Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Проекциивектора k играют роль квантовых чисел, нумерующих стационарные состоянияэлектрона в кристалле.Функцию ψk (r ) принято записывать в таком виде:ψk (r ) = eik· r uk (r ).(15.9)Смысл выделения множителя exp{ik ·r} состоит в том, что функция uk (r ) обладает периодичностью решетки при любом k.
Для доказательства этого утвержденияЭквивалентными точками называются такие, из которых открывается одинаковыйвид на весь бесконечный идеальный кристалл. Отметим, что эквивалентные точки необязательно совпадают с равновесными положениями ионов.1194подставим (15.9) в уравнение Шредингера (15.2) и после элементарных преобразований, которые оставим читателю (см. упражнение 15.2.), получим уравнение дляuk (r ). Оно имеет вид12 2−(∇ + ik) + U0 (r ) uk (r ) = ε( k ) uk (r ).2m(15.10)Заменяя здесь uk (r ) на uk (r + n) и учитывая соотношение (15.5) для самосогласованного поля в кристалле, убеждаемся, что функция со сдвинутым аргументомудовлетворяет тому же самому уравнению.
Это означает, что все решения уравнения (15.10) обладают периодичностью решетки кристалла.Подведем итоги:• Волновые функции стационарных состояний электрона в самосогласованномкристаллическом поле имеют видψk α (r ) = ei k · r uk α (r ),(15.11)где uk α (r ) = uk α (r +n) — периодические функции. Индекс α нумерует решения уравнения (15.10), соответствующие уровням энергии электрона εα ( k ).Вектор k называется волновым вектором, α — номер энергетическойзоны2 .Функции (15.11) называются функциями Блоха (или блоховскими функциями) в честь немецкого физика Ф.
Блоха, который в 1929 г. впервые установилобщий вид волновых функций частицы в произвольном периодическом поле.15.3.Квазиимпульс электрона в кристалле.Обратная решеткаФункции Блоха (15.11) имеют вид плоских волн с амплитудой uk α (r ), котораяпериодически изменяется в пространстве. Если сравнить эти функции с собственными функциями импульса частицы в пустом пространстве1ψp (r ) = eip · r/,V(15.12)то на первый взгляд кажется естественным отождествить векторp = k(15.13)с импульсом электрона в состоянии ψk α .
Легко, однако, показать, что эта интерпретация неправильная. В самом деле, с физической точки зрения было быстранно, что электрон, находясь в силовом поле U0 (r ), обладает в стационарномCобственные значения гамильтониана электрона запишем в виде ε( k ), посколькууровни энергии электрона зависят от проекций k как от параметров.2Смысл этого названия мы обсудим в разделе 15.4.1195состоянии постоянным импульсом. Можно привести и чисто формальный аргумент: волновые функции Блоха (15.11) не являются собственными функциями так какоператора импульса pˆ = −i ∇, .pˆ ψk α = p ψk α − i eik · r ∇ukα(15.14)Из-за последнего слагаемого соотношение pˆ ψk α = p ψk α не выполняется.
Все жеможно сказать, что вектор (15.13) в некотором смысле характеризует “быстротудвижения” электрона в кристалле. Действительно, вычислив среднее значениеимпульса электрона с волновой функцией Блоха, получим1ˆ dV, p = p − i u∗k α ∇u(15.15)kαVгде было использовано равенство (15.14). Так как формула (15.13) напоминаетсоотношение для свободной частицы в вакууме, но p не является “настоящим”импульсом электрона, то вектор p = k называют квазиимпульсом2 .Обсудим теперь еще одно отличие квазиимпульса электрона в кристалле отимпульса свободного электрона, играющее важную роль в физике твердого тела. Покажем, что квазиимпульс, определяемый формулой (15.13), не являетсяоднозначным. К нему можно прибавить бесконечное число векторов, не изменяяволновой функции электрона.Неоднозначность квазиимпульса связана с неоднозначностью волнового вектора k для электрона в кристалле, поэтому рассмотрим некоторые свойства этоговектора.
Для простоты предположим сначала, что кристалл имеет простую кубическую решетку (см. Рис. 15.1.) с периодом a и представляет собой параллелепипед, ребра которого ориентированы вдоль ребер элементарной ячейки. Предположим также, что оси x, y, z системы координат направлены вдоль ребер кристалла.Таким образом, в данном случае векторы основных трансляций записываются ввиде a1 = a ex , a2 = a ey , a3 = a ez , где ex , ey , ez — орты системы координат. ПустьLx = aNx – длина ребра кристалла вдоль оси x, Ly = aNy — вдоль оси y и Lz = aNz— вдоль оси z. Тогда полное число ионов в кристалле есть N = Nx Ny Nz , а объемкристалла равен V = Lx Ly Lz = a3 N .Волновые функции (15.11) должны удовлетворять некоторым условиям на границе кристалла.
Например, можно потребовать, чтобы ψkα (r ) обращалась в нульна границе кристалла. Заметим, однако, что такое условие нарушает периодичность функции вблизи границы. Строго говоря, для того, чтобы во всем объемекристалла сохранялась периодичность его свойств, он должен быть бесконечнобольшим. Впрочем, ясно, что объемные физические свойства практически не зависят от того, что происходит непосредственно около границы, и эти свойстваопределяются именно тем, что вдали от границы кристаллическая решетка является периодической.Чтобы избавиться от несущественных усложнений, которые вносит границакристалла, удобно выбрать для волновых функций электрона специальные граничные условия.
Это чисто технический прием, но он позволяет значительно упростить математику.12Предполагается, что функции Блоха нормированы на единицу в объеме кристалла V .На латыни “quasi ...” означает “вроде ...”, “похожий на ...”.196Потребуем, чтобы функции Блоха совпадали на противоположных гранях кристалла. Эти условия на границах кристалла называются циклическими граничными условиями или условиями Борна-Ка́рмана в честь физиков, которыепервыми их придумали1 .
Будем считать, что граням кристалла, параллельнымплоскости yz, соответствуют значения x = 0, x = Lx , а остальным граням — значения y = 0, y = Ly и z = 0, z = Lz . Тогда циклические граничные условиязапишутся в видеψk α (0, y, z) = ψk α (Lx , y, z),(15.16)ψk α (x, 0, z) = ψk α (x, Ly , z),ψk α (x, y, 0) = ψk α (x, y, Lz ).Используя теперь явное выражение (15.11) для функций Блоха, а также учитывая,что функции uk α периодичны и поэтому автоматически совпадают на противоположных гранях кристалла, приходим к трем условиямeikx Lx = 1,eiky Ly = 1,eikz Lz = 1.(15.17)Отсюда находим возможные значения проекций волнового вектора электрона:kx =2πn ,Lx xky =2πn ,Ly ykx =2πn,Lz z(15.18)где целые числа nx , ny , nz независимо принимают значения 0, ±1, ±2, .
. . Если вместо волнового вектора для характеристики состояния электрона используется квазиимпульс p, то из формулы (15.13) легко найти возможные значения проекцийквазиимпульса:px =2πn ,Lx xpy =2πn ,Ly ypz =2πn.Lz z(15.19)Эти выражения совпадают с выражениями (5.62) для значений проекций импульса частицы, движущейся в объеме V = Lx Ly Lz . Законный вопрос: что же новогов кристалле? Напомним, что из-за периодичности решетки кристалла волновыефункции стационарных состояний электрона отличаются тем, что они, вообще говоря, по разному преобразуются при переходе из одной точки кристалла в другуюэквивалентную точку, т. е.
при замене r на r + n, где n имеет вид (15.4). Если волновые функции преобразуются одинаково, то они соответствуют физическинеразличимым состояниям.Рассмотрим два состояния электрона в кристалле с простой кубической решеткой. Предположим, что квантовые числа α в этих состояниях одинаковы, а волновые векторы равны k и k + g , т. е. ψ1 = ψk α и ψ2 = ψk+g, α . Вектор g определяетсявыражением2π m22π m32π m1(15.20)g =ex +ex +ex ,aaaНапомним, что мы уже применяли циклические условия в разделе 5.7., чтобы сделатьспектр импульса частицы дискретным.1197где m1 , m2 , m3 — произвольные целые числа.
Согласно (15.8), волновые функцииэтих состояний преобразуются при сдвиге на n следующим образом:ψ1 (r + n) = eik · n ψ1 (r),ψ2 (r + n) = ei(k+g) · n ψ2 (r).(15.21)Легко проверить, что для произвольного вектора g вида (15.20) и произвольноговектора сдвига n в простой кубической решетке имеемg · n = 2π × (целое число).(15.22)Поэтому в формуле (15.21) множитель exp{ig · n} равен единице. Мы приходим кнесколько неожиданному выводу:• При сдвиге из любой точки кристалла в эквивалентную точку волновыефункции электрона ψk α и ψk+g, α преобразуются одинаковым образом и,следовательно, описывают физически неразличимые состояния.Так как эти состояния никак различить нельзя, то фактически мы имеем дело содним и тем же состоянием электрона и волновые функции ψk α и ψk+g, α должнысовпадать1 .
Итак,ψk+g, α (r ) = ψk α (r ),(15.23)а это равенство и говорит о том, что волновой вектор электрона в кристалле и,следовательно, его квазиимпульс неоднозначны. Состояния с k и k + g (или c p иp + g ) физически эквивалентны.Вектор вида (15.20) называется вектором обратной решетки. Следует отметить, правда, что это конкретное выражение справедливо только для простой кубической решетки. Однако вывод о неоднозначности волнового вектора и квазиимпульса справедлив и для решетки произвольного вида. Главное свойство вектораобратной решетки выражается формулой (15.22). Для произвольной кристаллической решетки векторы обратной решетки строятся с помощью векторов основныхтрансляций a1 , a2 , a3 (напомним, что они определяют примитивную ячейку кристалла).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
