Главная » Просмотр файлов » Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 18

Файл №1083078 Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики) 18 страницаБерзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078) страница 182018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Таким образом, в практической работе с оператором моментаимпульса можно использовать выражениеˆ = L̂x ex + L̂y ey + L̂z ez ,L(8.1)где ex ,ey ,ez — орты декартовой системы координат.Представление оператора момента импульса в виде (8.1) удобно, если нас интересует его действие на волновые функции,зависящие от декартовых координат частицы x, y, z. Однако во многих случаях более удобно пользоваться другими системами координат.

Например, задача о движении частицы в центральном силовом поле,которая очень важна для описания свойстватомов, гораздо проще решается в сферической системе координат, где положениеточки пространства задается координатамиr, ϑ, ϕ (см. Рис. 8.1.).Декартовы и сферические координатыРис. 8.1.связаны соотношениямиx = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ.(8.2)Так как в сферической системе координат волновая функция имеет видΨ(r, ϑ, ϕ, t), то операторы L̂x , L̂y и L̂z нужно записать через частные производные79по сферическим координатам. Начнем с оператора L̂z .

Явное выражение для негоможно найти следующим способом. Согласно правилам математики, операторчастной производной по ϕ записывается так:∂∂x ∂∂y ∂∂z ∂=++.∂ϕ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂zВычисление частных производных легко проводится с помощью (8.2):∂y∂z∂x= −r sin ϑ sin ϕ = −y,= r sin ϑ cos ϕ = x,= 0.∂ϕ∂ϕ∂ϕТаким образом, получаем∂∂∂=x−y.∂ϕ∂y∂xСравнение этого выражения с последней формулой (3.39) показывает, что в сферических координатахL̂z = −i∂.∂ϕ(8.3)Действуя аналогичным образом, для операторов L̂x и L̂y можно получить выражения (см. упражнение 8.1.):∂∂L̂x = i sin ϕ+ cos ϕ ctg ϑ,∂ϑ∂ϕ(8.4)∂∂L̂y = −i cos ϕ− sin ϕ ctg ϑ.∂ϑ∂ϕВ дальнейшем нам потребуется также выражение в сферических координатахдля оператора квадрата момента импульсаL̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z .(8.5)Его можно вывести, используя формулы (8.3) и (8.4) (см.

упражнение 8.1.). Опуская математические преобразования, которые читателю полезно провести самостоятельно, приведем окончательный результат:2L̂ = −21 ∂sin ϑ ∂ϑ∂sin ϑ∂ϑ1∂2+sin2 ϑ ∂ϕ2.(8.6)Отметим, что в выражения (8.3), (8.4) и (8.6) входят лишь производные по “угловым” переменным ϑ и ϕ. Если волновая функция частицы Ψ(r, t) зависит лишь от“радиальной” координаты r (т. е. является сферически симметричной), то выполняются равенстваL̂x Ψ(r, t) = L̂y Ψ(r, t) = L̂z Ψ(r, t) = 0,L̂2 Ψ(r, t) = 0.(8.7)Отсюда следует важный физический вывод:• Если квантовое состояние частицы описывается сферически симметричнойволновой функцией Ψ(r, t), то в этом состоянии равны нулю квадрат моментаимпульса и все три его декартовы проекции.808.2.Собственные значения и собственные функции моментаимпульсаОператор момента импульса (8.1) — векторный оператор, поэтому задача наˆ сводится к задачам на собственсобственные значения и собственные функции Lные значения и собственные функции его проекций L̂x , L̂y , L̂z .

В параграфе 4 мывыяснили, что операторы проекций момента импульса не коммутируют друг с другом [см. формулы (4.17)]. Это означает, что в одном и том же квантовом состояниивсе три проекции момента импульса не могут одновременно иметь точные значения1 . Легко убедиться, однако, что оператор квадрата момента импульса (8.5)коммутирует с каждым из операторов L̂x , L̂y , L̂z (см. упражнение 8.2.):[L̂2 , L̂x ] = [L̂2 , L̂y ] = [L̂2 , L̂z ] = 0.(8.8)Таким образом, мы приходим к выводу:• Общие собственные функции могут иметь лишь пары операторов (L̂2 , L̂x ),(L̂2 , L̂y ), (L̂2 , L̂z ).Иначе говоря,• Точные значения в одном и том же квантовом состоянии могут иметь лишьквадрат момента импульса и одна из его проекций2 .Так как для оператора L̂z имеем очень простое выражение (8.3), то удобно выбратьпару (L̂2 , L̂z ) и решать задачу на собственные значения и собственные функциимомента импульса в сферических координатах.

Ось z обычно называется осьюквантования момента импульса3 . Собственные значения квадрата моментаимпульса (L2 ) и его проекции на ось квантования (Lz ) принято записывать в видеL2 = 2 l(l + 1),Lz = m,(8.9)где l называется орбитальным (азимутальным) квантовым числом, а m —магнитным квантовым числом4 .

Таким образом, задача на собственные функции и собственные значения момента импульса сводится к решению двух уравненийL̂2 ψ = 2 l(l + 1)ψ,L̂z ψ = m ψ(8.10)и определению тех значений квантовых чисел l и m, при которых ψ — однозначнаяи конечная функция.Напомним, что операторы (8.3) и (8.6) не содержат радиальной переменной r ипроизводных по этой переменной. Поэтому решения уравнений (8.10) имеют видψlm (r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ),(8.11)Единственное исключение — состояния со сферически симметричными волновымифункциями Ψ(r, t), в котором все три проекции момента импульса равны нулю. Тольков этом случае мы не приходим в противоречие с соотношением неопределенностей (4.26).2С учетом предыдущего замечания.3Отметим, что в качестве оси квантования z можно выбрать любую ось в пространстве.4Не путать магнитное квантовое число с массой частицы!181где R(r) — произвольная функция, а функция Ylm (ϑ, ϕ) удовлетворяет двум уравнениямL̂2 Ylm = 2 l(l + 1)Ylm ,L̂z Ylm = mYlm .(8.12)К счастью, эти уравнения допускают разделение переменных, т.

е. их решениеможно искать в видеYlm (ϑ, ϕ) = Θlm (ϑ)Φm (ϕ).(8.13)Подставляя это выражение в уравнения (8.12) и вспоминая явный вид операторовL̂2 и L̂z в сферических координатах, получаем дифференциальные уравнения собычными производными (рекомендуем читателю самостоятельно проделать необходимые преобразования):1 ddΘlmm2(8.14)sin ϑ−Θ + l(l + 1)Θlm = 0,sin ϑ dϑdϑsin2 ϑ lmdΦm= imΦm .dϕ(8.15)Второе уравнение выглядит значительно проще и его общее решение легко находится: Φm (ϕ) = A exp{imϕ}, где A — пока произвольная постоянная. ФункцияΦm (ϕ) должна быть однозначной, т. е.

должно выполняться условиеΦm (ϕ ± 2π) = Φm (ϕ).(8.16)eix = cos x + i sin x,(8.17)Вспоминая формулу Эйлеравидим, что Φm (ϕ) однозначна только в тех случаях, когда квантовое число mпринимает значенияm = 0, ±1, ±2, . . .(8.18)Согласно (8.9), это приводит к квантованию проекции момента импульса Lz : онадолжна быть кратна постоянной Планка . Собственные функции Φm оператораL̂z удобно выбрать в виде1Φm (ϕ) = √ eimϕ .(8.19)2πТогда выполняются соотношения2πΦ∗m (ϕ)Φm (ϕ) dϕ = δmm ,(8.20)0которые означают, что собственные функции (8.19) образуют ортонормированныйнабор функций.Анализ уравнения (8.14) более сложен и мы его не будем проводить. Ограничимся основными выводами.

Оказывается, что ненулевые решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, существуют только82при целых положительных значениях квантового числа l, причем l ≥ |m|. Функции Θlm можно выбрать действительными и такими, что они удовлетворяют условию ортогональностиπΘlm (ϑ)Θl m (ϑ) sin ϑ dϑ = δll ,l = l .(8.21)0Подведем итоги:• Собственные значения квадрата момента импульса и его проекции на оськвантования (ось z) определяются формулами (8.9), где квантовые числа l иm принимают значенияl = 0, 1, 2, . .

. ,m = −l, −l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l.(8.22)Для каждого значения орбитального квантового числа l магнитное квантовоечисло m может иметь 2l + 1 значение.• Общие собственные функции оператора квадрата момента импульса L̂2 и оператора проекции момента импульса L̂z имеют вид (8.11) и удовлетворяютусловиям ортогональности∗Ylm(ϑ, ϕ)Yl m (ϑ, ϕ) dΩ = δll δmm ,(8.23)Ωгде dΩ = sin ϑ dϑ dϕ — элемент телесного угла и интеграл берется по полномутелесному углу.Напомним читателю, что в сферической системе координат элемент объемазаписывается в видеdV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ ≡ r2 dr dΩ.(8.24)Полный телесный угол равенΩ=πdΩ =Ω2πsin ϑ dϑ0dϕ = 4π.(8.25)0Для полноты следовало бы выписать выражения для функций Ylm (ϑ, ϕ), которые вматематике называются сферическими функциями.

Общая формула для нихявляется довольно сложной и в дальнейшем нам не понадобится1 . Приведем явныеПодробное рассмотрение сферических функций интересующийся читатель может найти в учебниках по квантовой механике [2, 4].183выражения только для первых нормированных сферических функций:133Y00 = √ ,cos ϑ, Y1, ±1 = ∓sin ϑ · e± iϕ ,Y10 =4π8π4π5152Y2,±1 = ±(1 − 3 cos ϑ) ,sin ϑ cos ϑ · e± iϕ ,Y20 =16π8π15sin2 ϑ · e± 2iϕ .Y2,±2 = −32π(8.26)Во приложениях квантовой механики важную роль играет следующее свойствосферических функций. Изменим одновременно знаки координат любой точки пространства x, y, z или, как говорят, выполним преобразование инверсии1x → −x,y → −y,z → −z.(8.27)При этом любая функция (например, волновая функция частицы) ψ(x, y, z) заменяется новой функцией:ψ(x, y, z) → ψ (x, y, z) = ψ(−x, −y, −z).(8.28)Если в результате преобразования инверсии волновая функция либо не меняетсявовсе, либо просто меняет знак, то говорят, что волновая функция (и соответствующее квантовое состояние) обладают определенной четностью:ψ(−x, −y, −z) = ψ(x, y, z)— четное состояние,ψ(−x, −y, −z) = − ψ(x, y, z)— нечетное состояние.(8.29)Заметим, что суперпозиция только четных (нечетных) состояний снова являетсячетным (нечетным) состоянием, а суперпозиция, в которую одновременно входятчетные и нечетные состояния, уже не обладает определенной четностью.Сферические функции Ylm (т.

е. собственные функции L̂2 и L̂z ) обладают определенной четностью при инверсии координат. Для сферических координат преобразование инверсии (8.27) выглядит так (эти соотношения легко проверить спомощью Рис. 8.1.):r → r, ϑ → π − ϑ, ϕ → ϕ + π.(8.30)Можно показать, что сферические функции с l = 0, 2, . . . являются четными, асферические функции с l = 1, 3, . . . — нечетными. Итак,• Квантовые состояния частицы с четным l — четны, а квантовые состояния снечетным l — нечетны.Советуем запомнить это правило, так как оно часто бывает полезным в конкретныхзадачах.В заключениесделаем одно замечание, относящееся к формулам (8.9). Величину L = l(l + 1) можно рассматривать как значение модуля вектора момента импульса частицы.

Тогда, при фиксированном L, величины Lz = m есть возможныеПреобразование инверсии соответствует тому, что направления осей системы координат меняются на противоположные.184значения проекции вектора момента импульса на ось квантования. С этой точкизрения в квантовой механике максимальное значение проекции момента импульсаl всегда меньше значения его модуля. Таким образом, в отличие от классическихвекторов, квантовомеханический вектор момента импульса никогда не можетбыть ориентирован строго вдоль пространственной оси. Этот неожиданный вывод согласуется, однако, с соотношением неопределенностей.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,51 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее