Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Напомним, однако, что само исходное выражение (18.59) справедливо лишь для значенийτ , которые значительно меньше, чем время жизни начального состояния τi . Поэтому применять формулу (18.62) для слишком больших τ просто нельзя.Второе замечание относится к дельта-функции в формуле (18.62). Как известно, сама по себе дельта-функция не является “обычной функцией”: она равна нулю,когда аргумент отличен от нуля, и обращается в бесконечность, когда аргумент равен нулю. Смысл имеют лишь интегралы дельта-функции с непрерывными функциями. В результате интегрирования получается значение непрерывной функциив точке, где дельта-функция обращается в бесконечность.
Немного позже мы покажем, как выражение (18.62) следует применять для вычисления реально измеряемых вероятностей.Вместо вероятности перехода wf i (τ ) обычно используется вероятность перехода в единицу времени Pf i = wf i (τ )/τ , которая, как видно из (18.62), уже независит от τ :22π Pf i =(18.63)f |Ŵ |i δ(Ef − Ei ).Эта формула настолько часто применяется в конкретных приложениях теорииквантовых переходов, что получила название золотого правила Ферми по имени итальянского физика Э. Ферми, который ее впервые вывел.Уже отмечалось, что в экспериментах измеряется вероятность перехода в группу состояний |f с практически одинаковыми энергиями и матричными элементами f |Ŵ |i, поскольку любой прибор имеет конечную разрешающую способность.Наблюдаемая вероятность перехода в единицу времени P f i получается в результатесуммирования (фактически — интегрирования) вероятности P f i по всем конечнымсостояниям |f с практически одинаковыми значениями энергии и одинаковымиматричными элементами f |Ŵ |i оператора возмущения.
Обозначим число таких259состояний, приходящихся на единичный интервал энергии Ef , через (Ef ). Тогда,используя выражение (18.63) для Pf i , находим, чтоP fi =Pf i (Ef ) dEf =2π2f|Ŵ|i (Ef )(18.64)при условии, что Ef = Ei . Как видим, роль дельта-функции в формуле (18.63)свелась к учету сохранения энергии при переходах под действием постоянного возмущения.В квантовой оптике и в других разделах квантовой физики большой интереспредставляют переходы, вызванные взаимодействием системы с переменным полем, которое меняется со временем по гармоническому закону с частотой ω.
Например, это относится к поглощению или излучению света атомами, где ω — частотасвета.Гамильтониан взаимодействия системы с периодическим возмущением всегдаможно записать в виде суммы двух эрмитово сопряженных операторов:Ŵ (t) = Ŵ eiωt + Ŵ † e−iωt ,ω > 0,(18.65)где Ŵ не зависит от времени. Вычисляя вероятность перехода с помощью формулы (18.56) и затем действуя так же, как в предыдущем примере (см. упражнение 18.7.), для вероятности перехода в единицу времени получаем(↑)(↓)Pf i = Pf i + Pf i ,(18.66)где введены обозначения(↑)Pf i =(↓)Pf i2π2f|Ŵ|i δ(Ef − Ei − ω),22π =f |Ŵ |i δ(Ef − Ei + ω).(18.67)(↑)Величина Pf i есть не что иное как вероятность перехода в единицу времени споглощением кванта энергии ω от внешнего источника (например, от электромагнитного поля), поскольку дельта-функция обеспечивает выполнение условия(↓)Ef = Ei + ω, а Pf i — вероятность перехода в единицу времени с передачей кванта энергии от системы к внешнему источнику.18.6.Излучение и поглощение фотонов атомамиВ этом разделе мы кратко обсудим важное применение теории квантовых переходов к процессам поглощения и излучения электромагнитного поля атомами1 .Прежде всего заметим, что формулы (18.67) могут рассматриваться как обоснование гипотезы Планка о том, что энергия электромагнитного поля с частотой ωпоглощается и излучается квантами ω.
Подчеркнем, что к такому выводу мы1Подробнее этот вопрос рассмотрен, например, в § 94 книги [2].260приходим и в том случае, когда поле описывается классически, т. е. векторами напряженности электрического поля и индукции магнитного поля. Однако с квантовой точки зрения электромагнитное излучение само является квантовой системойфотонов, поэтому в более точной постановке задачи нужно рассмотреть переходы в полной системе, состоящей из двух взаимодействующих квантовых систем:атома и фотонов. Гамильтониан всей системы имеет видĤ = Ĥатом + Ĥполе + Ŵ ,(18.68)где Ĥатом — гамильтониан атома, Ĥполе — квантовый гамильтониан поля как системы фотонов, Ŵ — гамильтониан взаимодействия атома с фотонами.С гамильтонианом атома мы уже достаточно хорошо знакомы.
Что касаетсягамильтониана электромагнитного поля, то его нетрудно записать в представлениичисел заполнения (см. раздел 17.1.). Как уже говорилось, квантовое состояние одного фотона |k, α характеризуется волновым вектором k (или импульсом p = k )и квантовым числом α = ±1, которое определяет величину проекции собственногомомента фотона на направление k, т. е. поляризацию фотона. В таком состояниифотон обладает энергией εk = ωk , где ωk = ck — частота излучения.Электромагнитное излучение представляет собой идеальный бозе-газ фотонов1 ,квантовые состояния которого определяются числами заполнения nkα . Каждое изэтих чисел принимает значения от нуля до бесконечности. Как и для любого идеального бозе-газа, гамильтониан фотонного газа в представлении чисел заполненияимеет видĤполе =εk n̂k α ≡εk â†kα âkα ,(18.69)k αk αгде â†kα и âkα — бозе-операторы рождения и уничтожения фотонов.
Наконец, нужно иметь выражение для оператора Ŵ , который описывает взаимодействие атомас электромагнитным излучением. Мы не будем приводить явный вид этого оператора (см., например, § 94 в книге [2]). Скажем только, что для излучения, длинаволны которого много больше размеров атома, оператор Ŵ получается из формуˆ В свою на соответствующие операторы Eˆ и B.лы (18.42), если заменить поля E и Bочередь, операторы напряженности электрического поля и индукции магнитногополя линейно выражаются через операторы рождения и уничтожения фотонов.Ясно, что тогда Ŵ должен иметь ви䆆Ŵ =Âkα âkα + Âkα âkα ,(18.70)k,αгде Âkα — некоторые операторы, действующие только на квантовые состояния атома. Физический смысл выражения (18.70) легко понять.
Как известно, операторâ†kα , действуя на вектор состояния, увеличивает число фотонов nkα на единицу, аоператор âkα уменьшает это число на единицу. Таким образом, первое слагаемое вскобках описывает процессы излучения фотонов, а второе — процессы поглощенияфотонов.1Фотоны непосредственно друг с другом не взаимодействуют.261Чтобы вычислить вероятности излучения и поглощения одного фотона c волновым вектором k и поляризацией α, предположим, что в начальный момент t = 0отсутствует взаимодействие между атомом и полем. Предположим также, чтоатом находится в начальном состоянии |i, а в среде уже имеется nkα фотоновданного типа.
Тогда начальный вектор состояния полной системы (атом + поле)можно записать в виде(18.71)|нач = |i, nkα .Затем “включается” взаимодействие Ŵ и через промежуток времени τ конечноесостояние полной системы описывается вектором|кон = C0 (τ ) |f, nkα +f(изл)Cf i(τ ) |f, nkα + 1 +(погл)Cf i(τ ) |f, nkα − 1, (18.72)fкоторый есть суперпозиция трех альтернатив: а) состояние атома не изменилось,число фотонов не изменилось; б) был излучен один фотон, атом перешел в новоесостояние |f ; в) был поглощен один фотон, атом перешел в новое состояние |f .(изл)(погл)Амплитуды Cf i (τ ) и Cf i (τ ) определяют вероятности излучения и поглощенияфотона: (изл) 2 (погл) 2(изл)(погл)wf i (τ ) = Cf i (τ ) .(18.73)wf i (τ ) = Cf i (τ ) ,Дальше фактически идет повторение вывода формулы (18.63) для вероятностиперехода в единицу времени.
Нужно лишь учесть, что теперь базисные состояния полной системы включают как состояния атома, так и состояния поля. Соответствующие выкладки мы оставим читателю (см. упражнение 18.8.) и сразуприведем результаты:(изл)Pf i=(погл)Pf i2π2+1|Ŵ|i,nf,nkαkα δ(Ef − Ei + ωk ),22π =f, nkα − 1|Ŵ |i, nkα δ(Ef − Ei − ωk ).(18.74)В первом процессе энергия атома уменьшается (Ef = Ei − ωk ), а во втором увеличивается (Ef = Ei + ωk ).
Ясно, что в первом случае начальное состояние атома|i обязательно должно быть возбужденным, иначе не будет выполняться закон(изл)сохранения энергии и вероятность перехода Pf iобратится в нуль.Для явного вычисления вероятностей перехода (18.74) нужно знать атомныеволновые функции в начальном и конечном состояниях, а также явные выражения для операторов Âkα в (18.70).
По понятным причинам мы не можем здесь подробно исследовать все возможные ситуации; это дело специалистов. Рассмотримлишь некоторые следствия из формул (18.74), играющие важную роль в квантовойоптике.Хотя в общем случае вычислить матричные элементы оператора взаимодействия Ŵ не удается, покажем, что их зависимость от числа фотонов nkα в начальном состоянии легко находится. Используя формулу (18.70) для Ŵ и правила262действия бозе-операторов (17.4), запишемf, nkα + 1|Ŵ |i, nkα =nkα + 1 f |Âkα |i,f, nkα − 1|Ŵ |i, nkα = nkα f |†kα |i.(18.75)Подставим эти выражения в (18.74) и учтем, что f |†kα |i = i|Âkα |f ∗ . В результате получим2 2π (изл)Pf i =(18.76)f |Âkα |i nkα + 1 δ(Ef − Ei + ωk ),(погл)Pf i=22π f |Âkα |i nkα δ(Ef − Ei − ωk ).(18.77)Обратимся сначала к формуле (18.77).
Видно, что вероятность поглощения фотонапропорциональна числу уже имеющихся фотонов данного сорта. Это вполне естественно. Чем больше фотонов в системе, тем чаще они будут поглощаться атомами.Более интересна формула (18.76), из которой следует, что вероятность излученияфотона отлична от нуля и в том случае, когда в начальном состоянии фотоновнет, т. е.
nkα = 0. Такое излучение принято называть спонтанным излучением. С одной стороны, существование спонтанного излучения кажется очевидным:атом, находясь первоначально в возбужденном состоянии, должен в конце концовперейти в стабильное основное состояние, излучив при этом один или несколькофотонов. С другой стороны, возникает законный вопрос: чем вызвано спонтанное излучение? Ответ, казалось бы, ясен — взаимодействием электронов атомас электромагнитным полем, которое, собственно говоря, и описывается оператором (18.70). Но если мы принимаем фотонную теорию электромагнитного поля,как объяснить то, что электроны взаимодействуют с полем, когда фотоны отсутствуют? Нет ли здесь парадокса? Последовательное объяснение существованияспонтанного излучения дает квантовая электродинамика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
