Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мы обсудимтеперь еще один чисто квантовый эффект, играющий важную роль в ядерной физике, в физике твердого тела и электронике.7.1.Потенциальная стенкаРассмотрим одномерное движение микрочастиц в потенциальном поле U (x),которое изображено на Рис. 7.1.Рис. 7.1. Потенциальная стенка: а) реальная; б) стенка с бесконечно узкойпереходной областью.Поле такого вида обычно называется “потенциальной стенкой”.
Потенциальная энергия возрастает от U = 0 при x → −∞ до U = U0 при x → +∞. Длязаряженных микрочастиц потенциальная стенка возникает в случае, когда вдольоси x приложено электрическое напряжение. Для упрощения математики мы вдальнейшем будем использовать модель потенциальной стенки с бесконечно узкойпереходной областью (Рис. 7.1б.).Предположим, что частица движется к потенциальной стенке слева направо.В классической механике поведение частицы легко предсказать. Если ее начальная энергия E меньше высоты стенки U0 , то частица упруго отразится от стенки70и затем будет двигаться в обратном направлении со той же скоростью.
Если жеE > U0 , то частица будет двигаться в прежнем направлении, но скорость ее станет меньше. Рассмотрим, что произойдет с частицей, если движение описываетсяквантовыми законами.Сначала сформулируем задачу, исходя из физических соображений. Предположим, что слева на стенку падает стационарный поток частиц с плотностью jпад .Эта величина может быть экспериментально измерена: она равно числу частиц,проходящих за 1 секунду через площадку единичной площади в направлении стенки. Состояние частицы, движущейся к стенке, описывается волновой функциейΨ1 (x, t) = A1 eikx e−iEt/,k=1√2mE,(7.1)где A1 — постоянная амплитуда, E — энергия частицы. Как уже неоднократнообсуждалось, величина |Ψ1 |2 = |A1 |2 равна плотности вероятности обнаружитьчастицу в точке x.
В данном случае частицы, движущиеся к стенке, свободны,поэтому |Ψ1 |2 не зависит от x. Если на стенку непрерывно падает пучок частиц,то, согласно общим принципам теории вероятностей, величина |Ψ1 |2 пропорциональна концентрации частиц nпад в пучке. Выберем коэффициент A1 так, чтобывыполнялось равенство |A1 |2 = nпад . Плотность потока частиц равна произведению скорости частиц v = p/m = k/m на их концентрацию.
Поэтомуjпад =k|A1 |2 .m(7.2)Кроме частиц, движущихся к потенциальной стенке, в области x < 0 могут бытьзарегистрированы частицы, отраженные стенкой. Состояние отраженной частицыописывается волновой функциейΨ2 (x, t) = A2 e−ikx e−iEt/.(7.3)Плотность потока отраженных частиц равнаjотр =k|A |2 .m 2(7.4)Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, до регистрации частица вобласти x < 0 имеет волновую функцию, равную сумме функций (7.1) и (7.3), т. е.Ψ(x, t) = e−iEt/ A1 eikx + A2 e−ikx ,x < 0.(7.5)Величиной, которую можно измерить экспериментально, является коэффициентотраженияR=jотр|A |2= 22,jпад|A1 |(7.6)который равен доле числа частиц, отраженных стенкой. По отношению к однойчастице R есть вероятность того, что частица отразится от стенки. Из определениякоэффициента отражения ясно, что 0 ≤ R ≤ 1.71Перейдем теперь к области x > 0.
Энергия частицы по-прежнему равна E,поэтому волновая функция должна иметь видΨ(x, t) = e−iEt/ ψ(x),x > 0.(7.7)Так как в области x > 0 частица находится в поле U (x) = U0 , то ψ(x) удовлетворяетстационарному уравнению Шредингера2md2ψ(x) + 2 (E − U0 ) ψ(x) = 0.2dx(7.8)Как уже отмечалось, в квантовой механике волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны в любой точке. В рассматриваемой задаче вобластях x < 0 и x > 0 частица описывается разными волновыми функциями: (7.5)и (7.7).
Поэтому мы должны потребовать, чтобы в точке x = 0 совпадали значения этих функций и значения их первых производных. Мы приходим к граничнымусловиямik (A1 − A2 ) = ψ (0),(7.9)A1 + A2 = ψ(0),где ψ (x) — первая производная производная ψ по x. Итак, для полного описания процесса прохождения частиц через потенциальную стенку нужно найти такоерешение уравнения Шредингера (7.8), которое удовлетворяет граничным условиям (7.9).Случай E > U0 . Если энергия частицы превышает высоту потенциальной стенки, то (E − U0 ) — положительная величина и, следовательно, решение уравнения (7.8) имеет вид волны де Бройля, бегущей в направлении оси x:ψ(x) = B eik x ,k =12m(E − U0 ) .(7.10)Вообще говоря, уравнение (7.8) имеет еще одно решение вида exp(−ik x), однакооно не имеет физического смысла (пусть читатель сам сообразит, почему).Волновая функция (7.10) описывает частицу, движущуюся со скоростью v =k /m.
Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через стенку, равнаjпрk =|B |2 .m(7.11)Измеряемой величиной является коэффициент прохождения, который естественно определить какjпрk |B|2D==.jпадk|A1 |2(7.12)Для вычисления коэффициентов отражения и прохождения нужно выразить амплитуды A2 и B через амплитуду A1 . Используя явный вид волновой функции (7.10) в области x > 0, из граничных условий (7.9) получаем уравнения дляамплитуд:A1 + A2 = B,(7.13)k(A1 − A2 ) = k B.72Решая их относительно A2 и B (оставляем это читателю в качестве упражнения),а затем вычисляя коэффициенты отражения и прохождения по формулам (7.6)и (7.12), получаем2k − k4kk R=,D=.(7.14)k + k(k + k )2Легко проверить, что R + D = 1, как и должно быть по смыслу этих коэффициентов.Взглянем на результаты (7.14) с физической точки зрения.
Наиболее интересното, что коэффициент отражения частиц не равен нулю! Напомним, что в классической механике все частицы с энергией, превышающей высоту стенки, проходятв область x > 0. Поучительно также посмотреть, что дают формулы (7.14) в классическом пределе. Переход к классическому пределу означает, что длина волны деБройля падающих частиц стремится к нулю. Так как λ = 2π/k, то предел λ → 0соответствует пределу k → ∞. Волновое число k для прошедших частиц такжестремится к бесконечности, причем отношение k/k стремится к единице1 . Учитывая сказанное, из (7.14) находим, что в классическом пределе R → 0 и D → 1, каки должно быть.
Еще раз мы видим, что там, где работает классическая механика,ее выводы практически совпадают с выводами квантовой механики.Случай E < U0 . В этом случае классическая механика утверждает, что частицы не могут проникнуть в область x > 0. Посмотрим, что следует из уравненияШредингера (7.8).
Теперь разность (E − U0 ) отрицательна, поэтому решениямиявляются действительные экспоненты:ψ(x) = B e−βx + B eβx ,β=12m(U0 − E) > 0.(7.15)Решение с растущей экспонентой следует, очевидно, отбросить как нефизическое2 ,поэтому в (7.15) B = 0. Для определения коэффициента B снова воспользуемсяграничными условиями (7.9), которые приводят к уравнениямA1 + A2 = B,(7.16)ik(A1 − A2 ) = −βB.Решая эти уравнения относительно A2 и B, находимA2 = −β + ikA,β − ik 1B=−2ikA.β − ik 1(7.17)Вычисление |A2 |2 ≡ A∗2 A2 дает |A2 |2 = |A1 |2 , поэтому R = 1. Таким образом,все частицы отражаются, если их энергия меньше высоты потенциальной стенки.
В этом отношении квантовая механика приводит к тому же результату, что иклассическая механика. Заметим, однако, что в области x > 0 волновая функциячастицы не равна нулю, так как в (7.15) B = 0. Для плотности вероятности |ψ(x)|2получаемx > 0.(7.18)|ψ(x)|2 = |B|2 e−2βx ≡ |ψ(0)|2 e−2βx ,√Поскольку k = 2mE/, то предел k → ∞ можно рассматривать как предел E → ∞.Тогда из (7.10) следует, что при фиксированной высоте стенки k /k → 1.2Плотность вероятности |ψ(x)|2 не может расти при x → ∞.173Итак, микрочастица может быть обнаружена там, куда по классическим законам она попасть не может.
По классическим представлениям в области x > 0 приE < U0 частица имела бы отрицательную кинетическую энергию, что невозможно.Хотелось бы понять, почему в квантовой механике проникновение за потенциальную стенку становится возможным.Дело в том, что в случае E < U0 в области x > 0 у частицы нет точно определенного импульса и, следовательно, нет точно определенной кинетической энергии.Действительно, волновая функция ψ(x) = B exp(−βx) не является собственнойфункцией импульса. Согласно соотношению неопределенностей Гайзенберга, у частицы должна быть и квантовая неопределенность координаты x, т.
е. должнабыть отлична от нуля вероятность обнаружить частицу в области стенки. Как мывидим, уравнение Шредингера дает результаты, которые не противоречат соотношениям неопределенностей.7.2.Туннельный эффектРассмотрим теперь одномерное движениечастицы в поле с потенциальной энергией, показанной на Рис. 7.2.
Такой вид потенциальной энергии принято называть потенциальным барьером.Предположим, что энергия частицы Eменьше высоты потенциального барьера U0 .Тогда, по классическим законам, частицане может пройти через барьер, посколькуэто противоречило бы закону сохраненияэнергии.Однако формула (7.18) подсказывает, что и для ситуации, показанной наРис. 7.2., волновая функция не будет равнанулю в области барьера.Следовательно,Рис.
7.2.будет отлична от нуля вероятность того, чточастица окажется за барьером, хотя для этогоей не хватает энергии!Прохождение частиц через потенциальный барьер, высота которого больше,чем энергия частицы, называется туннельным эффектом. Это название подчеркивает некоторую аналогию с ситуацией, когда энергии тела не хватает на то,чтобы преодолеть барьер, поднимаясь на его вершину, но имеется туннель, черезкоторый тело может оказаться по другую сторону барьера без затраты энергии наподъем. Следует, впрочем, иметь в виду, что туннельный эффект связан с наличием у микрочастиц волновых свойств, поэтому никакие классические аналогии немогут дать правильного объяснения этого удивительного явления в микромире.Мы не будем заново решать уравнение Шредингера для прямоугольного барьера, чтобы вычислить коэффициент прохождения D, хотя это сделать не намногосложнее, чем решить задачу о потенциальной стенке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
