторы состояния вгильбертовом пространстве.
Если |Ψ — возможный вектор состояния систе = Â|Ψ — также возможный вектор состояния.мы, то |ΨПо дискретным индексам ai базисные векторы можно нормировать на единицу, а понепрерывным — на дельта-функцию.1210Очень многие правила работы с операторами сохраняют тот же самый вид, что и вволновой механике Шредингера. Например, важное правило вычисления среднегозначения физической величины A в состоянии |Ψ(t) выглядит точно так же:At = Ψ(t)|Â|Ψ(t).(16.12)Более подробно операторы в схеме Дирака будут рассмотрены в разделе 16.2.Читатель заметил, наверное, что приведенные выше постулаты вроде бы “заимствованы” из волновой механики Шредингера, где основными математическими объектами были волновые функции, обладавшие аналогичными свойствами.Возникает естественный вопрос: что нового дает введение абстрактного вектора состояния? Не лучше ли придерживаться более наглядного понятия волновойфункции? В пользу того, что обобщенная схема квантовой механики, предложенная Дираком, является далеко не тривиальной, можно привести много аргументов.Мы остановимся лишь на некоторых из них.Так как предполагается, что набор базисных векторов состояния {|a} являетсяортонормированным, т.
е. выполняется соотношениеa|a = δaa(16.13)(с оговоркой, что для непрерывных индексов δaa — дельта-функция), то из формулы (16.11) находим C(a) = a|Ψ. Поэтому разложение произвольного векторасостояния |Ψ(t) принимает вид|Ψ(t) =|a a|Ψ(t).(16.14)aСначала покажем, как отсюда вернуться к волновой функции Шредингера. Чтобы понять идею, рассмотрим одномерное движение частицы без спина вдоль оси x.Введем, кроме базиса {|a}, другие базисные состояния |x. Смысл состояния |xочень прост: в нем частица локализована в точке x. В данном случае x — непрерывный индекс, поэтому векторы состояния |x нормированы на дельта-функцию:x|x = δ(x − x ).Согласно Дираку, вектор состояния частицы |Ψ(t) можно записать как|Ψ(t) = |x x|Ψ(t) dx.(16.15)(16.16)С другой стороны, умножая (скалярно) равенство (16.14) на вектор состояния |x,находим, чтоx|Ψ(t) =x|a a|Ψ(t).(16.17)aПосмотрим, что получилось.
Скалярное произведение x|Ψ(t), которое появилосьв формулах (16.16) и (16.17), есть функция x и t. Она полностью характеризуетквантовое состояние частицы и имеет смысл амплитуды вероятности обнаружитьчастицу в точке с координатой x. Но ведь точно такую же роль играет волновая функция Ψ(x, t) ! Поэтому естественно отождествить скалярное произведение211Ψ(x, t) = x|Ψ(t) с волновой функцией. Правильность этого подтверждает формула (16.17). Действительно, если ввести волновые функции базисных состояний|a по тому же правилу, т. е. записать ψa (x) = x|a, то формула (16.17) приметвид обычного разложения волновой функции частицы по полному набору функцийψa (x) [ср. с (5.21)].Из приведенного примера можно сделать важный вывод.
Волновая функцияШредингера есть всего лишь одно из возможных представлений квантового состояния, когда в качестве базисных состояний выбраны собственные состояния операторов координат частиц (в нашем примере — состояния |x). При этом волноваяфункция Шредингера играет роль коэффициентов в разложении вектора состояния по базисным векторам. На самом деле квантовое состояние можно описатьмножеством различных “волновых функций”, выбирая различные базисные состояния, по которым ведется разложение вектора состояния системы. Сформулируемобобщение на произвольный случай:• Если {|a} — полный ортонормированный набор базисных векторов состояния, то скалярные произведения Ψ(a, t) ≡ a|Ψ(t) полностью описываютквантовое состояние системы.
Набор этих коэффициентов называется волновой функцией системы в a-представлении.Итак, вводя понятие “вектор состояния”, мы заранее предусматриваем возможность различных представлений квантового состояния с помощью “волновых функций”. Волновая механика Шредингера соответствует лишь одному специальномупредставлению, которое называется координатным представлением.По математической структуре схема квантовой механики, предложенная Дираком, напоминает обычную векторную алгебру. Действительно, мы рассматриваем как самостоятельный объект, хотя в любой декартовой ситрехмерный вектор Aстеме координат он характеризуется набором трех чисел (проекций) Ax , Ay , Az иможет быть разложен по базисным векторам — ортам ex , ey , ez .
В различных системах координат проекции и орты различны, но объект — вектор — один и тотже. С этой точки зрения любая “волновая функция” системы a|Ψ(t) — набор“проекций” вектора состояния на выбранные базисные векторы состояния |a.Предположим, что известна волновая функция системы a|Ψ в некотором aпредставлении. Полезно иметь правило, по которому можно было бы найти волновую функцию b|Ψ в любом другом b-представлении, т. е.
при выборе в качествеполного базисного набора векторов {|b}, где b = {b1 , b2 , . . .} — квантовые числа новых базисных состояний. Наиболее просто эта задача решается с помощьютак называемого оператора проектирования на базисное состояние, которыйопределяется формальным выражениемP̂a = |aa| .(16.18)То, что это оператор, легко проверить, приписан справа любой вектор состояния|Ψ. Действительно, мы получимP̂a |Ψ = |aa|Ψ.(16.19)Справа стоит базисный вектор состояния |a, умноженный на число, т.
е. векториз гильбертова пространства.212С помощью оператора проектирования разложение (16.14) вектора состояниязаписывается в виде|Ψ(t) =P̂a |Ψ(t).(16.20)aЗаметим теперь, что эта формула эквивалентна утверждению, что сумма всех операторов проектирования есть единичный оператор 1̂, если набор базисных состояний является полным. Итак:• Для любого полного набора базисных состояний выполняется соотношениеP̂a ≡a|aa| = 1̂.(16.21)aОператор проектирования — очень полезная конструкция.
Он часто применяетсядля упрощения и “автоматизации” преобразований самых разных выражений.Вернемся к вопросу о связи между волновыми функциями в двух различныхa- и b-представлениях. Волновая функция a|Ψ в a-представлении определяетсяформулой (16.14), а волновая функция b|Ψ в b-представлении — аналогичнойформулой|b b|Ψ(t).(16.22)|Ψ(t) =bЗапишем теперь очевидную цепочку равенствb|Ψ = b|1̂|Ψ =b|a a|Ψ,aгде мы заменили единичный оператор выражением (16.21). Мы приходим к простому правилу преобразования волновой функции при переходе от одного представления к другому:• Если {|a} и {|b} — два полных ортонормированных набора базисных состояний, то волновые функции системы в a- и b-представлениях связаны друг cдругом соотношениемb|Ψ(t) =b|a a|Ψ(t).(16.23)aЯсно, что обратное преобразование имеет вид (нужно просто сделать замену a ↔ b)a|Ψ(t) =a|b b|Ψ(t).(16.24)bИтак, для преобразования любой волновой функции из одного представления вдругое нужно знать лишь скалярные произведения новых и старых базисных векторов.
Совокупность скалярных произведений b|a называется матрицей преобразования от a-представления к b-представлению. В силу свойства (16.7)213скалярного произведения, элементы матрицы обратного преобразования a|b выражаются через элементы матрицы прямого преобразования:a|b = b|a∗ .(16.25)Матрице преобразования b|a можно приписать и другой смысл. Ее элементыесть не что иное как волновые функции старых базисных состояний |a в новомb-представлении, а элементы матрицы обратного преобразования a|b — волновыефункции новых базисных состояний в старом a-представлении. Заметим также,что матрица b|a определяет связь между новыми и старыми базисными состояниями. Действительно, применяя формулу (16.14) к новым базисным состояниям|b, получаем|b =|a a|b.(16.26)aЭто соотношение весьма поучительно.
Оно показывает, что при переходе от одногопредставления к другому новые базисные состояния всегда являются суперпозицией старых. В связи с этим возникает вопрос, важный для конкретного построения базисных наборов состояний. Предположим, что мы уже имеем некоторыйполный набор ортонормированных векторов состояния {|a} и хотим построитьновый базис {|b}. Возьмем в качестве новых базисных векторов линейные комбинации|b =Cba |a(16.27)aс некоторыми коэффициентами Cba . Каким условиям должны удовлетворять этикоэффициенты, чтобы новый набор базисных векторов состояния также был полным и ортонормированным? Можно показать, что необходимыми и достаточнымиусловиями являются соотношения (см. упражнение 16.1.)∗∗CbaCb a = δbb ,CbaCba = δaa .(16.28)abФормулы (16.23), (16.24) и (16.26) демонстрируют полезность понятия вектора состояния и удобство “скобочных” обозначений, также придуманных Дираком,для перехода от одного представления к другому.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
