Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, в практической работе с оператором моментаимпульса можно использовать выражениеˆ = L̂x ex + L̂y ey + L̂z ez ,L(8.1)где ex ,ey ,ez — орты декартовой системы координат.Представление оператора момента импульса в виде (8.1) удобно, если нас интересует его действие на волновые функции,зависящие от декартовых координат частицы x, y, z. Однако во многих случаях более удобно пользоваться другими системами координат.
Например, задача о движении частицы в центральном силовом поле,которая очень важна для описания свойстватомов, гораздо проще решается в сферической системе координат, где положениеточки пространства задается координатамиr, ϑ, ϕ (см. Рис. 8.1.).Декартовы и сферические координатыРис. 8.1.связаны соотношениямиx = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ.(8.2)Так как в сферической системе координат волновая функция имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t), то операторы L̂x , L̂y и L̂z нужно записать через частные производные79по сферическим координатам. Начнем с оператора L̂z .
Явное выражение для негоможно найти следующим способом. Согласно правилам математики, операторчастной производной по ϕ записывается так:∂∂x ∂∂y ∂∂z ∂=++.∂ϕ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂zВычисление частных производных легко проводится с помощью (8.2):∂y∂z∂x= −r sin ϑ sin ϕ = −y,= r sin ϑ cos ϕ = x,= 0.∂ϕ∂ϕ∂ϕТаким образом, получаем∂∂∂=x−y.∂ϕ∂y∂xСравнение этого выражения с последней формулой (3.39) показывает, что в сферических координатахL̂z = −i∂.∂ϕ(8.3)Действуя аналогичным образом, для операторов L̂x и L̂y можно получить выражения (см. упражнение 8.1.):∂∂L̂x = i sin ϕ+ cos ϕ ctg ϑ,∂ϑ∂ϕ(8.4)∂∂L̂y = −i cos ϕ− sin ϕ ctg ϑ.∂ϑ∂ϕВ дальнейшем нам потребуется также выражение в сферических координатахдля оператора квадрата момента импульсаL̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z .(8.5)Его можно вывести, используя формулы (8.3) и (8.4) (см.
упражнение 8.1.). Опуская математические преобразования, которые читателю полезно провести самостоятельно, приведем окончательный результат:2L̂ = −21 ∂sin ϑ ∂ϑ∂sin ϑ∂ϑ1∂2+sin2 ϑ ∂ϕ2.(8.6)Отметим, что в выражения (8.3), (8.4) и (8.6) входят лишь производные по “угловым” переменным ϑ и ϕ. Если волновая функция частицы Ψ(r, t) зависит лишь от“радиальной” координаты r (т. е. является сферически симметричной), то выполняются равенстваL̂x Ψ(r, t) = L̂y Ψ(r, t) = L̂z Ψ(r, t) = 0,L̂2 Ψ(r, t) = 0.(8.7)Отсюда следует важный физический вывод:• Если квантовое состояние частицы описывается сферически симметричнойволновой функцией Ψ(r, t), то в этом состоянии равны нулю квадрат моментаимпульса и все три его декартовы проекции.808.2.Собственные значения и собственные функции моментаимпульсаОператор момента импульса (8.1) — векторный оператор, поэтому задача наˆ сводится к задачам на собственсобственные значения и собственные функции Lные значения и собственные функции его проекций L̂x , L̂y , L̂z .
В параграфе 4 мывыяснили, что операторы проекций момента импульса не коммутируют друг с другом [см. формулы (4.17)]. Это означает, что в одном и том же квантовом состояниивсе три проекции момента импульса не могут одновременно иметь точные значения1 . Легко убедиться, однако, что оператор квадрата момента импульса (8.5)коммутирует с каждым из операторов L̂x , L̂y , L̂z (см. упражнение 8.2.):[L̂2 , L̂x ] = [L̂2 , L̂y ] = [L̂2 , L̂z ] = 0.(8.8)Таким образом, мы приходим к выводу:• Общие собственные функции могут иметь лишь пары операторов (L̂2 , L̂x ),(L̂2 , L̂y ), (L̂2 , L̂z ).Иначе говоря,• Точные значения в одном и том же квантовом состоянии могут иметь лишьквадрат момента импульса и одна из его проекций2 .Так как для оператора L̂z имеем очень простое выражение (8.3), то удобно выбратьпару (L̂2 , L̂z ) и решать задачу на собственные значения и собственные функциимомента импульса в сферических координатах.
Ось z обычно называется осьюквантования момента импульса3 . Собственные значения квадрата моментаимпульса (L2 ) и его проекции на ось квантования (Lz ) принято записывать в видеL2 = 2 l(l + 1),Lz = m,(8.9)где l называется орбитальным (азимутальным) квантовым числом, а m —магнитным квантовым числом4 .
Таким образом, задача на собственные функции и собственные значения момента импульса сводится к решению двух уравненийL̂2 ψ = 2 l(l + 1)ψ,L̂z ψ = m ψ(8.10)и определению тех значений квантовых чисел l и m, при которых ψ — однозначнаяи конечная функция.Напомним, что операторы (8.3) и (8.6) не содержат радиальной переменной r ипроизводных по этой переменной. Поэтому решения уравнений (8.10) имеют видψlm (r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ),(8.11)Единственное исключение — состояния со сферически симметричными волновымифункциями Ψ(r, t), в котором все три проекции момента импульса равны нулю. Тольков этом случае мы не приходим в противоречие с соотношением неопределенностей (4.26).2С учетом предыдущего замечания.3Отметим, что в качестве оси квантования z можно выбрать любую ось в пространстве.4Не путать магнитное квантовое число с массой частицы!181где R(r) — произвольная функция, а функция Ylm (ϑ, ϕ) удовлетворяет двум уравнениямL̂2 Ylm = 2 l(l + 1)Ylm ,L̂z Ylm = mYlm .(8.12)К счастью, эти уравнения допускают разделение переменных, т.
е. их решениеможно искать в видеYlm (ϑ, ϕ) = Θlm (ϑ)Φm (ϕ).(8.13)Подставляя это выражение в уравнения (8.12) и вспоминая явный вид операторовL̂2 и L̂z в сферических координатах, получаем дифференциальные уравнения собычными производными (рекомендуем читателю самостоятельно проделать необходимые преобразования):1 ddΘlmm2(8.14)sin ϑ−Θ + l(l + 1)Θlm = 0,sin ϑ dϑdϑsin2 ϑ lmdΦm= imΦm .dϕ(8.15)Второе уравнение выглядит значительно проще и его общее решение легко находится: Φm (ϕ) = A exp{imϕ}, где A — пока произвольная постоянная. ФункцияΦm (ϕ) должна быть однозначной, т. е.
должно выполняться условиеΦm (ϕ ± 2π) = Φm (ϕ).(8.16)eix = cos x + i sin x,(8.17)Вспоминая формулу Эйлеравидим, что Φm (ϕ) однозначна только в тех случаях, когда квантовое число mпринимает значенияm = 0, ±1, ±2, . . .(8.18)Согласно (8.9), это приводит к квантованию проекции момента импульса Lz : онадолжна быть кратна постоянной Планка . Собственные функции Φm оператораL̂z удобно выбрать в виде1Φm (ϕ) = √ eimϕ .(8.19)2πТогда выполняются соотношения2πΦ∗m (ϕ)Φm (ϕ) dϕ = δmm ,(8.20)0которые означают, что собственные функции (8.19) образуют ортонормированныйнабор функций.Анализ уравнения (8.14) более сложен и мы его не будем проводить. Ограничимся основными выводами.
Оказывается, что ненулевые решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, существуют только82при целых положительных значениях квантового числа l, причем l ≥ |m|. Функции Θlm можно выбрать действительными и такими, что они удовлетворяют условию ортогональностиπΘlm (ϑ)Θl m (ϑ) sin ϑ dϑ = δll ,l = l .(8.21)0Подведем итоги:• Собственные значения квадрата момента импульса и его проекции на оськвантования (ось z) определяются формулами (8.9), где квантовые числа l иm принимают значенияl = 0, 1, 2, . .
. ,m = −l, −l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l.(8.22)Для каждого значения орбитального квантового числа l магнитное квантовоечисло m может иметь 2l + 1 значение.• Общие собственные функции оператора квадрата момента импульса L̂2 и оператора проекции момента импульса L̂z имеют вид (8.11) и удовлетворяютусловиям ортогональности∗Ylm(ϑ, ϕ)Yl m (ϑ, ϕ) dΩ = δll δmm ,(8.23)Ωгде dΩ = sin ϑ dϑ dϕ — элемент телесного угла и интеграл берется по полномутелесному углу.Напомним читателю, что в сферической системе координат элемент объемазаписывается в видеdV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ ≡ r2 dr dΩ.(8.24)Полный телесный угол равенΩ=πdΩ =Ω2πsin ϑ dϑ0dϕ = 4π.(8.25)0Для полноты следовало бы выписать выражения для функций Ylm (ϑ, ϕ), которые вматематике называются сферическими функциями.
Общая формула для нихявляется довольно сложной и в дальнейшем нам не понадобится1 . Приведем явныеПодробное рассмотрение сферических функций интересующийся читатель может найти в учебниках по квантовой механике [2, 4].183выражения только для первых нормированных сферических функций:133Y00 = √ ,cos ϑ, Y1, ±1 = ∓sin ϑ · e± iϕ ,Y10 =4π8π4π5152Y2,±1 = ±(1 − 3 cos ϑ) ,sin ϑ cos ϑ · e± iϕ ,Y20 =16π8π15sin2 ϑ · e± 2iϕ .Y2,±2 = −32π(8.26)Во приложениях квантовой механики важную роль играет следующее свойствосферических функций. Изменим одновременно знаки координат любой точки пространства x, y, z или, как говорят, выполним преобразование инверсии1x → −x,y → −y,z → −z.(8.27)При этом любая функция (например, волновая функция частицы) ψ(x, y, z) заменяется новой функцией:ψ(x, y, z) → ψ (x, y, z) = ψ(−x, −y, −z).(8.28)Если в результате преобразования инверсии волновая функция либо не меняетсявовсе, либо просто меняет знак, то говорят, что волновая функция (и соответствующее квантовое состояние) обладают определенной четностью:ψ(−x, −y, −z) = ψ(x, y, z)— четное состояние,ψ(−x, −y, −z) = − ψ(x, y, z)— нечетное состояние.(8.29)Заметим, что суперпозиция только четных (нечетных) состояний снова являетсячетным (нечетным) состоянием, а суперпозиция, в которую одновременно входятчетные и нечетные состояния, уже не обладает определенной четностью.Сферические функции Ylm (т.
е. собственные функции L̂2 и L̂z ) обладают определенной четностью при инверсии координат. Для сферических координат преобразование инверсии (8.27) выглядит так (эти соотношения легко проверить спомощью Рис. 8.1.):r → r, ϑ → π − ϑ, ϕ → ϕ + π.(8.30)Можно показать, что сферические функции с l = 0, 2, . . . являются четными, асферические функции с l = 1, 3, . . . — нечетными. Итак,• Квантовые состояния частицы с четным l — четны, а квантовые состояния снечетным l — нечетны.Советуем запомнить это правило, так как оно часто бывает полезным в конкретныхзадачах.В заключениесделаем одно замечание, относящееся к формулам (8.9). Величину L = l(l + 1) можно рассматривать как значение модуля вектора момента импульса частицы.
Тогда, при фиксированном L, величины Lz = m есть возможныеПреобразование инверсии соответствует тому, что направления осей системы координат меняются на противоположные.184значения проекции вектора момента импульса на ось квантования. С этой точкизрения в квантовой механике максимальное значение проекции момента импульсаl всегда меньше значения его модуля. Таким образом, в отличие от классическихвекторов, квантовомеханический вектор момента импульса никогда не можетбыть ориентирован строго вдоль пространственной оси. Этот неожиданный вывод согласуется, однако, с соотношением неопределенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
