Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Действительно, еслибы существовало такое квантовое состояние частицы, в котором Lz = L, то в этомсостоянии мы имели бы Lx = Ly = 0. Но поскольку операторы проекций моментаимпульса не коммутируют друг с другом, они не могут иметь определенные значения в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому максимальное значениепроекции Lz не может быть равно модулю момента импульса L.8.3.Операторы L̂+ и L̂−При рассмотрении общих вопросов теории момента импульса и в конкретныхзадачах вместо операторов L̂x и L̂y часто бывает удобнее использовать вспомогательные операторыL̂+ = L̂x + iL̂y ,L̂− = L̂x − iL̂y .(8.31)Ясно, что эти операторы не являются эрмитовыми, поэтому сами по себе они несоответствуют наблюдаемым физическим величинам. Впрочем, эрмитовые операторы проекций момента импульса L̂x и L̂y можно выразить через L̂± :L̂x =1L̂+ + L̂− ,2L̂y =1 L̂+ − L̂− .2i(8.32)Приведем несколько важных соотношений для операторов L̂± .
Во-первых, с помощью формул (8.31) и (4.17) легко проверить, что справедливы правила коммутации[L̂z , L̂+ ] = L̂+ ,[L̂z , L̂− ] = − L̂− ,(8.33)которые проще, чем правила коммутации для L̂x и L̂y . Отметим также, что оператор L̂z можно выразить через коммутатор [L̂+ , L̂− ]. Прямое вычисление этогокоммутатора дает (проверку оставляем читателю в качестве упражнения)[L̂+ , L̂− ] = 2 L̂z .(8.34)Наконец, с помощью формул (8.32) убеждаемся, что оператор квадрата моментаимпульса (8.5) записывается в видеL̂2 = L̂+ L̂− + L̂2z − L̂z = L̂− L̂+ + L̂2z + L̂z .(8.35)Основная идея введения операторов L̂± состоит в том, что некоторые полезные соотношения удается вывести непосредственно из приведенных выше формул,избегая явного использования несколько громоздких выражений (8.4) для операторов L̂x и L̂y .
В качестве иллюстрации приведем один пример.Предположим, что волновая функция ψm описывает состояние, в котором проекция момента импульса на ось квантования z имеет значение Lz = m, т. е.85L̂z ψm = m ψm . Покажем, что функции L̂+ ψm и L̂− ψm с точностью до нормировочного множителя совпадают с волновыми функциями состояний, в которыхпроекция Lz равна, соответственно, (m + 1) и (m − 1). Ограничимся доказательством этого утверждения для функции L̂+ ψm .
Аналогичное доказательство дляL̂− ψm оставим читателю как упражнение.Докажем, что L̂+ ψm является собственной функцией оператора L̂z . С этойцелью запишемL̂z L̂+ ψm = L̂+ L̂z + [L̂z , L̂+ ] ψm = L̂+ L̂z + L̂+ ψm ,где было использовано первое из коммутационных соотношений (8.33). Поскольку,по предположению, ψm — собственная функция оператора L̂z , соответствующаясобственному значению m, получаем равенствоL̂z L̂+ ψm = (m + 1) L̂+ ψm ,(8.36)которое показывает, что функции L̂+ ψm и ψm+1 пропорциональны друг другу.Совершенно так же доказывается, что функция L̂− ψm пропорциональна ψm−1 .Обычно говорят, что оператор L̂+ переводит состояние с Lz = m в состояниес Lz = (m + 1), а оператор L̂− переводит состояние с Lz = m в состояние сLz = (m − 1).
Отметим также, что, согласно формулам (8.32), операторы L̂x иL̂y преобразуют волновую функцию ψm в суперпозиции волновых функций ψm+1и ψm−1 .8.4.Орбитальный магнитный момент электронаИз курса электромагнетизма известно, что при движении заряженных частицв пространстве происходит перенос заряда, т.
е. идет электрический ток. Есликлассическая заряженная частица массы M с зарядом q движется по замкнутойорбите с постоянной скоростью, то она обладает (как замкнутый круговой ток) формулоймагнитным моментом µ , связанным с ее моментом импульса Lµ=q L.2M(8.37)Отношение µ/L называется гиромагнитным отношением.
Для орбитальногодвижения частиц в классической механике оно равно |q|/2M . Магнитный момент— важная физическая величина, так как она определяет энергию частицы в магнитном поле.ˆВ квантовой механике момент импульса частицы описывается оператором L,поэтому естественно ввести и оператор магнитного момента µˆ. В атомной физикенаибольший интерес представляет магнитный момент электрона (q = −e, M =me ), поэтому мы введем µˆ именно для этого случая. По аналогии с классическойформулой (8.37), естественно определить оператор орбитального магнитного86момента электрона1 c помощью соотношенияe ˆL.µˆ = −2me(8.38)ˆ совпадают. Собственные значеЯсно, что собственные функции операторов µˆ и Lния квадрата орбитального магнитного момента электрона µ2 и его проекции µzна ось квантования даются формуламиµ2 = µ2B l(l + 1),µz = −µB m ,(8.39)e= 0, 9274 · 10−23 Дж/Тл2me(8.40)где величинаµB =называется магнетоном Бора и является естественной единицей магнитногомомента.
Отметим, что для электрона знаки Lz и µz в одном и том же квантовомсостоянии противоположны, так как заряд электрона имеет отрицательный знак.Упражнения8.1. Вывести выражения (8.4) для операторов L̂x и L̂y в сферических координатах.Указание: Частную производную по x (при фиксированных y и z) можно записать в виде∂∂r ∂∂ϕ ∂∂ϑ ∂=++.∂x∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂ϑДля ∂/∂y и ∂/∂z справедливы аналогичные выражения. Частные производныедекартовых координат по сферическим легко вычислить, используя формулыzycos ϑ = ,tg ϕ = ,r = x2 + y 2 + z 2 ,rxкоторые следуют из (8.2). Например,∂rx= = sin ϑ cos ϕ,∂xrxzcos ϑ cos ϕ∂ϑ= 3=,∂xr sin ϑrsin ϕ∂ϕy cos2 ϕ=−=−.2∂xxr sin ϑПосле этого нужно воспользоваться явными выражениями (3.39) для L̂x и L̂y вдекартовых координатах.8.2. Доказать равенства (8.8).Указание: Использовать соотношения (4.17) и тождество (4.14).Слово “орбитальный” добавлено не случайно.
Электрон обладает также собственнымили спиновым магнитным моментом, который не связан с движением в пространстве (см.раздел 11.5.).1878.3. Проверить условие ортогональности (8.20) для функций (8.19), явно вычислив интеграл.Указание: Удобно записать произведение Φ∗m Φm в виде1 i(m−m )ϕ1=Φ∗m Φm =ecos[(m − m )ϕ] + i sin[(m − m )ϕ] .2π2π8.4. Используя (8.20) и (8.21), проверить условия ортогональности (8.23) длясферических функций.8.5. Проверить правило четности состояний с различными l, используя явныевыражения (8.26) для первых сферических функций.9.Водородоподобные атомыВ первой же работе Э. Шредингера по волновой механике им были найденыволновые функции стационарных состояний атома с одним электроном и был получен энергетический спектр, который в точности совпал с результатом теорииБора.
Это было важным достижением, так как квантование энергии атома естественным образом следовало из общих принципов квантовой механики без введения дополнительного квантового условия, которое в теории Бора используетсявместе с классическим уравнением движения электрона.9.1.Стационарные состояния частицы в центральном полеПрежде чем приступить непосредственно к задаче об атоме водорода, обсудим общие свойства стационарных состояний частицы, находящейся в центральном силовом поле. Напомним читателю, что силовое поле называется центральным,если потенциальная энергия частицы U (r) зависит только от расстоянияr = x2 + y 2 + z 2 до силового центра, который расположен в начале системы ко , действующая на частицу, направлена вдоль прямой,ординат.
Сила F = −∇Uсоединяющей частицу с силовым центром. Нас будут интересовать стационарныесостояния частицы, т. е. состояния с определенной энергией E. Как мы увидимдальше, именно в этой задаче очень удобно использовать сферические координаты.Волновая функция стационарного состояния имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t) = ψ(r, ϑ, ϕ) e−iEt/,(9.1)где ψ является собственной функцией гамильтониана1Ĥ = −2 2∇ + U (r).2µ(9.2)Так как мы собираемся работать в сферической системе координат, то операторЛапласа ∇2 нужно записать в сферических координатах. Из математики известно,что∂21 ∂1∂∂122 ∂∇ = 2.(9.3)r+ 2sin ϑ+ 2 2r ∂r∂rr sin ϑ ∂ϑ∂ϑr sin ϑ ∂ϕ2В этом разделе масса частицы будет обозначаться буквой µ, чтобы избежать путаницы с магнитным квантовым числом, для которого сохраним обозначение m.188Конечно, это выражение выглядит сложнее, чем оператор Лапласа в декартовыхкоординатах, однако оно обладает одним полезным свойством.
Сравнивая формулы (9.3) и (8.6), замечаем, что угловая часть оператора Лапласа с точностью домножителя совпадает с оператором квадрата момента импульса частицы. Поэтому1 ∂∇ = 2r ∂r2∂r∂r2−L̂2.2 r 2(9.4)Подстановка этого выражения в (9.5) позволяет записать гамильтониан частицы ввидеL̂22 1 ∂2 ∂r++ U (r) .(9.5)Ĥ = −2µ r2 ∂r∂r2µr2Отсюда можно извлечь важные выводы. Напомним еще раз, что операторы квадрата момента импульса (8.6) и проекции момента импульса (8.3) на ось квантования (ось z) не содержат производных по радиальной координате r. Кроме того,напомним, что операторы L̂2 и L̂z коммутируют друг с другом.
Следовательно,оба эти оператора коммутируют с гамильтонианом (9.5). Итак, для частицы, находящейся в центральном силовом поле, выполняются соотношения[L̂2 , Ĥ] = 0,[L̂z , Ĥ] = 0,[L̂z , L̂2 ] = 0.(9.6)Но, как известно из общей теории операторов, изложенной в параграфе 5, еслиоператоры коммутируют друг с другом, то они имеют общую систему собственных функций. Поэтому волновые функции стационарных состояний частицы вцентральном поле можно выбрать такими, чтобы они одновременно удовлетворяли уравнениямL̂2 ψ = 2 l(l + 1)ψ,Ĥψ = Eψ,L̂z ψ = mψ.(9.7)Собственные значения в двух последних уравнениях, которые уже были исследованы в предыдущем параграфе, мы сразу записали через орбитальное квантовоечисло l и магнитное квантовое число m.Уравнения (9.7) допускают разделение переменных, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
