Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ТогдаÂB̂ − B̂ Â Ψ =ank ÂB̂ − B̂  ψnk = 0,n,k50что и требовалось доказать. Итак, если две физические величины имеют общиесобственные функции, то их операторы коммутируют. Можно доказать и обратноеутверждение1 : если операторы физических величин коммутируют, то эти физические величины имеют общую систему собственных функций. Сформулируем итогнаших рассуждений:• Необходимым и достаточным условием того, что две физические величины Aи B имеют общую систему собственных функций, является равенство нулюкоммутатора [Â, B̂].Если мы рассмотрим несколько физических величин A1 , A2 , .
. ., то нетрудно сообразить, что они имеют общую систему собственных функций, если для любой парыоператоров [Âi , Âj ] = 0. Из этого утверждения можно извлечь ряд полезных и важных физических следствий. Вот одно из них. Мы уже отмечали, что собственныефункции гамильтониана Ĥ описывают стационарные состояния частицы.
Если вконкретной задаче найдется динамическая переменная A, для которой [Â, Ĥ] = 0,то волновые функции стационарных состояний ψnk можно выбрать такими, чтоони одновременно будут являться и собственными функциями Â. Итак, если {Ak }— собственные значения динамической переменной A, то выполняются равенстваĤψnk = En ψnk ,Âψnk = Ak ψnk ,(5.24)где En — уровни энергии.
Может случиться так, что нескольким различным индексам k 1 , k2 , . . . соответствует одно и то же значение энергии. Тогда уровень энергиибудет вырожденным, поскольку ему соответствуют несколько линейно независимых собственных функций ψnk1 , ψnk2 , . . ., т. е. несколько различных квантовыхсостояний. Между прочим, наличие динамических переменных, операторы которых коммутируют с гамильтонианом, является типичной причиной вырожденияуровней энергии квантовых систем.5.6.Непрерывный спектр значений физических величин.Дельта-функция ДиракаДо сих пор всюду предполагалось, что собственные значения образуют дискретный спектр.
Однако для многих физических величин это не так и их собственныезначения (т. е. возможные результаты измерения) непрерывно заполняют некоторый интервал. Собственные функции ψA (r ) такой величины нумеруются непрерывным индексом A, который совпадает с собственным значением физической величины. Переход во всех соотношениях от дискретного спектра к непрерывномуозначает фактически переход от суммирования по дискретному индексу n, который нумеровал собственные значения An , к интегрированию по непрерывной переменной A. В частности, разложение (5.17) произвольной волновой функции пособственным функциям физической величины принимает такой вид:Ψ(r, t) =1aA (t) ψA (r ) dA.Его доказательство несколько сложнее и мы его опустим.(5.25)51Было бы желательно сохранить вероятностный смысл амплитуд aA (t). Посколькутеперь A — непрерывная случайная величина, потребуем, чтобы |aA (t)|2 dA имелосмысл вероятности dwA (t) того, что измерение в момент времени t даст значениефизической величины, лежащее в бесконечно малом интервале от A до A + dA.Тогда для амплитуд aA (t) должны выполняться равенства2|aA (t)| dA = 1,tA =A |aA (t)|2 dA.(5.26)Заметим, что при выводе условия (5.6) ортогональности собственных функций,соответствующих различным значениям физической величины, мы нигде не использовали то, что спектр дискретный.
Поэтому и в случае непрерывного спектравыполняется условиеψA∗ ψA dV = 0, если A = A .(5.27)В случае дискретного спектра мы имели также формулу (5.20) для амплитуд вероятности. Естественное обобщение этой формулы на непрерывный спектр гласитaA (t) = ψA |Ψ(t) ≡ψA∗ (r )Ψ(r, t) dV.(5.28)С точки зрения вероятностной интерпретации измерений в квантовой механикеприведенные выше требования выглядят вполне разумными. Здесь, однако, возникает проблема с нормировкой собственных функций.
Покажем, что теперь мыне можем требовать, чтобы интеграл от |ψA |2 по всей области движения частицыбыл равен единице.Подстановка разложения (5.25) в формулу (5.28) дает∗∗aA ψA dA dV = aAψA ψA dV dA .(5.29)aA = ψAВнутренний интеграл по пространству в последнем выражении есть функция отA и A . Фактически он зависит только от разности A − A, поскольку равен нулю,если A = A [см. (5.27)], и пока неизвестен лишь для A = A . ОбозначимψA∗ ψA dV = δ(A − A).(5.30)Из (5.29) следует, что введенная нами функция δ(A − A ) должна обладать свойством(5.31)aA = aA δ(A − A) dA .Кроме того, согласно (5.27), мы имеем условие δ(A − A) = 0, если A = A . Таккак левая и правая части (5.31) должны совпадать, получается, что δ(A − A)отлична от нуля только при A = A, причем ее интеграл с непрерывной функциейaA “вырезает” значение aA .
Ни одна из функций, которые встречаются в обычноманализе, не обладает такими свойствами.52Поль Дирак предложил рассматривать функцию δ(x − x0 ) как предел (приk → ∞) функций δk (x − x0 ), которые отличны от нуля (например, постоянны)в малой окрестности фиксированной точки x0 , причем с ростом k размер этойокрестности стремится к нулю, а значения δk растут так, чтобы площадь под графиком оставалась равной единице (см. Рис.
5.1.). Тогда, если f (x) является гладкой функцией в окрестности точки x0 , получаем+∞limf (x) δk (x − x0 ) dx = f (x0 ).k→∞−∞Функция δ(x) теперь называетсядельта-функцией Дирака. Она является примером обобщенной функции,которая определяется ее интегралами собычными гладкими функциями. Самизначения обобщенной функции в отдельных точках часто не имеют смысла.Математики долгое время критиковали физиков за то, что они используюттакие “патологические” функции, какдельта-функция.
Однако в 1940-е годыЛ.С. Соболевым и Л. Шварцем былапостроена строгая теория обобщенныхфункций, обогатившая саму математику.Отметим, кстати, что многие важные идеипришли в математику именно из физики.Перечислим основные свойства дельта-функции:Рис. 5.1.+∞f (x) δ(x − x0 ) dx = f (x0 ).(5.32)−∞+∞δ(x) dx = 1,(5.33)−∞(5.34)δ(x) = δ(−x),δ(ax) =1δ(x),|a|(a = const),+∞δ(x − y) δ(y − z) dy = δ(x − z).(5.35)(5.36)−∞Фактически свойство (5.33) следует из (5.32), если взять f (x) ≡ 1.Свойствами дельта-функции обладает не только предел ступенчатых функций,показанных на Рис. 5.1.
Для справок приведем несколько полезных аппроксима-53ций дельта-функции непрерывно дифференцируемыми функциями:ε,+ ε2 )(5.37)α sin(αx),α→∞ παx(5.38)sin2 (αx).α→∞ πα x2(5.39)δ(x) = limε→0π(x2δ(x) = limδ(x) = limВ квантовой механике довольно часто используется также соотношение1δ(x − x0 ) =2π+∞ei(x−x0 ) ω dω,(5.40)−∞которое выводится в теории интегралов Фурье.РавенствоψA |ψA = δ(A − A )(5.41)для собственных функций непрерывного спектра заменяет равенство (5.15) длясобственных функций дискретного спектра. Говорят, что условие (5.41) соответствует нормировке на дельта-функцию, а условие (5.15) — нормировке наединицу.5.7.Спектр и собственные функции импульса частицыВажным примером физической величины, имеющей непрерывный спектр значений, является импульс частицы. В векторном виде уравнение для собственныхфункций импульса записывается какpˆ ψ = p ψили ψ = p ψ.− i∇(5.42)Это уравнение эквивалентно трем уравнениям для декартовых проекций импульса:−i∂ψ= px ψ,∂x−i∂ψ= py ψ,∂y−i∂ψ= pz ψ.∂z(5.43)Решение ψp (r ) существует при любом p = {px , py , pz } и, как легко проверить прямой подстановкой1 , имеет видψp (r ) = ψpx (x) ψpy (y) ψpz (z) = C eipx x/ eipy y/ eipz z/,(5.44)где C — произвольная комплексная постоянная.
В компактной форме записиψp (r ) = C eip · r/.1Смотри также упражнения 5.4. и 5.5.(5.45)54Эта волновая функция описывает квантовое состояние свободной частицы, движущейся с импульсом p . Постоянная C должна определяться из условия нормировки (2.25). Поскольку свободная частица может быть обнаружена в любой точкепространства, интегралы по x, y и z вычисляются от −∞ до +∞.
Однако, какследует из (5.45), |ψp (r )|2 = |C|2 , поэтому интеграл в левой части условия (2.25)расходится и, следовательно, собственные функции импульса невозможно нормировать на единицу. Посмотрим, нельзя ли их нормировать на дельта-функцию.Это было бы вполне естественно, так как спектр импульса непрерывен.Вычислим скалярное произведение двух собственных функций, соответствующих значениям импульса p и p . Предполагая, что C не зависит от p, запишем1∞ψp |ψp =∞dx−∞= |C|2 ∞∞dy−∞dz ψp∗ (r ) ψp (r ) =−∞ei(px −px )x/ dx −∞∞ei(py −py )y/ dy −∞∞ei(pz −pz )/ dz .−∞Все три интеграла одинаковы, поэтому рассмотрим только один их них.
Вспоминаяпредставление (5.40) для дельта-функции и используя ее свойства (5.34) и (5.35),находим, что∞ei(px −px )x/ dx = 2π δ(px − px ).(5.46)−∞Итак, если в формуле (5.45) выбрать C = 1/(2π)3/2 , т. е. определить собственныефункции оператора импульса какψp (r ) =1eip · r/,(2π)3/2(5.47)то скалярное произведение двух таких функций примет вид ψp |ψp = δ(px − px ) δ(py − py ) δ(pz − pz ).(5.48)Это соотношение является естественным обобщением условия (5.41) на случай, когда собственная функция зависит от трех непрерывных индексов, в данном случае— от px , py , pz .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
