Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для упрощения формулы (5.48) и многих других аналогичных фор ) векторного аргумента A = {Ax , Ay , Az }.мул удобно ввести дельта-функцию δ(AПо определению, ) = δ(Ax ) δ(Ay ) δ(Az ) .(5.49)δ(AТогда условие нормировки для собственных функций импульса можно записать вкомпактной форме ψp |ψp = δ(p − p ) .(5.50)Предположение, что нормировочная постоянная C не зависит от импульса, подтверждается конечным результатом [см. (5.47)].155Приведем также собственные функции импульса и условие их нормировки дляслучая одномерного движения частицы (вдоль оси x):1eipx x/,ψpx (x) = 2π ψpx |ψpx = δ(px − px ) .(5.51)При решении конкретных задач наличие непрерывного спектра у физическихвеличин и, как следствие, необходимость работать с волновыми функциями, нормированными на дельта-функцию, нередко приводит к математическим трудностям (особенно для начинающих). Кроме того, многие рассуждения и выводы выглядят более ясными и простыми в случае дискретного спектра.
Мы опишем одинвесьма популярный и полезный прием, позволяющий использовать для импульсачастицы собственные функции, нормированные на единицу.Для простоты начнем со случая одномерного движения, когда волновая функция зависит лишь от одной переменной x. Допустим, что волновая функция частицы отлична от нуля не на всей оси x, а только на конечном отрезке длиныLx , скажем, в промежутке 0 ≤ x ≤ Lx .
Если в конце вычислений мы выполним предельный переход Lx → ∞, то вернемся к случаю неограниченной областидвижения. Собственные функции импульса по-прежнему имеют видψpx (x) = C eipx x/,но теперь эти функции можно нормировать на единицу. Оставляем читателю проделать это самому и выпишем окончательное выражение для нормированных собственных функций:1ψpx (x) = eipx x/.(5.52)LxВсе было бы хорошо, но, к сожалению, если px — произвольное действительное число и px = px , то ψpx и ψpx не ортогональны друг к другу (см. упражнение 5.6.). Этонеприятное свойство собственных функций (5.52) противоречит общим принципамквантовой механики.
Избавиться от него можно следующим образом. Потребуем,чтобы все ψpx (x) были периодическими функциями с периодом Lx , т. е. чтобывыполнялось условиеψpx (0) = ψpx (Lx ).(5.53)Ясно, что теперь px не может быть любым действительным числом. Найдем еговозможные значения. Подставляя в (5.53) явное выражение (5.52) для собственнойфункции, приходим к условию(5.54)eipx Lx / = 1.Это условие выполняется, если px Lx / кратно 2π.
Отсюда следует, чтоpx =2πn ,Lx xnx = 0, ±1, ±2, . . .(5.55)Отметим, что для px получился дискретный спектр значений. Теперь, вычисляяскалярное произведение ψpx |ψpx легко проверить (см. упражнение 5.6.), что ψpx |ψpx = δpx , px ,(5.56)56где введен символ Кронекераδpx , px =px = px ,px = px .1,0,(5.57)Соотношение (5.56) показывает, что собственные функции (5.52) образуют ортонормированный набор, если спектр значений импульса определяется формулой (5.55).Переходу к неограниченной области движения частицы соответствует пределLx → ∞. При этом спектр значений импульса (5.55) становится непрерывным.В собственных функциях (5.52) невозможно выполнить предельный переход, таккак множитель перед экспонентой стремится к нулю1 .
Напомним, однако, что самапо себе волновая функция не является наблюдаемой, поэтому нужно определитьправило для предельного перехода в выражениях, которые встречаются при вычислении наблюдаемых величин. Обычно приходится иметь дело с суммами типа 2π (5.58)f (px ) ≡fn ,Lx xpnxxгде f (px ) — гладкая функция импульса. Покажем, что в пределе Lx → ∞ суммапреобразуется в интеграл по определенному правилу.Изобразим дискретные собственные значения импульса (5.55) точками на осиpx . При большом Lx соседние точки расположены очень близко друг к другу, т. е.спектр импульса “почти непрерывный”.
Возьмем интервал ∆px , который значительно превышает расстояние 2π/Lx между соседними собственными значениямиимпульса. Число точек, попавших в интервал ∆px равно ∆px Lx /2π. Разделимтеперь всю ось px на интервалы ∆px , пронумеруем их индексом i и запишем приближенное значение суммы (5.58) в видеpxf (px ) ≈Lx f (pxi ) ∆px ,2π i(5.59)где pxi — произвольная точка в интервале с номером i. Например, это может бытьсередина интервала.
Пусть Lx растет. Одновременно можно уменьшать ∆px . Приэтом сумма в правой части (5.59) будет стремиться к интегралу от функции f (px )по всем px . Мы получаем правило перехода от дискретного спектра импульса кнепрерывному:∞11 f (px ) −→f (px ) dpxLx p2πxпри Lx → ∞.(5.60)−∞Обобщим все сказанное выше на трехмерный случай2 . Дискретный спектр импульса соответствует предположению, что частица находится в параллелепипедеХотя при Lx → ∞ сама волновая функция всюду стремится к нулю, размер областидвижения стремится к бесконечности, поэтому при любом Lx остается справедливымсоотношение (5.56).2Обоснование приводимых утверждений оставляем читателю в качестве упражнения.157со сторонами Lx , Ly Lz и объемом V = Lx Ly Lz . Нормированные на единицу иортогональные друг к другу собственные функции импульса имеют вид1ψp (r ) = eip · r/,V(5.61)а дискретный спектр проекций импульса дается формуламиpx =2πn ,Lx xpy =2πn ,Ly ypz =2πn,Lz z(5.62)где nx , ny , nz независимо принимают значения 0, ±1, ±2, .
. . Правило перехода к непрерывному спектру формулируется следующим образом.Еслиf (p ) ≡ f (px , py , pz ) — гладкая функция, то при V → ∞ имеем1Vpx , p y , p z1f (p ) −→(2π)3∞∞dpx−∞−∞∞dpydpz f (p ) .(5.63)−∞Обычно для простоты в формулах (5.62) полагают Lx = Ly = Lz = L. Тогда объемобласти движения V = L3 .В дальнейшем, если квантовые состояния свободной частицы будут описываться волновыми функциями (5.61), то они должны рассматриваться как собственныефункции импульса со спектром (5.62).Упражнения5.1. Доказать свойства (5.11) – (5.13) скалярного произведения функций.5.2. Кратность вырождения некоторого собственного значения физической величины равна двум, т. е. ему соответствуют две линейно независимые собственныефункции ϕ1 и ϕ2 , каждая из которых нормирована на единицу.
Эти функции неортогональны друг к другу:c = ϕ∗1 ϕ2 dV = 0.Проверить, что линейные комбинации1c∗ϕ ,ϕ1 +ψ1 = |c| 22(1 + |c|)cψ2 = ϕϕ2 −|c| 12(1 + |c|)1нормированы на единицу и ортогональны друг к другу.5.3. Доказать свойства (5.32) – (5.36) дельта-функции Дирака.Указание: Нужно убедиться, что вычисление интегралов от обобщенных функций, стоящих в левых и правых частях, с произвольной гладкой функцией f (x)дает одинаковые результаты.585.4. Показать, что общее решение первого из уравнений (5.43) имеет видψpx (r ) = eipx x/ Φ(y, z),где Φ(y, z) — произвольная функция.5.5.
Рассмотреть уравнения для собственных функций операторов p̂y и p̂z [поаналогии с предыдущей задачей] и показать, что собственная функция импульсачастицы, соответствующая собственному значению p = {px , py , pz }, дается формулой (5.45).5.6. Доказать что две собственные функции импульса (5.52), соответствующиесобственным значениям px и px = px , ортогональны друг к другу, если спектрзначений импульса имеет вид (5.55).Указание: Скалярное произведение двух собственных функций импульса на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ Lx записывается какLx ψpx |ψpx =ψp∗x (x) ψpx (x) dx.05.7.
Частица совершает одномерное движение вдоль оси x. Так как x̂ = x, тособственные функции оператора координаты определяются из уравненияxψx0 (x) = x0 ψx0 (x),где x0 — собственные значения, образующие, очевидно, непрерывный спектр. Используя (5.36), проверить, что функцииψx0 (x) = δ(x − x0 )(5.64)являются собственными функциями оператора x̂ и удовлетворяют условию нормировки на дельта-функцию (5.41).5.8. Пусть спектр некоторой динамической переменной A включает дискретныйнабор собственных значений {An } и участок непрерывного спектра в интервале отA до A . Тогда естественное обобщение разложения волновой функции Ψ(t) пособственным функциям переменной A имеет вид (аргумент r опущен)Ψ(t) =nAan (t) ψn +aA (t) ψA dA.(5.65)AЗаписать условие нормировки волновой функции Ψ(t) и выражение для среднегозначения At через амплитуды вероятности an (t) и aA (t).
Предполагается, чтодискретные собственные значения An лежат вне интервала A < A < A .6.Примеры стационарных состояний частицыИзложенный выше аппарат квантовой механики является формальной схемой,которую еще нужно научиться применять в конкретных физических задачах. Вэтом параграфе мы обсудим стационарные состояния частицы, используя простыемодели для потенциальной энергии U (r ).596.1.Частица в одномерной потенциальной ямеПредположим, что частица может двигаться только вдоль прямой, которуюмы примем за ось x системы координат. Кроме того, будем считать, что движениечастицы ограничено непроницаемыми стенками, расположенными в точках x = 0и x = l.
Между стенками частица движется свободно. Потенциальная энергиячастицы записывается как0,если 0 < x < l,U (x) =(6.1)∞,если 0 < x, x > l.Говорят, что описанная модель соответствует движению частицы в одномернойпотенциальной яме.Задача состоит в том, чтобы найти спектр значений энергии частицы E и соответствующие собственные функции ψ(x) гамильтониана. Будем отсчитыватьэнергию E от “дна” потенциальной ямы. Из физических соображений ясно, чтоE ≥ 0. Действительно, внутри ямы частица движется свободно, поэтому ее энергия (кинетическая) должна быть положительной величиной.Прежде всего сформулируем физические требования к собственным функциямгамильтониана в рассматриваемой задаче.
Ясно, что любая собственная функция должна быть равна нулю при 0 < x и x > l, так как в эти области частицапопасть не может. На границах области движения собственная функция должнабыть непрерывна, поэтому возможны только такие собственные функции, которыеудовлетворяют граничным условиямψ(0) = ψ(l) = 0.(6.2)Отметим, что в данном случае мы не можем требовать непрерывности первойпроизводной ψ(x) в точках x = 0 и x = l, так как вне бесконечно глубокой потенциальной ямы само стационарное уравнение Шредингера теряет смысл1 .Для точек, лежащих внутри ямы, стационарное уравнение Шредингера (3.17)имеет вид2d2 ψ(x) 2mE+ 2 ψ(x) = 0.(6.3)dx2Введем положительный параметр√2mEk ≡ k(E) =.(6.4)Тогда уравнение (6.3) можно записать в видеd2 ψ(x)+ k 2 ψ(x) = 0.dx2(6.5)Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами должно быть хорошо известно читателю из математики:ψ(x) = A sin kx + B cos kx.(6.6)В случае потенциальной ямы со стенками конечной величины первая производнаяволновой функции должна быть непрерывна на границах ямы.2Для одномерного движения оператор ∇2 сводится ко второй производной по x.160Оно содержит две произвольные постоянные A и B, которые из самого уравненияне определяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
