Главная » Просмотр файлов » Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 21

Файл №1083078 Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики) 21 страницаБерзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078) страница 212018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Так какинтегрирование по слою δVr фактическисводится к интегрированию по полномутелесному углу Ω, то с учетом условиянормировки для сферических функций [см.формулу (8.23)], находим, что2(r) dr.dw(r) = r2 Rnl(9.30)2Рис. 9.1.(r) есть плотТаким образом, (r) = r2 Rnlность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра. В частности, для основного состояния плотность вероятности имеет вид2(r) =(r) = r2 R104r2 −2r/rBe.3rB(9.31)Она показана на Рис.

9.1. Плотность вероятности имеет максимум при r = rB , т. е.боровский радиус совпадает с наиболее вероятным расстоянием электрона до ядра.Легко, однако, проверить прямым вычислением, что среднее расстояние междуэлектроном и ядром r отличается от боровского радиуса (см. упражнение 9.6.).94Упражнения9.1. Вывести уравнение (9.9) для “радиальной волновой функции” R(r) стационарного состояния частицы в центральном силовом поле.9.2.

Используя выражение (9.16) для потенциальной энергии в кулоновскомполе, построить примерные графики “эффективной потенциальной энергии” (9.12)для электрона в водородоподобном атоме в состояниях с l = 0 и l = 0.9.3. Прямым вычислением суммы проверить формулу (9.25) для кратности вырождения уровней водородоподобного атома.(l воспользоваться форУказание: Разбить сумму на две и при вычислениимулой для суммы арифметической прогрессии.9.4.

Проверить, что волновая функция основного состояния водородоподобногоатома (9.29) удовлетворяет условию нормировки (9.26).9.5. С помощью формулы (9.31), показать, что наиболее вероятное расстояниеэлектрона до ядра в основном состоянии равно боровскому радиусу rB .Указание: Использовать известное из математики условие максимума функции.9.6. Вычислить среднее расстояние r между электроном и ядром в основномсостоянии водородоподобного атома.Указание: Согласно правилам теории вероятностей, среднее расстояние вычисляется по формуле∞r = r (r) dr ,0где (r) — плотность вероятности (9.31).9.7. Изобразить примерные графики зависимости плотности вероятности (9.30)от r для возбужденных состояний водородоподобного атома с n = 2 , l = 0 (2sсостояние) и с n = 2, l = 1 (2p -состояния).10.Стационарная теория возмущенийК сожалению, стационарное уравнение ШредингераĤψ = Eψ(10.1)редко удается решить точно.

В последнее время развитие компьютерной техники позволило разработать эффективные методы численного решения уравнений,в том числе и уравнения Шредингера. Однако часто результаты такого решениябывает трудно осмыслить с физической точки зрения. Поэтому большой интереспредставляют методы решения уравнения (10.1), дающие приближенные аналитические выражения для волновых функций стационарных состояний и спектраэнергии. Мы рассмотрим один из таких методов, который называется стационарной теорией возмущений.10.1.Матричная форма стационарного уравненияШредингераПрежде чем перейти непосредственно к изложению теории возмущений, кратко остановимся на другом представлении уравнения Шредингера (10.1), котороечасто оказывается более удобным для практических целей.95Предположим, что {ϕn (r )} — некоторая ортонормированная система функций,удовлетворяющих условиямϕm |ϕn ≡ ϕ∗m (r ) ϕn (r ) dV = δmn .(10.2)Кроме того, предположим, что эта система функций является полной в том смысле,что любую волновую функцию, в том числе и любое решение уравнение Шредингера (10.1), можно представить в виде рядаψ=am ϕ m(10.3)mс некоторыми коэффициентами am .

Например, в качестве {ϕm } можно взять систему собственных функций какой-нибудь динамической переменной (см. обсуждениев разделе 5.4.), но это не обязательно.Подставим выражение (10.3) в уравнение Шредингера (10.1). Так как операторĤ линейный, получаемam Ĥϕm = Eam ϕ m .(10.4)mmУмножим теперь слева обе части этого равенства на функцию ϕ∗n , где n — фиксированный индекс, и проинтегрируем по всей области движения частицы.

Учитываяусловия ортогональности (10.2), приходим к системе уравнений для коэффициентов an :Hnm am = Ean ,(10.5)mгде введены величиныHnm =ϕ∗n Ĥϕm dV,(10.6)которые называются матричными элементами оператора Ĥ по функциямϕk . В дальнейшем матричные элементы операторов по различным наборам функций будут часто встречаться1 , поэтому советуем читателю запомнить структурувыражения (10.6).Систему однородных уравнений (10.5) для величин am можно записать в стандартном виде(Hnm − E δnm ) am = 0.(10.7)mИз математики известно, что система однородных уравнений имеет отличные отнуля решения, только если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, обращается в нуль, т. е.|Hnm − E δnm | = 0.(10.8)Матричные элементы Anm оператора Â принято также обозначать ϕn |Â|ϕm илипросто n|Â|m.

В тех случаях, когда каждый из индексов на самом деле включаетнесколько квантовых чисел, последнее обозначение оказывается наиболее удобным.196Раскрывая определитель в явном виде, получим уравнение для E, корни которогои определяют собственные значения данного гамильтониана Ĥ, т. е. спектр энергиистационарных состояний частицы. Подставляя затем каждый из найденных корней в (10.7), можно найти коэффициенты am в разложении (10.3) соответствующейсобственной волновой функции.

Эта схема кажется довольно привлекательной, таккак она позволяет избежать решения дифференциальных уравнений. Но ее удается с успехом применить только тогда, когда отличны от нуля лишь несколькоматричных элементов (10.6). В таких случаях уравнение (10.8) является алгебраическим уравнением конечной степени для E и дает конечное число собственныхзначений гамильтониана. В общем случае определитель в левой части уравнения (10.8) содержит бесконечное число членов и поэтому система уравнений (10.7)не имеет никакого преимущества перед исходным уравнением Шредингера (10.1),если мы хотим получить точные выражения для спектра энергии и собственныхфункций.10.2.Теория возмущений для невырожденногоэнергетического спектраОтметим, однако, что система уравнений (10.7) оказываются очень полезной вситуациях, когда гамильтониан Ĥ можно представить виде суммы двух операторовĤ = Ĥ (0) + Ŵ ,(10.9)где Ĥ (0) будем называть невозмущенным гамильтонианом, а Ŵ — оператором возмущения, которое считается “малым”.

Условие малости возмущения мыустановим ниже.Предположим, что задача на собственные функции и собственные значенияневозмущенного гамильтониана Ĥ (0) уже решена, т. е. нам известны волновые(0)(0)функции ψn и собственные значения En , которые связаны соотношениямиĤ (0) ψn(0) = En(0) ψn(0) .(10.10)(0)Величины En , нумеруемые индексом n, образуют энергетический спектр невоз(0)мущенного гамильтониана, а ψn — соответствующие волновые функции невозмущенных стационарных состояний.

Идея теории возмущений состоит в том, чтобыискать решения уравнения Шредингера (10.1) в виде последовательных приближений по Ŵ .Начнем со случая, когда спектр невозмущенного гамильтониана Ĥ (0) является(0)невырожденным, т. е. каждому собственному значению En соответствует толь(0)(0)ко одна собственная функция ψn . Как известно, в этом случае ψn образуютортонормированный набор функций [см. (10.2)]:(0) (0)(0)ψn |ψm ≡ ψn(0)∗ ψmdV = δnm .(10.11)Кроме того, любую волновую функцию можно представить в виде ряда по функци(0)ям ψn , так как они являются собственными функциями оператора динамическойпеременной — энергии частицы в отсутствии возмущения. Таким образом, набор97собственных функций невозмущенного гамильтониана Ĥ (0) можно выбрать в качестве набора {ϕn }, о котором шла речь в предыдущем разделе.Итак, будем искать решение стационарного уравнения Шредингера в виде(0)ψ=am ψm(10.12)mс пока неизвестными коэффициентами am .

Для этих коэффициентов снова получается система уравнений (10.5), но теперь матричные элементы гамильтонианавычисляются по функциям ψ (0) , т. е.(0)dV.(10.13)Hnm = ψn(0)∗ ĤψmИспользуя выражение (10.9) для гамильтониана и учитывая уравнения (10.10),находимHnm = En(0) δnm + Wnm ,(10.14)где(0)(0)(0)Wnm = ψn |Ŵ |ψm = ψn(0)∗ Ŵ ψmdV(10.15)— матричные элементы оператора возмущения по собственным функциям невозмущенного гамильтониана. Подставляя выражение (10.14) в (10.7), приходим ксистеме уравненийE − En(0) an =Wnm am ,(10.16)mкоторая устроена так, что ее удобно решать последовательными приближениями.Как уже отмечалось, матричные элементы оператора возмущения Wnm считаютсямалыми величинами.

Если вообще пренебречь ими в уравнениях (10.16), то мы по(0)лучаем решения En = En — спектр энергии для невозмущенного гамильтониана.(0)При этом нулевое приближение для собственных функций имеет вид ψn = ψn ,т. е. в разложении (10.12) каждой такой функции am = δmn .Естественно ожидать, что малое возмущение приведет к небольшому сдвигууровней энергии и к малым поправкам к собственным функциям. Эти соображенияподсказывают план дальнейших действий.Зафиксируем номер уровня n и запишем уравнение (10.16) для этого уровня.Энергию E = En , а также амплитуды an и am (при m = n) будем искать в видеразложений(0)(1)(2)E = En = En + En + En + .

. . ,(1)(2)(10.17)an = 1 + a n + an + . . . ,(1)(2)am = am + am + . . . ,(1)(1)(m = n) ,(1)(2)(2)(2)где En , an и am — величины первого порядка по возмущению, En , an и am —величины второго порядка, и т.д. Теперь подставим разложения (10.17) в (10.16)и для простоты ограничимся членами до второго порядка по возмущению: + En(2) = Wnn 1 + a(1)+En(1) 1 + a(1)Wnm a(1)(10.18)nnm .m=n98Приравнивая величины одного порядка малости в (10.18), находим, чтоEn(1) = Wnn ,En(2) =Wnm a(1)m .(10.19)m=nИтак, поправка первого порядка к уровню энергии En равна среднему значению(0)оператора возмущения в состоянии ψn :En(1) = Wnn = ψn(0) |Ŵ |ψn(0) .(10.20)Заметим, что в первом приближении теории возмущений уровень энергии En =(0)(1)En + En можно записать как среднее значение гамильтониана (10.9) с волновойфункцией нулевого приближения (проверьте!):En = ψn(0) |Ĥ|ψn(0) —первое приближение.(10.21)Этой формулой мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться при решенииконкретных задач.(2)(1)Для вычисления En требуется найти коэффициенты am в формуле (10.18).

Сэтой целью снова обратимся к уравнениям (10.16). Нас интересует уравнение дляam при m = n, поэтому запишем1 (0)(0)(2)En − Em+ En(1) + . . . a(1)m + am + . . . = (1)a+...+W+....= Wmn 1 + a(1)mknk(10.22)k=n(1)Чтобы найти am , достаточно оставить лишь члены первого порядка. Это даетa(1)m =Wmn(0)En(0)− Em(m = n).(10.23)(2)Теперь поправка второго порядка En к уровням энергии [см. (10.19)] записываетсякак W Wnm mn.(10.24)En(2) =(0)(0)E−Enmm=nМатричные элементы оператора возмущения, определяемые формулой (10.15), —(2)комплексные числа.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее