Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Элементарные векторы обратной решетки определяются равенствамиb = 2π (a × a ),13v 2b = 2π (a × a ),21v 3b = 2π (a × a ),32v 1(15.24)где v = a1 · (a2 × a3 ) — объем примитивной ячейки. Тогда произвольный векторобратной решетки записывается в видеg = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3 ,(15.25)где m1 , m2 , m3 — произвольные целые числа.
Обратим внимание на сходство между этим выражением и формулой (15.3) для векторов кристаллической решетки.Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что векторы обратнойрешетки (15.25) обладают свойством (15.22). Поскольку именно это свойство приводит к неоднозначности волнового вектора и квазиимпульса, соотношение (15.23)справедливо для всех кристаллов.В принципе возможно, что при замене всех волновых векторов k на k +g все функцииБлоха получат одинаковый комплексный множитель C с |C| = 1, но это не приведет ник каким физическим последствиям (докажите это).1198Приводит ли неоднозначность k и p к каким-нибудь неприятностям? Если да,то как от нее избавиться? Основная проблема возникает, если мы собираемся использовать функции Блоха в качестве базисного набора функций для разложенияпроизвольной волновой функции ψ(r ) электрона в кристалле или для построенияволновой функции всей системы электронов. Мы видели в предыдущих параграфах, что одноэлектронные функции стационарных состояний служат для этогохорошим “строительным материалом”, особенно с целью последующего применения теории возмущений.
Если записать ψ(r ) в виде рядаψ(r ) =ck α ψk α (r )(15.26)α,kс некоторыми коэффициентами ck α и позволить вектору k принимать все значения, которые следуют из формулы (15.18), то в силу равенства (15.23) каждоебазисное состояние будет повторяться в этой сумме бесконечное число раз. Ясно,что это недопустимо. Избавиться от этого довольно легко. Нужно в пространстве волновых векторов выделить область, которая соответствует всем различнымодноэлектронным состояниям, и использовать эти состояния в качестве базисных.Так и поступают.
Области в k-пространстве, соответствующие физически различным состояниям электрона, называются зонами Бриллюэна.Поскольку соотношение (15.23) показывает, что функции Блоха периодичны в kпространстве, зону Бриллюэна можно выбрать многими способами. Довольно часто(но не всегда) выбирают так называемуюпервую зону Бриллюэна, у которой волновой вектор k = 0 находится в центре зоны. Обычно, если не используются другиезоны, ее называют просто зоной Бриллюэна. На Рис. 15.2.
изображена зонаБриллюэна для простой кубической решетки. Она представляет собой куб с ребром2π/a. Ее “объем” в k-пространстве равен(2π)3 /a3 , т. е. (2π)3 /v, где v = a3 — объемэлементарной ячейки кристалла. Интересно, что если подсчитать число квантовыхРис. 15.2.состояний электрона в зоне Бриллюэна, т. е.число физически различных k, то их окажется ровно N — число элементарных ячеек в кристалле.
Предлагаем читателюпроверить это самому (см. упражнение 15.4.).Подводя итог сказанному выше, вернемся к формуле (15.26) и отметим, чтов этой формуле и вообще везде, где ведется суммирование по волновым векторам электронных состояний, суммирование должно быть ограничено первой зонойБриллюэна в k-пространстве.Форма зон Бриллюэна зависит от симметрии кристаллической решетки. Явноепостроение зон Бриллюэна для всевозможных кристаллических решеток — задачафизики твердого тела.
Здесь мы ею заниматься не будем.19915.4.Энергетические зоны электроновОбсудим теперь энергетический спектр εα ( k ) электрона, который должен находиться в результате решения уравнения (15.10). Конечно без дополнительнойинформации о кристаллическом поле U0 (r) найти спектр невозможно, но некоторые общие заключения о нем можно сделать, опираясь на то, что было сказано впредыдущем разделе, и на качественные физические соображения.Во-первых, напомним, что функции uk α и uk+g, α соответствуют одному и тому же квантовому состоянию электрона.
Поэтому для спектра энергии в любомпериодическом поле должно выполняться соотношениеεα (k + g ) = εα ( k ).(15.27)Иначе говоря, энергия электрона, как и его волновая функция, является периодической функцией в k-пространстве. Второе важное свойство уровней энергии,которое можно извлечь из уравнения (15.10), состоит в том, что значение энергииэлектрона не меняется, если заменить волновой вектор на противоположный, т. е.εα ( k ) = εα ( −k ).(15.28)Напомним, что это соотношение выполняется для электрона в пустом пространстве. В этом случае изменение k на −k или, что то же самое, изменение импульса pна −p означает просто, что электрон стал двигаться с той же энергией в противоположную сторону. Интересно, что в периодическом поле кристалла эта симметриясохраняется.
Мы не будем приводить математического доказательства соотношения (15.28), так как оно не совсем элементарно.Этим почти исчерпываются точные выводы, относящиеся к спектру энергииэлектрона в кристалле (разумеется, в рамках приближения самосогласованногополя). Остановимся теперь на физическом смысле индекса α, который нумеруетквантовые состояния электрона при заданном k и был назван номером энергетической зоны.
Как мы выяснили, при каждом α электрон может находитьсяв квантовых состояниях с различными волновыми векторами k, лежащими в зонеБриллюэна. Число таких состояний точно равно числу элементарных ячеек N вкристалле. Вряд ли это простое совпадение.Чтобы “в нулевом приближении” понять смысл индекса α, рассмотрим достаточно простое кристаллическое вещество — металл литий, в атоме которого всегоодин валентный слабо связанный 2s-электрон, а два другие электрона заполняют первую оболочку (см. таблицу 13.2.). Представим себе, что N атомов литиясначала были удалены друг от друга, а затем сблизились, образовав кристалл.Пока не будем обращать внимания на заполненную оболочку, т. е. будем считать,что два 1s-электрона вместе с ядром образуют ион, в поле которого движется валентный 2s-электрон.
Выясним, что происходит с 2s-состояниями электронов присближении атомов.Пока атомы далеко друг от друга, уровень энергии ε2s многократно вырожден,так как у всех N валентных электронов в атомах одна и та же энергия. Кратность вырождения этого уровня как раз равна N ; ему соответствуют N различныхсостояний, отличающихся номером атома, в котором находится электрон. При200сближении атомов на достаточно малое расстояние поле одного атома начинаетдействовать на 2s-электрон, находящийся в другом атоме.
Кроме того, возникает “перекрытие” волновых функций валентных электронов разных атомов. Взаимодействие между атомами играет роль возмущения, под действием которого2s-уровень, как и любой вырожденный уровень, расщепляется (см. раздел 10.3.)на N уровней, которым соответствуют N новых стационарных состояний электрона. Если атомные волновые функции перекрываются, то в новых стационарныхсостояниях электрон может оказаться у любого иона.Теперь сопоставим эту качественную картину с описанием квантовых состоянийэлектрона в предыдущих разделах. Ясно, что в данном случае индекс α уровнейэнергии εα ( k ) валентных электронов в кристалле лития соответствует индексу вырожденного атомного 2s-состояния, а новые N состояний описываются функциямиБлоха ψk α и различаются волновым вектором k (или квазиимпульсом p ).На самом деле, то, что произошло с2s-электронами лития, произойдет и свнутренними 1s-электронами.
Разницабудет в том, что волновые функции 1sэлектронов при образовании кристаллаперекрываются значительно меньше,чем волновые функции валентных2s-электронов и расщепление уровня ε1sв кристалле будет значительно меньше,чем расщепление уровня ε2s .Поскольку разность между возможными значениями проекций волновоговектора в макроскопическом кристаллеочень мала [см.формулы (15.18)],вместо двух атомных уровней ε1s иε2s в кристалле лития возникнут двепрактическинепрерывныеполосыэнергии,показанныенаРис.15.3.ИхРис. 15.3.называют энергетическими зонами.Таким образом, энергетическая зона — это интервал возможных значенийэнергии электрона в кристалле.Две энергетические зоны на Рис. 15.3.
отделены интервалом значений энергии, которые электрон в стационарном состоянии иметь не может. Величина ∆Eназывается шириной запрещенной зоны.Итак, для кристалла лития номер зоны α указывает на атомный уровень электрона, при расщеплении которого возникает спектр εα ( k ). В других кристаллах ситуация может быть не такой простой. Возьмем, например, кристалл бора(B). Незаполненная оболочка атома бора содержит один 2p-электрон (см. таблицу 13.2.).
Уровень ε2p вырожден даже в изолированном атоме, так как при l = 1возможны три значения магнитного квантового числа m = −1, 0, 1. Поэтому вкристалле этот уровень порождает три энергетические зоны.Различные энергетические зоны могут перекрываться, так что энергетическийспектр электрона в кристалле может иметь довольно сложную структуру. Мы небудем, однако, углубляться в эти тонкости, которыми занимается специальная наука — физика твердого тела. Нашей целью было показать, как квантовая механика201объясняет возникновение энергетических зон.15.5.Приближения слабо и сильно связанных электроновДля нахождения электронного энергетического спектра εα (k ) нужно решитьуравнение Шредингера (15.2) [или уравнение (15.10)], а для этого нужно иметьдополнительную информацию о кристаллическом поле U0 (r ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
