Главная » Просмотр файлов » Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 19

Файл №1083078 Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики) 19 страницаБерзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078) страница 192018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Действительно, еслибы существовало такое квантовое состояние частицы, в котором Lz = L, то в этомсостоянии мы имели бы Lx = Ly = 0. Но поскольку операторы проекций моментаимпульса не коммутируют друг с другом, они не могут иметь определенные значения в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому максимальное значениепроекции Lz не может быть равно модулю момента импульса L.8.3.Операторы L̂+ и L̂−При рассмотрении общих вопросов теории момента импульса и в конкретныхзадачах вместо операторов L̂x и L̂y часто бывает удобнее использовать вспомогательные операторыL̂+ = L̂x + iL̂y ,L̂− = L̂x − iL̂y .(8.31)Ясно, что эти операторы не являются эрмитовыми, поэтому сами по себе они несоответствуют наблюдаемым физическим величинам. Впрочем, эрмитовые операторы проекций момента импульса L̂x и L̂y можно выразить через L̂± :L̂x =1L̂+ + L̂− ,2L̂y =1 L̂+ − L̂− .2i(8.32)Приведем несколько важных соотношений для операторов L̂± .

Во-первых, с помощью формул (8.31) и (4.17) легко проверить, что справедливы правила коммутации[L̂z , L̂+ ] = L̂+ ,[L̂z , L̂− ] = − L̂− ,(8.33)которые проще, чем правила коммутации для L̂x и L̂y . Отметим также, что оператор L̂z можно выразить через коммутатор [L̂+ , L̂− ]. Прямое вычисление этогокоммутатора дает (проверку оставляем читателю в качестве упражнения)[L̂+ , L̂− ] = 2 L̂z .(8.34)Наконец, с помощью формул (8.32) убеждаемся, что оператор квадрата моментаимпульса (8.5) записывается в видеL̂2 = L̂+ L̂− + L̂2z − L̂z = L̂− L̂+ + L̂2z + L̂z .(8.35)Основная идея введения операторов L̂± состоит в том, что некоторые полезные соотношения удается вывести непосредственно из приведенных выше формул,избегая явного использования несколько громоздких выражений (8.4) для операторов L̂x и L̂y .

В качестве иллюстрации приведем один пример.Предположим, что волновая функция ψm описывает состояние, в котором проекция момента импульса на ось квантования z имеет значение Lz = m, т. е.85L̂z ψm = m ψm . Покажем, что функции L̂+ ψm и L̂− ψm с точностью до нормировочного множителя совпадают с волновыми функциями состояний, в которыхпроекция Lz равна, соответственно, (m + 1) и (m − 1). Ограничимся доказательством этого утверждения для функции L̂+ ψm .

Аналогичное доказательство дляL̂− ψm оставим читателю как упражнение.Докажем, что L̂+ ψm является собственной функцией оператора L̂z . С этойцелью запишемL̂z L̂+ ψm = L̂+ L̂z + [L̂z , L̂+ ] ψm = L̂+ L̂z + L̂+ ψm ,где было использовано первое из коммутационных соотношений (8.33). Поскольку,по предположению, ψm — собственная функция оператора L̂z , соответствующаясобственному значению m, получаем равенствоL̂z L̂+ ψm = (m + 1) L̂+ ψm ,(8.36)которое показывает, что функции L̂+ ψm и ψm+1 пропорциональны друг другу.Совершенно так же доказывается, что функция L̂− ψm пропорциональна ψm−1 .Обычно говорят, что оператор L̂+ переводит состояние с Lz = m в состояниес Lz = (m + 1), а оператор L̂− переводит состояние с Lz = m в состояние сLz = (m − 1).

Отметим также, что, согласно формулам (8.32), операторы L̂x иL̂y преобразуют волновую функцию ψm в суперпозиции волновых функций ψm+1и ψm−1 .8.4.Орбитальный магнитный момент электронаИз курса электромагнетизма известно, что при движении заряженных частицв пространстве происходит перенос заряда, т.

е. идет электрический ток. Есликлассическая заряженная частица массы M с зарядом q движется по замкнутойорбите с постоянной скоростью, то она обладает (как замкнутый круговой ток) формулоймагнитным моментом µ , связанным с ее моментом импульса Lµ=q L.2M(8.37)Отношение µ/L называется гиромагнитным отношением.

Для орбитальногодвижения частиц в классической механике оно равно |q|/2M . Магнитный момент— важная физическая величина, так как она определяет энергию частицы в магнитном поле.ˆВ квантовой механике момент импульса частицы описывается оператором L,поэтому естественно ввести и оператор магнитного момента µˆ. В атомной физикенаибольший интерес представляет магнитный момент электрона (q = −e, M =me ), поэтому мы введем µˆ именно для этого случая. По аналогии с классическойформулой (8.37), естественно определить оператор орбитального магнитного86момента электрона1 c помощью соотношенияe ˆL.µˆ = −2me(8.38)ˆ совпадают. Собственные значеЯсно, что собственные функции операторов µˆ и Lния квадрата орбитального магнитного момента электрона µ2 и его проекции µzна ось квантования даются формуламиµ2 = µ2B l(l + 1),µz = −µB m ,(8.39)e= 0, 9274 · 10−23 Дж/Тл2me(8.40)где величинаµB =называется магнетоном Бора и является естественной единицей магнитногомомента.

Отметим, что для электрона знаки Lz и µz в одном и том же квантовомсостоянии противоположны, так как заряд электрона имеет отрицательный знак.Упражнения8.1. Вывести выражения (8.4) для операторов L̂x и L̂y в сферических координатах.Указание: Частную производную по x (при фиксированных y и z) можно записать в виде∂∂r ∂∂ϕ ∂∂ϑ ∂=++.∂x∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂ϑДля ∂/∂y и ∂/∂z справедливы аналогичные выражения. Частные производныедекартовых координат по сферическим легко вычислить, используя формулыzycos ϑ = ,tg ϕ = ,r = x2 + y 2 + z 2 ,rxкоторые следуют из (8.2). Например,∂rx= = sin ϑ cos ϕ,∂xrxzcos ϑ cos ϕ∂ϑ= 3=,∂xr sin ϑrsin ϕ∂ϕy cos2 ϕ=−=−.2∂xxr sin ϑПосле этого нужно воспользоваться явными выражениями (3.39) для L̂x и L̂y вдекартовых координатах.8.2. Доказать равенства (8.8).Указание: Использовать соотношения (4.17) и тождество (4.14).Слово “орбитальный” добавлено не случайно.

Электрон обладает также собственнымили спиновым магнитным моментом, который не связан с движением в пространстве (см.раздел 11.5.).1878.3. Проверить условие ортогональности (8.20) для функций (8.19), явно вычислив интеграл.Указание: Удобно записать произведение Φ∗m Φm в виде1 i(m−m )ϕ1=Φ∗m Φm =ecos[(m − m )ϕ] + i sin[(m − m )ϕ] .2π2π8.4. Используя (8.20) и (8.21), проверить условия ортогональности (8.23) длясферических функций.8.5. Проверить правило четности состояний с различными l, используя явныевыражения (8.26) для первых сферических функций.9.Водородоподобные атомыВ первой же работе Э. Шредингера по волновой механике им были найденыволновые функции стационарных состояний атома с одним электроном и был получен энергетический спектр, который в точности совпал с результатом теорииБора.

Это было важным достижением, так как квантование энергии атома естественным образом следовало из общих принципов квантовой механики без введения дополнительного квантового условия, которое в теории Бора используетсявместе с классическим уравнением движения электрона.9.1.Стационарные состояния частицы в центральном полеПрежде чем приступить непосредственно к задаче об атоме водорода, обсудим общие свойства стационарных состояний частицы, находящейся в центральном силовом поле. Напомним читателю, что силовое поле называется центральным,если потенциальная энергия частицы U (r) зависит только от расстоянияr = x2 + y 2 + z 2 до силового центра, который расположен в начале системы ко , действующая на частицу, направлена вдоль прямой,ординат.

Сила F = −∇Uсоединяющей частицу с силовым центром. Нас будут интересовать стационарныесостояния частицы, т. е. состояния с определенной энергией E. Как мы увидимдальше, именно в этой задаче очень удобно использовать сферические координаты.Волновая функция стационарного состояния имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t) = ψ(r, ϑ, ϕ) e−iEt/,(9.1)где ψ является собственной функцией гамильтониана1Ĥ = −2 2∇ + U (r).2µ(9.2)Так как мы собираемся работать в сферической системе координат, то операторЛапласа ∇2 нужно записать в сферических координатах. Из математики известно,что∂21 ∂1∂∂122 ∂∇ = 2.(9.3)r+ 2sin ϑ+ 2 2r ∂r∂rr sin ϑ ∂ϑ∂ϑr sin ϑ ∂ϕ2В этом разделе масса частицы будет обозначаться буквой µ, чтобы избежать путаницы с магнитным квантовым числом, для которого сохраним обозначение m.188Конечно, это выражение выглядит сложнее, чем оператор Лапласа в декартовыхкоординатах, однако оно обладает одним полезным свойством.

Сравнивая формулы (9.3) и (8.6), замечаем, что угловая часть оператора Лапласа с точностью домножителя совпадает с оператором квадрата момента импульса частицы. Поэтому1 ∂∇ = 2r ∂r2∂r∂r2−L̂2.2 r 2(9.4)Подстановка этого выражения в (9.5) позволяет записать гамильтониан частицы ввидеL̂22 1 ∂2 ∂r++ U (r) .(9.5)Ĥ = −2µ r2 ∂r∂r2µr2Отсюда можно извлечь важные выводы. Напомним еще раз, что операторы квадрата момента импульса (8.6) и проекции момента импульса (8.3) на ось квантования (ось z) не содержат производных по радиальной координате r. Кроме того,напомним, что операторы L̂2 и L̂z коммутируют друг с другом.

Следовательно,оба эти оператора коммутируют с гамильтонианом (9.5). Итак, для частицы, находящейся в центральном силовом поле, выполняются соотношения[L̂2 , Ĥ] = 0,[L̂z , Ĥ] = 0,[L̂z , L̂2 ] = 0.(9.6)Но, как известно из общей теории операторов, изложенной в параграфе 5, еслиоператоры коммутируют друг с другом, то они имеют общую систему собственных функций. Поэтому волновые функции стационарных состояний частицы вцентральном поле можно выбрать такими, чтобы они одновременно удовлетворяли уравнениямL̂2 ψ = 2 l(l + 1)ψ,Ĥψ = Eψ,L̂z ψ = mψ.(9.7)Собственные значения в двух последних уравнениях, которые уже были исследованы в предыдущем параграфе, мы сразу записали через орбитальное квантовоечисло l и магнитное квантовое число m.Уравнения (9.7) допускают разделение переменных, т. е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее