Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В частности, эту энергию можно сообщить электронам, приложив электрическое поле к кристаллу. В результате перехода части электронов в возбужденныесостояния в кристалле пойдет электрический ток.Металлами являются все кристаллы, содержащие нечетное число электронов наатом. Действительно, с учетом двух возможных спиновых состояний (с ms ± 1/2)каждая зона содержит 2N одноэлектронных состояний, где N — полное число элементарных ячеек в кристалле.
Поэтому заполненные зоны обязательно содержатчетное число электронов. Остальные электроны могут заполнить лишь половинуверхней зоны разрешенных состояний. В качестве иллюстрации рассмотрим простейший металл — литий (Li), атом которого содержит три электрона. При T = 0 вкристалле лития 2N электронов заполняют все квантовые состояния в 1s-зоне (см.Рис. 15.3.), а оставшиеся N электронов заполняют половину состояний в 2s-зоне.Диэлектрики.
В диэлектриках при T = 0 полностью заполнены электронами несколько зон, а свободные одноэлектронные состояния находятся в пустойКак и раньше, ms = ±1/2 — спиновое магнитное квантовое число. Оно определяетзначение проекции спина электрона на ось квантования.1205зоне проводимости, отделенной от заполненной валентной зоны интерваломзапрещенных энергий ∆E, которая, как уже отмечалось, называется ширинойзапрещенной зоны.
Поскольку для перевода электронов в свободные состояния нужна конечная энергия (∆E на один электрон), кристаллы с такой структурой зон являются изоляторами при T = 0. При конечных температурах из-затеплового движения в кристалле некоторые электроны случайно могут получитьнеобходимую энергию и оказаться в состояниях с энергией в зоне проводимости,поэтому при конечных температурах диэлектрики, хотя и плохо, но проводят электрический ток. Обычно к собственно диэлектрикам принято относить кристаллы,в которых ширина запрещенной зоны ∆E составляет несколько электрон-вольт.“Рекордсменом” является алмаз (С), у которого ∆E ≈ 6 эВ.Полупроводники. При T = 0 энергетические зоны в полупроводниках заполнены точно так же, как в диэлектриках. Однако в полупроводниках шириназапрещенной зоны ∆E меньше, чем у диэлектриков.
Например, для наиболее часто используемых в технике полупроводников ∆E = 1, 15 эВ (кремний – Si) и∆E = 0, 744 эВ (германий – Ge). Заметная проводимость у полупроводников появляется при более низких температурах, чем у диэлектриков, так как электронамтребуется меньше энергии, чтобы перевести их из состояний заполненной валентной зоны в свободные состояния зоны проводимости,Завершая краткий экскурс в квантовую теорию кристаллов, сделаем несколькозамечаний.
Во-первых, даже в отношении электронов наш анализ относилсялишь к простейшей ситуации, когда ионы занимают фиксированные положенияв узлах идеально периодической решетки. В следующем приближении нужнонайти электронные уровни энергии при смещенных положениях ионов и рассчитать эффективную энергию взаимодействия ионов, которая определяет частотуколебаний ионов около узлов решетки. Эта задача гораздо сложнее той, котороймы занимались, так как при смещении ионов из положений равновесия теряетсяпериодичность решетки. Правда, поскольку в кристаллах смещения ионов, какправило, малы по сравнению с периодом решетки, можно применить теориювозмущений, используя функции Блоха в качестве волновых функций нулевогоприближения. При учете кинетической энергии ядер появляется связь электронных возбуждений с колебаниями ионов в решетке, которая приводит к обменуэнергии между валентными электронами и колебаниями ионов. Эти процессыочень важны, например, для установления теплового равновесия в кристалле.Однако их изучение выходит далеко за рамки вводного курса квантовой механикии составляет предмет специальной науки — физики твердого тела.Упражнения15.1.
Построить векторы основных трансляций a1 , a2 , a3 для кубических решеток, изображенных на Рис. 15.1.Указание: Векторы a1 , a2 , a3 соединяют ядро иона с тремя его ближайшимисоседями.15.2. Вывести уравнение (15.10) из уравнения Шредингера (15.2).Указание: Сначала полезно проверить соотношение eik · r f (r ) = eik · r ∇ + ik f (r ),∇где f (r ) — произвольная функция.20615.3. Доказать свойство (15.23) функций Блоха для произвольной кристаллической решетки.Указание: Для этого достаточно убедиться, что соотношение (15.22) выполняется, если вектор обратной решетки определяется формулой (15.25).15.4.
Используя формулы (15.18) для возможных значений проекций волновоговектора электрона в кубической решетке, подсчитать число различных квантовыхсостояний в зоне Бриллюэна (см. Рис.15.2.) и убедиться, что оно равно N — числуэлементарных ячеек в кристалле.15.5.
Доказать, что волновые функции (15.31) сильно связанных электроновортонормированы, если пренебречь перекрытием функций ϕα [см. (15.32)].0 При вычислении скалярного произведения двух таких функций/ Указание:(0) (0)ψk α ψk α нужно учесть, что каждая функция ϕα нормирована на единицу.0/(0) (0)Тогда ψk α ψk α = δk, k .15.6. Доказать, что волновые функции нулевого приближения (15.31) для сильно связанных электронов обладают свойством функций Блоха:(0)(0)ψk α (r + n) = eik · n ψk α (r ).16.Общая схема квантовой механикиДо сих пор, говоря о квантовом состоянии частицы или о квантовом состояниисистемы частиц, мы считали, что оно описывается волновой функцией, зависящей от координат частиц и, если частицы обладают спином, то и от спиновыхпеременных. Изменение волновой функции со временем описывалось уравнениемШредингера.
Физическим величинам соответствовали операторы, действующиена волновую функцию. Наблюдаемые значения физических величин вычислялиськак средние значения операторов с волновой функцией системы. Вся эта схема,как мы видели, позволяет разобраться во многих свойствах атомов, молекул икристаллов.В этом параграфе мы попытаемся взглянуть на квантовую механику с несколько иной точки зрения. Прежде всего мы покажем, что понятие “состояние квантовой системы” является гораздо более общим, чем понятие “волновая функция”, и,на самом деле, одно и то же квантовое состояние можно описать множеством различных “волновых функций”. Кроме того, оказывается, что оператор физическойвеличины совсем не обязательно определять правилом его действия на волновыефункции.Излагаемый ниже подход к квантовой механике был разработан английскимфизиком Полем Дираком в 1930 г.
и до сих пор считается наиболее общим икрасивым1 . Волновая механика Шредингера является частным случаем теорииДирака. Мы обсудим на элементарном уровне лишь основные идеи этой теории,которые наиболее часто используются в приложениях.Вскоре, в 1932 г., теория Дирака, основанная в значительной степени на физическихсоображениях и блестящих интуитивных догадках, была сформулирована Д. фон Нейманом как строгая математическая схема.120716.1.Вектор состоянияВернемся ненадолго к уже привычной волновой механике Шредингера и предположим, что квантовое состояние системы (одночастичной или многочастичной)описывается волновой функцией Ψ(q, t), где q — набор координат частиц и спиновых переменных. Пусть {ψa (q)} — некоторый полный ортонормированный наборбазисных волновых функций, удовлетворяющих условию ψa |ψa = δa a .(16.1)Договоримся, что при обсуждении общих вопросов a = {a1 , a2 , .
. . , ai , . . .} естьсложный индекс, включающий все квантовые числа, полностью определяющиебазисную волновую функцию. Символ Кронекера δa a определяется как произведение.δai ai .(16.2)δa a =iНекоторые ai могут принимать непрерывный набор значений (скажем, проекцииимпульса частиц). Суммирование по таким непрерывным индексам означает интегрирование, а символ Кронекера δa a заменяется на дельта-функцию δ(ai − ai ).i iПолнота набора функций {ψa (q)} означает, что любую волновую функцию рассматриваемой системы можно представить в виде разложения (суперпозиции)C(a, t) ψa (q),(16.3)Ψ(q, t) =aгде суммирование ведется по всем возможным значениям a. Комплексные коэффициенты C(a, t) есть амплитуды вероятности обнаружить систему в моментвремени t в базисных состояниях1 .
Сами вероятности равны |C(a, t)|2 . Благодаря условию (16.1) амплитуды C(a, t) равны скалярным произведениям волновойфункции системы Ψ(q, t) и базисных волновых функций:C(a, t) = ψa |Ψ(t) ≡ ψa∗ (q) Ψ(q, t) dq,(16.4)а условие нормировки для волновой функции системы записывается через амплитуды C(a, t) в виде|C(a, t)|2 = 1.(16.5)Ψ(t)|Ψ(t) ≡ Ψ∗ (q, t)Ψ(q, t) dq =aВ принципе, набор базисных функций {ψa (q)} может быть никак не связан с физикой задачи; важно лишь, чтобы он был полным и ортонормированным. Однакообычно эти функции являются собственными функциями некоторого полного набора одновременно измеримых физических величин2 , а индексы ai — соответствующие собственные значения (или квантовые числа).По существу, мы во многом повторяем итоги раздела 5.3., где речь шла о квантовыхсостояниях одной частицы.2Их операторы коммутируют друг с другом.1208Остается добавить, что изменение квантового состояния со временем описывается фундаментальным уравнением квантовой механики — уравнением Шредингера∂Ψi= Ĥ(t) Ψ,(16.6)∂tгде Ĥ(t) — гамильтониан системы.Перечисленные факты образуют, так сказать, “скелет” волновой механики Шредингера, которой мы до сих пор пользовались.
Обратим теперь внимание на однообстоятельство. Вместо базисного набора функций {ψa (q)} можно выбрать другойполный набор ортонормированных функций {ψb (q)}, по которому с тем же успехомможет быть разложена волновая функция системы Ψ(q, t). Важно отметить, чтоамплитуды C(a, t) и C(b, t) полностью описывают квантовое состояние и их, впринципе, можно использовать вместо волновой функции Ψ(q, t). Получается так,что при различных выборах базисных волновых функций мы получаем формально различные описания одного и того же квантового состояния, или, как принятоговорить, получаем для него различные представления. Это наблюдение и лежитв основе общей схемы квантовой механики, предложенной Дираком. Идея Дирака состояла в том, чтобы сформулировать законы квантовой механики не дляволновой функции, а непосредственно для квантовых состояний.• Согласно Дираку, в каждый момент времени квантовое состояние системыматематически описывается величиной |Ψ(t), которая называется векторомсостояния1 .Далее постулируются свойства векторов состояния.
Они являются, конечно, обобщением свойств волновых функций, которыми до сих пор описывались квантовыесостояния.• Векторы состояния можно складывать и умножать на комплексные числа,получая новые векторы состояния.Это свойство отражает фундаментальный принцип квантовой механики — принцип суперпозиции состояний. На языке математики оно означает, что векторысостояния образуют абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений.• Для любых векторов состояния |Ψ1 и |Ψ2 определено их скалярное произведение Ψ1 |Ψ2 , которое является комплексным числом и обладает следующими свойствами:Ψ1 |Ψ2 ∗ = Ψ2 |Ψ1 ,(16.7)Ψ|Ψ > 0,(16.8)c∗2 Ψ2 |Ψ,(16.9)Ψ|c1 Ψ1 + c2 Ψ2 = c1 Ψ|Ψ1 + c2 Ψ|Ψ2 .(16.10)c1 Ψ1 + c2 Ψ2 |Ψ =c∗1 Ψ1 |Ψ+Термин “вектор состояния” подчеркивает, что для квантовых состояний можно определить алгебраические операции, аналогичные операциям с обычными векторами (см.ниже).1209Обратим внимание на формальное сходство этих свойств со свойствами скалярного произведения функций (5.11) – (5.13).
Это сходство не случайное, так какволновая функция Ψ(q, t) — одно из возможных представлений вектора состояния.Абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений, в которомопределено скалярное произведение со свойствами (16.7) – (16.10), называется вматематике гильбертовым пространством в честь немецкого математика Давида Гильберта, построившего строгую теорию таких пространств еще до созданияквантовой механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
