Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Как видно из формулы (16.75), n есть число квантов возбуждения ω в состоянии |n, отсчитанное от основного уровня энергии. По этой227причине оператор ↠называется оператором рождения кванта возбуждения,а оператор â — оператором уничтожения кванта возбуждения1 .Используя (16.74) и (16.85), легко убедиться, что â и ↠удовлетворяют коммутационному соотношению[â, ↠] ≡ â↠− ↠â = 1.(16.86)Как обычно, для упрощения формул пишем 1 вместо единичного оператора 1̂.Важную роль в теории осциллятора играет оператор числа квантов возбуждения2n̂ = ↠â.(16.87)Действуя этим оператором на состояние |n и учитывая формулы (16.85), получаемn̂ |n = n |n.(16.88)Отсюда видно, что стационарные состояния осциллятора являются собственнымисостояниями оператора числа квантов, а собственные значения равны числу квантов возбуждения n = 0, 1, 2, . .
. По исторической традиции значения квантовогочисла n называются числами заполнения. Поэтому представление с базиснымивекторами состояния |n называется представлением чисел заполнения.Все операторы, относящиеся к осциллятору, можно выразить через операторырождения и уничтожения. В частности, из формул (16.84) легко находятся выражения для операторов координаты и импульса (выкладки оставляем читателю):x x̂ = √0 â + ↠,2p̂x = −i √1 â − ↠.2 x0Подставляя эти выражения в (16.73) и производя упрощения (см.ние 16.11.), получаем гамильтониан осциллятора в таком виде:(16.89)упражне-11†Ĥ = ω â â +≡ ω n̂ +.22(16.90)C учетом соотношения (16.88) убеждаемся, что Ĥ|n = En |n, где уровни энергиидаются формулой (16.75).Операторы рождения и уничтожения очень удобны для вычисления всякогорода средних значений.
В качестве иллюстрации найдем средние квадратичныеотклонения (квантовые неопределенности) координаты и импульса в стационарномсостоянии |n. Из общей формулы (4.21) следует, что(∆x)2 = n|x̂2 |n − (n|x̂|n)2 ,(∆px )2 = n|p̂2x |n − (n|p̂x |n)2 .Для краткости ↠называют просто оператором рождения, а â — операторомуничтожения.2Часто его называют просто оператором числа квантов.1228Средние значения n|x̂|n и n|p̂x |n равны нулю; это легко заметить, например, изформул (16.89), так как диагональные матричные элементы n|â|n и n|↠|n равны нулю.
Вычислим теперь среднее значение n|x̂2 |n, которое можно представитьв виде2 0 0 / 2x2 / n|x̂2 |n = 0 n â + ↠n =n â + (↠)2 + â↠+ ↠â n ,22m ωгде использовано выражение x0 = /mω. Учитывая, что диагональные матричные элементы операторов â2 и (↠)2 равны нулю, и записывая â↠= ↠â + 1,получаемn|x̂2 |n =(1 + 2n).2m ωВычисление n|p̂2x |n выполняется точно так же. Мы оставим его читателю в качестве упражнения и выпишем окончательные формулы для квантовых неопределенностей:m ω(1 + 2n),∆px =(1 + 2n).(16.91)∆x =2m ω2Отметим, что произведение неопределенностей∆x ∆px =1 + 2n2(16.92)удовлетворяет фундаментальному неравенству Гайзенберга [см.
(4.27)] и имеет минимальное значение при n = 0, т. е. в основном состоянии осциллятора.Подведем итоги.• Базисными состояниями квантового осциллятора в представлении чисел заполнения являются стационарные состояния |n.• Все динамические переменные для осциллятора могут быть выражены через оператор уничтожения кванта возбуждения â и эрмитово сопряженныйему оператор рождения ↠. Эти операторы удовлетворяют коммутационномусоотношению (16.86) и действуют на базисные состояния по правилам (16.85).• В представлении чисел заполнения отличны от нуля следующие матричныеэлементы операторов рождения и уничтожения:√√n − 1|â|n = n,(16.93)n + 1|↠|n = n + 1.• В представлении чисел заполнения матрица гамильтониана осциллятора диагональна, т.
е.Hnn = En δnn ,где En — уровни энергии осциллятора (16.75).В принципе, приведенных сведений достаточно для решения любой задачи,относящейся к квантовому осциллятору. При этом не нужно даже знать явноговыражения для волновых функций ψn (x), которые соответствуют координатномупредставлению.229Упражнения16.1. Доказать, что соотношения (16.28) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор векторов состояния (16.27) был полным и ортонормированным.Указание: С помощью (16.27) скалярное произведение b|b записывается в виде∗∗b|b =Cb a b|a =CbaCb a a|a =CbaCb a .aa ,aaТаким образом, для выполнения равенства b|b = δbb необходимо и достаточно,чтобы выполнялось первое соотношение (16.28).
Второе соотношение получаетсяиз требования, чтобы набор {|b} был полным. По предположению, исходный набор{|a} является полным, т. е. любой вектор состояния можно разложить по этимвекторам. Значит, для полноты нового набора необходимо и достаточно, чтобылюбой |a мог быть разложен по векторам |b. Записав|b b|a,|a =bа затем, вычислив с помощью этого равенства скалярное произведение a |a иприравняв его δaa , можно получить второе соотношение (16.28).16.2.
Используя определение (16.31) эрмитово сопряженного оператора, доказать, что среднее значение самосопряженного (эрмитового) оператора в любомквантовом состоянии является действительным числом.16.3. Доказать, что матрица оператора Ĉ = ÂB̂ в любом представлении естьпроизведение матриц операторов Â и B̂:Caa =Aaa Ba a .aОбобщить это соотношение на операторы вида Ĉ = Â1 Â2 · · · Âk .Указание: Матричный элемент Caa можно записать в видеCaa = a|ÂB̂|a = a|Â 1̂ B̂|a .Остается воспользоваться формулой (16.21) для единичного оператора.16.4. Показать, что уравнение (16.44) в произвольном a-представлении эквивалентно следующему матричному уравнению для волновой функции ψA (a) = a|A:(Aaa − A δaa ) ψA (a ) = 0.(16.94)aУказание: Умножить скалярно обе части (16.44) на базисный вектор |a, а затемразложить вектор состояния Â по базисным векторам.16.5.
В волновой механике Шредингера гамильтониан частицы во внешнем потенциальном поле имеет вид Ĥ = p̂2 /2m + U (r ). Проверить, что матричные элементы гамильтониана в координатном представлении даются выражением2 2 r |Ĥ| r = −∇ + U (r ) δ(r − r ),2m230где ∇2 — оператор дифференцирования по проекциям вектора r. Определениепроизводных дельта-функции приводится на стр. 221.16.6. Рассматривается частица со спином s. В качестве базисных состоянийчастицы выбраны состояния |q ≡ |r , ms , где спиновое магнитное квантовое число(ms = −s, −s + 1, .
. . , s) определяет значение проекции спина частицы Sz = msна ось квантования z.а) Записать условие нормировки для векторов состояния |q и условие полнотыбазиса;б) Найти матричные элементы q| rˆ |q оператора радиуса-вектора и матричныеэлементы q| pˆ |q оператора импульса в q-представлении;в) Найти матричные элементы q|Ŝz |q оператора Ŝz в этом представлении;г) Для случая s = 1/2 найти также матричные элементы q|Ŝx |q и q|Ŝy |q .16.7.
Проверить условие нормировки (16.62) для волновой функции частицы вимпульсном представлении.Указание: Если записать Φ∗ (p, t) в виде интеграла, выполнив комплексное сопряжение в (16.61), то левая часть (16.62) приводится к виду12 3333 −ip · (r−r )/ ∗|Φ(p, t)| d p =dpdrdreΨ (r , t)Ψ(r, t).3(2π)Выражение выглядит довольно сложным, но если первым вычислить интеграл поp, то возникает дельта-функция δ(r − r ) [см. (16.69)], которая затем “снимает”интеграл по r .16.8. Используя формулу (6.40) для полиномов Эрмита, проверить равенства (16.77) и (16.78).16.9.
Вывести соотношения (16.80) и (16.82).Указание: Удобно записать x = x0 ξ и p̂x = (−i/x0 )∂/∂ξ. Обозначим через Anнормировочную постоянную в выражении (16.76) для ψn . Тогда, согласно свойству (16.77) полиномов Эрмита,1An1 An2ξψn = An nHn−1 + An Hn+1 e−ξ /2 =n ψn−1 +ψ .2An−12 An+1 n+1Отношения нормировочных постоянных легко находятся:An /An+1 = 2(n + 1).An /An−1 = 1/ 2n,С учетом приведенных формул сразу получается (16.80). Для вывода (16.82) нужно воспользоваться свойством (16.77) полиномов Эрмита.16.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
