Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Оценим значение D дляширокого барьера, когда можно пренебречь влиянием граничных условий в точкеx = l и считать, что волновая функция в области барьера изменяется примерно также, как и в области потенциальной стенки из предыдущего примера. Подробныйанализ показывает, что это можно сделать, когда длина волны де Бройля частицыλ = 2π/k значительно меньше ширины барьера l. С физической точки зрения этот74случай соответствует почти классическому движению или, как принято говорить,квазиклассическому приближению.Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через широкий барьер,оценивается какkjпр ≈(7.19)|ψ(l)|2 ,mгде |ψ(l)|2 находится из формулы (7.18) для потенциальной стенки. Так как D =jпр /jпад , а плотность потока падающих частиц дается выражением (7.2), то длякоэффициента прохождения широкого прямоугольного барьера получаем оценку2−2βlD≈e= exp −2m(U0 − E) l .(7.20)Обратим внимание на то, что D → 0, если → 0.
Иначе говоря, в классическомпределе туннельный эффект исчезает.Коэффициент прохождения быстро уменьшается при увеличении массы частицы m, ширины барьера l и разности между высотой барьера U0 и энергией частицы E. Для макроскопических тел туннельный эффект наблюдать невозможно.
Даже при сравнении D дляэлектронов и протонов, у которых отношениемасс примерно равно mp /me ≈ 2000, из (7.20)следует, что коэффициент прохождения дляпротонов меньше в 1019 раз.До сих пор наши рассуждения относилиськ потенциальному барьеру простейшей прямоугольной формы. Ясно, однако, что качественные выводы справедливы и для барьераРис.
7.3.произвольной формы (см. Рис. 7.3.). В квазиклассическом приближении удается получитьуниверсальную формулу для коэффициента прохождения при известной координатной зависимости потенциальной энергии частицы U (x). Эта формула имеетдовольно простой видx2 2D ≈ exp −2m (U (x) − E) dx . (7.21)x1Точки x1 и x2 показаны на Рис.
7.3. Они определяются из условия обращения вноль классического импульса частицы:U (x1 ) = U (x2 ) = E.(7.22)Точки x1 и x2 называются “классическими” точками поворота. Предлагаем читателю проверить, что в частном случае прямоугольного барьера формула (7.21) даетдля коэффициента прохождения результат (7.20).757.3.Примеры туннельного эффектаПриведем два примера явлений, где квантовый туннельный эффект играетключевую роль.Первый пример взят из ядерной физики.
Многие тяжелые элементы обладают свойством естественной радиоактивности. Состоит оно в том, что ядро атомарадиоактивного вещества случайным образом может испустить частицу и превратиться в другое ядро. Обычно при распаде ядра испускаются α-частицы (ядрагелия 2 He4 ) или β-частицы (электроны и их античастицы — позитроны). Дляопределенности мы будем говорить об α-распаде ядер урана, в результате чегообразуется ядро атома тория:23892 U→ 90 Th234 + 2 He4 .(7.23)Для того, чтобы этот распад был возможен, необходимо, чтобы энергия покоя ядраурана Eнач = MU c2 была больше, чем сумма энергий покоя продуктов распадаEкон = MTh c2 + mα c2 , где mα — масса α-частицы.
Тогда разность энергий покоя∆E = Eнач − Eкон выделится в виде кинетической энергии продуктов. Явныевычисления показывают, что ∆E > 0, то есть распад действительно возможен.Однако с точки зрения классическойфизики и “здравого смысла” некоторыеэкспериментальные факты кажутсявесьма странными. В самом деле, еслиядро урана неустойчиво и способнораспадаться по схеме (7.23), то этодолжно произойти сразу и со всемиядрами.Между тем уран широкораспространен в земной коре, т.
е.многие ядра урана просуществовали безраспада миллиарды лет. Распад ядрапроисходит случайно и очень редко. Впринципе, можно предположить, чтоядро становится неустойчивым лишьв результате некоторого воздействия.Приведем простой пример. Тело лежитРис. 7.4.внутри кратера вулкана и его состояниеявляется устойчивым.
Если, однако,поднять тело на край кратера, увеличив тем самым его потенциальную энергию,то его состояние станет неустойчивым и тело скатится по склону вниз. Нопредположение о том, что радиоактивность вызвана внешними воздействиями,также противоречит экспериментальным фактам: ядра урана распадаются безвсякого воздействия, способного изменить состояние ядра.Объяснение загадок радиоактивного распада дала квантовая механика. Какизвестно, между нуклонами (протонами и нейтронами) действуют мощные силы притяжения, которые не дают ядру развалиться под действием кулоновскихсил отталкивания между протонами.
Иногда силы притяжения между нуклонамиприводят к образованию связанных комплексов, из которых наиболее устойчивымявляется α-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов. Внутри ядраα-частица движется в потенциальной яме, схематически изображенной на Рис. 7.4.76Там же показан основной уровень энергии α-частицы (E). Начало координат помещено в центре ядра, r0 — радиус ядра, W — высота потенциального барьера, aи b — точки поворота. Координата r отсчитывается вдоль радиуса.Область r > r0 соответствует тому, что α-частица находится вне ядра.
Здесь нанее действует только сила кулоновского отталкивания со стороны ядра, поэтомупотенциальная энергия убывает. Из Рис. 7.4. ясно, что α-частица может совершитьтуннельный переход из области r < a в область r > b и затем, оказавшись с темже значением энергии E вне ядра, может улететь под действием кулоновских сил.В данном случае коэффициент прохождения через барьер весьма мал, так какα-частица — массивное образование и ее длина волны де Бройля значительно меньше ширины барьера l = b−a. Поэтому вероятность туннелирования для α-частицыи, следовательно, вероятность распада ядра урана тоже очень малы.
Этим объясняется большое значение периода полураспада урана (примерно 5 · 109 лет). Коэффициент прохождения D очень чувствителен к значению энергии α-частицы вядре. Например, увеличение энергии E в три раза приводит к увеличению D примерно на 16 порядков. Поэтому встречаются и такие радиоактивные элементы, укоторых период полураспада составляет всего 10−6 с. Заметим, наконец, что туннельный механизм объясняет еще одну интересную особенность радиоактивногораспада ядер.
В первых же экспериментальных исследованиях радиоактивностибыло замечено, что значения энергии α-частиц, испускаемых данным радиоактивным веществом, оказываются практически одинаковыми. С точки зрения туннельного механизма радиоактивности это очевидно, так как все α-частицы совершаюттуннельный переход с одного и того основного уровня энергии E.Второе явление, где наблюдается туннельный эффект для микрочастиц, относится к электронике и называется автоэлектронной эмиссией. Суть явления —выход электронов из металла под действием постоянного электрического поля.
Вэтом отличие автоэлектронной эмиссии от фотоэффекта, где электрическое полесветовой волны является переменным.Рис. 7.5. Потенциальная энергия электрона проводимости в металле:а) в отсутствие поля; б) в электрическом поле. Координата x = 0 соответствуетгранице металл-вакуум.Квантовые состояния электронов проводимости в металле можно рассматривать, в первом приближении, как состояния свободных частиц в потенциальнойяме. Предположим, что электрон проводимости находится в стационарном состоянии с энергией E. Чтобы электрон мог покинуть металл, ему нужно сообщить77энергию W = U0 − E, которую принято называть работой выхода (см.
Рис. 7.5.).В принципе, эту энергию электрон может случайно получить за счет энергии теплового движения в металле. Чем выше температура, тем больше вероятность такого события, поэтому катоды электронных ламп специально нагревают, пропуская через них ток накала.
Это — хорошо известное явление термоэлектроннойэмиссии.Если катод лампы сильно охладить, то термоэлектронная эмиссия практическипрекращается и ток через лампу идти не должен. Однако даже при очень низких температурах наблюдается эмиссия электронов с катода (автоэлектроннаяэмиссия), интенсивность которой быстро растет с ростом напряжения, приложенного к лампе1 . Автоэлектронная эмиссия связана с туннелированием электроновчерез потенциальный барьер, который возникает на поверхности катода, если лампу подключить к источнику напряжения.Предположим, что вне катода имеется электрическое поле, вектор напряженности которого E направлен так, как показано на Рис.
7.5. (катод подключен котрицательному полюсу источника). Зависимость потенциала поля от координаты x > 0 имеет вид ϕ(x) = Ex (нуль потенциала выбран на границе катода).Потенциальная энергия электрона в поле (при x > 0) равнаUполе (x) = −eϕ(x) = −e Ex,(7.24)где e > 0 — элементарный заряд. С учетом влияния поля потенциальная энергияэлектрона вне металла уменьшается с ростом x (см.
Рис. 7.5б.). Таким образом,для электронов на поверхности катода возникает потенциальный барьер ширины l.Электрон может совершить туннельный переход, покидая катод и затем двигаясьпод действием поля к положительному полюсу источника напряжения. Так какширина барьераl = (U0 − E)/eE = W/eE(7.25)уменьшается с ростом напряженности поля, величина коэффициента прохождения барьера D и, следовательно, поток электронов с катода увеличивается сувеличением напряжения на лампе (см.
упражнение 7.2.).Упражнения7.1. Найти эффективную глубину xэфф проникновения частиц в область x > 0(Рис. 7.1б.) в случае, когда E < U0 . Считать, что xэфф есть расстояние от границыстенки до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в“e” раз (e — основание натуральных логарифмов).7.2. Показать, что коэффициент прохождения барьера для автоэлектроннойэмиссии (см. Рис. 7.5.) зависит от напряженности электрического поля E по закону& √'4 2m W 3/2D = exp −,(7.26)3e Eгде W — работа выхода электрона из металла, m — масса электрона.
Вычислитьзначение D, если W = 0, 5 эВ, E = 100 В/см.Автоэлектронную эмиссию часто называют холодной эмиссией, чтобы подчеркнутьее отличие от термоэлектронной эмиссии с нагретого катода.178Указание: Воспользоваться формулой (7.21) для коэффициента прохождения иучесть, что в области x > 0 потенциальная энергия электрона имеет вид U (x) =U0 − eEx.8.Момент импульса микрочастицыВ классической механике момент импульса относится к важнейшим динамическим переменным. В частности, момент импульса изолированной системы сохраняется со временем. Для одной частицы момент импульса сохраняется и приее движении в центральном силовом поле.
Кроме того, момент импульса играетважную роль в динамике твердого тела. В квантовой механике моменту импульса,как и любой другой динамической переменной, соответствует линейный эрмитовый оператор момента импульса. Для одной частицы этот оператор был введен впараграфе 3 [см. формулу (3.35)]. Теперь мы изучим свойства момента импульса,которые в понадобятся при обсуждении многих вопросов.8.1.Оператор момента импульса в сферическихкоординатахˆ в декартовой систеПроекциями векторного оператора момента импульса Lме координат являются операторы L̂x , L̂y , L̂z . Явный вид этих операторов даетсяформулами (3.39).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
