Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Так какинтегрирование по слою δVr фактическисводится к интегрированию по полномутелесному углу Ω, то с учетом условиянормировки для сферических функций [см.формулу (8.23)], находим, что2(r) dr.dw(r) = r2 Rnl(9.30)2Рис. 9.1.(r) есть плотТаким образом, (r) = r2 Rnlность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра. В частности, для основного состояния плотность вероятности имеет вид2(r) =(r) = r2 R104r2 −2r/rBe.3rB(9.31)Она показана на Рис.
9.1. Плотность вероятности имеет максимум при r = rB , т. е.боровский радиус совпадает с наиболее вероятным расстоянием электрона до ядра.Легко, однако, проверить прямым вычислением, что среднее расстояние междуэлектроном и ядром r отличается от боровского радиуса (см. упражнение 9.6.).94Упражнения9.1. Вывести уравнение (9.9) для “радиальной волновой функции” R(r) стационарного состояния частицы в центральном силовом поле.9.2.
Используя выражение (9.16) для потенциальной энергии в кулоновскомполе, построить примерные графики “эффективной потенциальной энергии” (9.12)для электрона в водородоподобном атоме в состояниях с l = 0 и l = 0.9.3. Прямым вычислением суммы проверить формулу (9.25) для кратности вырождения уровней водородоподобного атома.(l воспользоваться форУказание: Разбить сумму на две и при вычислениимулой для суммы арифметической прогрессии.9.4.
Проверить, что волновая функция основного состояния водородоподобногоатома (9.29) удовлетворяет условию нормировки (9.26).9.5. С помощью формулы (9.31), показать, что наиболее вероятное расстояниеэлектрона до ядра в основном состоянии равно боровскому радиусу rB .Указание: Использовать известное из математики условие максимума функции.9.6. Вычислить среднее расстояние r между электроном и ядром в основномсостоянии водородоподобного атома.Указание: Согласно правилам теории вероятностей, среднее расстояние вычисляется по формуле∞r = r (r) dr ,0где (r) — плотность вероятности (9.31).9.7. Изобразить примерные графики зависимости плотности вероятности (9.30)от r для возбужденных состояний водородоподобного атома с n = 2 , l = 0 (2sсостояние) и с n = 2, l = 1 (2p -состояния).10.Стационарная теория возмущенийК сожалению, стационарное уравнение ШредингераĤψ = Eψ(10.1)редко удается решить точно.
В последнее время развитие компьютерной техники позволило разработать эффективные методы численного решения уравнений,в том числе и уравнения Шредингера. Однако часто результаты такого решениябывает трудно осмыслить с физической точки зрения. Поэтому большой интереспредставляют методы решения уравнения (10.1), дающие приближенные аналитические выражения для волновых функций стационарных состояний и спектраэнергии. Мы рассмотрим один из таких методов, который называется стационарной теорией возмущений.10.1.Матричная форма стационарного уравненияШредингераПрежде чем перейти непосредственно к изложению теории возмущений, кратко остановимся на другом представлении уравнения Шредингера (10.1), котороечасто оказывается более удобным для практических целей.95Предположим, что {ϕn (r )} — некоторая ортонормированная система функций,удовлетворяющих условиямϕm |ϕn ≡ ϕ∗m (r ) ϕn (r ) dV = δmn .(10.2)Кроме того, предположим, что эта система функций является полной в том смысле,что любую волновую функцию, в том числе и любое решение уравнение Шредингера (10.1), можно представить в виде рядаψ=am ϕ m(10.3)mс некоторыми коэффициентами am .
Например, в качестве {ϕm } можно взять систему собственных функций какой-нибудь динамической переменной (см. обсуждениев разделе 5.4.), но это не обязательно.Подставим выражение (10.3) в уравнение Шредингера (10.1). Так как операторĤ линейный, получаемam Ĥϕm = Eam ϕ m .(10.4)mmУмножим теперь слева обе части этого равенства на функцию ϕ∗n , где n — фиксированный индекс, и проинтегрируем по всей области движения частицы.
Учитываяусловия ортогональности (10.2), приходим к системе уравнений для коэффициентов an :Hnm am = Ean ,(10.5)mгде введены величиныHnm =ϕ∗n Ĥϕm dV,(10.6)которые называются матричными элементами оператора Ĥ по функциямϕk . В дальнейшем матричные элементы операторов по различным наборам функций будут часто встречаться1 , поэтому советуем читателю запомнить структурувыражения (10.6).Систему однородных уравнений (10.5) для величин am можно записать в стандартном виде(Hnm − E δnm ) am = 0.(10.7)mИз математики известно, что система однородных уравнений имеет отличные отнуля решения, только если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, обращается в нуль, т. е.|Hnm − E δnm | = 0.(10.8)Матричные элементы Anm оператора Â принято также обозначать ϕn |Â|ϕm илипросто n|Â|m.
В тех случаях, когда каждый из индексов на самом деле включаетнесколько квантовых чисел, последнее обозначение оказывается наиболее удобным.196Раскрывая определитель в явном виде, получим уравнение для E, корни которогои определяют собственные значения данного гамильтониана Ĥ, т. е. спектр энергиистационарных состояний частицы. Подставляя затем каждый из найденных корней в (10.7), можно найти коэффициенты am в разложении (10.3) соответствующейсобственной волновой функции.
Эта схема кажется довольно привлекательной, таккак она позволяет избежать решения дифференциальных уравнений. Но ее удается с успехом применить только тогда, когда отличны от нуля лишь несколькоматричных элементов (10.6). В таких случаях уравнение (10.8) является алгебраическим уравнением конечной степени для E и дает конечное число собственныхзначений гамильтониана. В общем случае определитель в левой части уравнения (10.8) содержит бесконечное число членов и поэтому система уравнений (10.7)не имеет никакого преимущества перед исходным уравнением Шредингера (10.1),если мы хотим получить точные выражения для спектра энергии и собственныхфункций.10.2.Теория возмущений для невырожденногоэнергетического спектраОтметим, однако, что система уравнений (10.7) оказываются очень полезной вситуациях, когда гамильтониан Ĥ можно представить виде суммы двух операторовĤ = Ĥ (0) + Ŵ ,(10.9)где Ĥ (0) будем называть невозмущенным гамильтонианом, а Ŵ — оператором возмущения, которое считается “малым”.
Условие малости возмущения мыустановим ниже.Предположим, что задача на собственные функции и собственные значенияневозмущенного гамильтониана Ĥ (0) уже решена, т. е. нам известны волновые(0)(0)функции ψn и собственные значения En , которые связаны соотношениямиĤ (0) ψn(0) = En(0) ψn(0) .(10.10)(0)Величины En , нумеруемые индексом n, образуют энергетический спектр невоз(0)мущенного гамильтониана, а ψn — соответствующие волновые функции невозмущенных стационарных состояний.
Идея теории возмущений состоит в том, чтобыискать решения уравнения Шредингера (10.1) в виде последовательных приближений по Ŵ .Начнем со случая, когда спектр невозмущенного гамильтониана Ĥ (0) является(0)невырожденным, т. е. каждому собственному значению En соответствует толь(0)(0)ко одна собственная функция ψn . Как известно, в этом случае ψn образуютортонормированный набор функций [см. (10.2)]:(0) (0)(0)ψn |ψm ≡ ψn(0)∗ ψmdV = δnm .(10.11)Кроме того, любую волновую функцию можно представить в виде ряда по функци(0)ям ψn , так как они являются собственными функциями оператора динамическойпеременной — энергии частицы в отсутствии возмущения. Таким образом, набор97собственных функций невозмущенного гамильтониана Ĥ (0) можно выбрать в качестве набора {ϕn }, о котором шла речь в предыдущем разделе.Итак, будем искать решение стационарного уравнения Шредингера в виде(0)ψ=am ψm(10.12)mс пока неизвестными коэффициентами am .
Для этих коэффициентов снова получается система уравнений (10.5), но теперь матричные элементы гамильтонианавычисляются по функциям ψ (0) , т. е.(0)dV.(10.13)Hnm = ψn(0)∗ ĤψmИспользуя выражение (10.9) для гамильтониана и учитывая уравнения (10.10),находимHnm = En(0) δnm + Wnm ,(10.14)где(0)(0)(0)Wnm = ψn |Ŵ |ψm = ψn(0)∗ Ŵ ψmdV(10.15)— матричные элементы оператора возмущения по собственным функциям невозмущенного гамильтониана. Подставляя выражение (10.14) в (10.7), приходим ксистеме уравненийE − En(0) an =Wnm am ,(10.16)mкоторая устроена так, что ее удобно решать последовательными приближениями.Как уже отмечалось, матричные элементы оператора возмущения Wnm считаютсямалыми величинами.
Если вообще пренебречь ими в уравнениях (10.16), то мы по(0)лучаем решения En = En — спектр энергии для невозмущенного гамильтониана.(0)При этом нулевое приближение для собственных функций имеет вид ψn = ψn ,т. е. в разложении (10.12) каждой такой функции am = δmn .Естественно ожидать, что малое возмущение приведет к небольшому сдвигууровней энергии и к малым поправкам к собственным функциям. Эти соображенияподсказывают план дальнейших действий.Зафиксируем номер уровня n и запишем уравнение (10.16) для этого уровня.Энергию E = En , а также амплитуды an и am (при m = n) будем искать в видеразложений(0)(1)(2)E = En = En + En + En + .
. . ,(1)(2)(10.17)an = 1 + a n + an + . . . ,(1)(2)am = am + am + . . . ,(1)(1)(m = n) ,(1)(2)(2)(2)где En , an и am — величины первого порядка по возмущению, En , an и am —величины второго порядка, и т.д. Теперь подставим разложения (10.17) в (10.16)и для простоты ограничимся членами до второго порядка по возмущению: + En(2) = Wnn 1 + a(1)+En(1) 1 + a(1)Wnm a(1)(10.18)nnm .m=n98Приравнивая величины одного порядка малости в (10.18), находим, чтоEn(1) = Wnn ,En(2) =Wnm a(1)m .(10.19)m=nИтак, поправка первого порядка к уровню энергии En равна среднему значению(0)оператора возмущения в состоянии ψn :En(1) = Wnn = ψn(0) |Ŵ |ψn(0) .(10.20)Заметим, что в первом приближении теории возмущений уровень энергии En =(0)(1)En + En можно записать как среднее значение гамильтониана (10.9) с волновойфункцией нулевого приближения (проверьте!):En = ψn(0) |Ĥ|ψn(0) —первое приближение.(10.21)Этой формулой мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться при решенииконкретных задач.(2)(1)Для вычисления En требуется найти коэффициенты am в формуле (10.18).
Сэтой целью снова обратимся к уравнениям (10.16). Нас интересует уравнение дляam при m = n, поэтому запишем1 (0)(0)(2)En − Em+ En(1) + . . . a(1)m + am + . . . = (1)a+...+W+....= Wmn 1 + a(1)mknk(10.22)k=n(1)Чтобы найти am , достаточно оставить лишь члены первого порядка. Это даетa(1)m =Wmn(0)En(0)− Em(m = n).(10.23)(2)Теперь поправка второго порядка En к уровням энергии [см. (10.19)] записываетсякак W Wnm mn.(10.24)En(2) =(0)(0)E−Enmm=nМатричные элементы оператора возмущения, определяемые формулой (10.15), —(2)комплексные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
