Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 11
Текст из файла (страница 11)
На ее основе Поль Дирак в 1930 году построил наиболее красивый имощный математический аппарат квантовой механики. В дальнейшем некоторыеосновные элементы этого аппарата нам придется использовать, так как квантовыесостояния не всегда можно задать волновыми функциями1 , в то время как методДирака работает при любом описании квантовых состояний.Вернемся к свойству (5.6) собственных функций любой физической величины.В векторной алгебре равенство нулю скалярного произведения векторов означает,что эти векторы ортогональны друг к другу. Следуя аналогии между пространством обычных векторов и пространством волновых функций, результат (5.6) можно сформулировать так:• Собственные функции, которые относятся к различным собственным значениям физической величины, ортогональны друг к другу.Уравнение (5.1) для собственных функций некоторой физической величины может иметь несколько независимых решений для одного и того же собственногозначения.
В таких случаях говорят, что собственное значение вырождено.• Число линейно независимых собственных функций, соответствующих одномуи тому же собственному значению, называется кратностью вырожденияэтого собственного значения.Если собственное значение вырождено, то соответствующие ему линейно независимые собственные функции, которые находятся при явном решении уравнения (5.1),не обязательно ортогональны друг к другу.
Однако всегда можно составить такиелинейные комбинации этих функций, которые уже будут взаимно ортогональны.Например, квантовое состояние фотона невозможно описать с помощью волновойфункции.146Пусть, например, собственному значению An соответствуют K линейно независимых нормированных (но не обязательно взаимно ортогональных) собственныхфункций ϕnα , α = 1, 2, . . . , K. Покажем, как можно построить из них K взаимноортогональных функций ψnα .
Рассмотрим две функцииψn1 = ϕn1 ,ψn2 = C (ϕn2 − a ψn1 ) ,(5.14)где C и a — пока неизвестные комплексные числа. Потребуем, чтобы выполнялосьравенство ψn1 |ψn2 = 0. Пишемψn1 |ψn2 = Cϕn1 |ϕn2 − a ϕn1 = C ϕn1 |ϕn2 − a = 0 .Отсюда находимa = ϕn1 |ϕn2 .При таком выборе a волновые функции (5.14) ортогональны друг к другу. Постоянную C найдем из условия, чтобы волновая функция ψn2 была нормирована наединицу. Вычисляя ψn2 |ψn2 с учетом свойств (5.11) – (5.13) скалярного произведения, получим1.C=1 − |a|2Теперь идея построения следующей волновой функции ψn3 понятна.
Ищем ее ввидеψn3 = C (ϕn3 − a1 ψn1 − a2 ψn2 ) .Коэффициенты a1 и a2 находятся из условий, чтобы ψn3 была ортогональна ψn1и ψn2 , а постоянная C находится из условия нормировки. Процедура “ортогонализации” продолжается до тех пор, пока не получится набор ортонормированныхфункций {ψnα }.В дальнейшем мы часто будем предполагать, что такая операция проведена длякаждого вырожденного собственного значения и, следовательно, все собственныефункции физической величины ортогональны друг к другу1 .5.4.Разложение волновых функций по собственнымфункциям динамических переменныхРассмотрим еще одно важное свойство собственных функций физических величин.
Пусть {ψn } — совокупность всех собственных функций некоторой физической величины A. Как и раньше, будем предполагать, что собственные значенияэтой величины An образует дискретный спектр. Мы можем также считать, чтофункции {ψn } образуют ортонормированную систему функций:ψm |ψn = δmnортонормированная система функций.(5.15)Здесь δmn — так называемый символ Кронекера: δmn = 1, если m = n, и δmn = 0,если m = n.Отметим, что выбор взаимно ортогональных волновых функций, относящихся к вырожденному собственному значению, неоднозначен (см. упражнение 5.2.).147Как известно, в собственном состоянии ψn физическая величина имеет точноопределенное значение An .
Если же состояние частицы описывается линейнойкомбинацией (суперпозицией) состоянийΨ = a1 ψ1 + a2 ψ2 + . . . + aj ψj + . . . ,(5.16)то многократные измерения физической величины A будут давать различные собственные значения An с некоторыми вероятностями, причем будут появлятьсятолько те значения, которые соответствуют волновым функциям ψn , входящимв выражение (5.16). В произвольном квантовом состоянии Ψ измерения могут давать любые возможные значения физической величины, поэтому в общем случаесуперпозиция (5.16) включает все собственные функции ψn . Обобщая приведенные выше соображения, можно сформулировать один из важнейших постулатовквантовой механики1 :• Произвольная волновая функция частицы Ψ(r, t) может быть представленав виде рядаΨ(r, t) =an (t) ψn (r ),(5.17)nгде ψn — собственные функции любой динамической переменной A, а коэффициенты an (t) — комплексные величины, которые могут зависеть от времени.Формула (5.17) выглядит очень привлекательной.
В самом деле, решив задачу насобственные функции некоторой физической величины, мы можем описывать изменение любого квантового состояния с помощью функций an (t), зависящих лишьот одной переменной, — времени. Эта возможность широко используется. Именно благодаря ей решение многих задач в квантовой механике оказывается гораздоболее простым, чем в классической механике. Дело в том, что довольно часто извсего ряда (5.17) можно оставить лишь несколько “главных” членов и пренебречьостальными, вклад которых мал по тем или иным физическим причинам. Тогдаквантовое состояние будет описываться всего несколькими функциями an (t).
Вдальнейшем будет показано, как из уравнения Шредингера можно вывести дляэтих функций относительно простую систему линейных уравнений.Предположим, что волновая функция представлена в виде ряда (5.17), и выясним физический смысл коэффициентов разложения an (t). Вычислим сначалаинтеграл от квадрата модуля |Ψ|2 , используя (5.17) (аргумент t опускаем для краткости):a∗m an ψm |ψn .Ψ|Ψ =mnСогласно (5.10) и (5.15), из этого равенства следует, что|an (t)|2 = 1.(5.18)nЗдесь мы приводим этот постулат в применении к одной частице, однако он справедлив и для квантовых состояний многочастичных систем.148Теперь вычислим среднее значение физической величины A в состоянии (5.17).Поскольку оператор  (как и оператор любой физической величины) линейный и,кроме того, ψn — его собственные функции, находим, чтоÂΨ =an Âψn =an An ψn .nnИспользуя теперь общее правило для вычисления средних значений, запишемa∗m an An ψm |ψn =An |an |2 .A = Ψ∗ ÂΨ dV =mnМы приходим к формуле (восстанавливая аргумент t)At =An |an (t)|2 .(5.19)nЧтобы осмыслить равенства (5.18) и (5.19), предположим сначала, что все собственные значения An не вырождены, и вспомним некоторые сведения из теориивероятностей.
Пусть многократные измерении физической величины A в состоянии Ψ в момент времени t дают значения An с вероятностями wn (t). Сумма этихвероятностей равна единице1 . Кроме того, арифметическое среднее из большогочисла измерений случайной величины равно сумме всех ее возможных значенийна соответствующие вероятности. Поэтомуwn (t) = 1,At =An wn (t).nnСравнивая эти равенства с (5.18) и (5.19), мы видим, что• Квадрат модуля |an (t)|2 коэффициента an (t) в разложении (5.17) волновойфункции по ортонормированной системе собственных функций физическойвеличины A с невырожденными собственными значениями есть вероятностьтого, что измерение этой физической величины в момент t даст значение An .В квантовой механике коэффициенты an (t) обычно называют амплитудами вероятности для состояния Ψ(t).На амплитуды вероятности an (t) можно взглянуть с другой точки зрения:• Квадрат модуля |an (t)|2 коэффициента an (t) в разложении (5.17) волновойфункции по ортонормированной системе собственных функций физическойвеличины A есть вероятность того, что в момент t частица находится в квантовом состоянии ψn .Отметим, что последнее утверждение справедливо и в случае, когда некоторыесобственные значения вырождены (доказательство оставляем читателю).Сумма всех wn есть вероятность достоверного события — получения какого-нибудьзначения физической величины A.149Для того, чтобы использовать разложение волновой функции (5.17) в конкретных задачах, нужно уметь вычислять амплитуды вероятности an (t) для произвольной волновой функции Ψ.
Покажем, что это не сложнее, чем вычислять интегралы.∗Итак, пусть Ψ известна. Умножим слева обе части равенства (5.17) на ψm(m —произвольный фиксированный индекс) и проинтегрируем по всей области движения частицы. Используя обозначение (5.9) для скалярного произведения функций,запишемan ψm |ψn .ψm |Ψ =nТак как система функций {ψn } ортонормирована, то в правой части останетсятолько один член с m = n. Поэтому мы приходим к правилуam (t) = ψm |Ψ(t) ≡∗ψm(r )Ψ(r, t) dV .(5.20)С его помощью разложение (5.17) волновой функции можно записать в таком виде:Ψ(r, t) =ψn (r ) ψn |Ψ(t).(5.21)n5.5.Собственные функции нескольких динамическихпеременныхРассмотрим следующий вопрос: могут ли две динамические переменные иметьобщие собственные функции? На физическом языке вопрос звучит так: существуют ли такие квантовые состояния, в которых динамические переменные A и Bодновременно имеют точные значения? Покажем, что необходимым условием дляэтого является требование, чтобы операторы Â и B̂ коммутировали друг с другом.Итак, пусть ψnk одновременно является собственной функцией динамическихпеременных A и B, т.
е. выполняются равенстваÂψnk = An ψnk ,(5.22)B̂ψnk = Bk ψnk ,(5.23)Подействуем на обе части (5.22) оператором B̂, на обе части (5.23) — операторомÂ, а затем вычтем первое полученное равенство из второго. В результате получимÂB̂ − B̂  ψnk = 0.Отсюда, правда, еще нельзя сделать вывод, что операторы  и B̂ обязаны коммутировать, так как ψnk не является произвольной волновой функцией. Вспомним.однако, что любую волновую функцию можно представить в виде ряда по собственным функциям [формула (5.17)]. В данном случае в качестве системы функцийвозьмем {ψnk }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
