Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для определения спектра энергии осциллятора нужнорешить уравнение для собственных функций гамильтониана: Ĥψ = Eψ. Это уравнение, как известно, совпадает со стационарным уравнением Шредингера (3.17),которое в данном случае имеет видmω 2 x2d2 ψ 2m+ 2 E−ψ = 0.(6.31)dx22Нас интересуют только решения, имеющие физический смысл. Так как потенциальная энергия осциллятора стремится к бесконечности при |x| → ∞, то в этомпределе плотность вероятности |ψ(x)|2 обнаружить частицу в точке с координатойx должна стремиться к нулю. Поэтому нужно найти решения уравнения (6.31),которые удовлетворяют граничным условиямψ(x) → 0 при x → ±∞.1(6.32)Разумеется, в пределах применимости самой модели гармонического осциллятора.65Только такие собственные функции имеют физический смысл и описывают стационарные состояния осциллятора. Значения E, при которых существуют решения,удовлетворяющие граничным условиям (6.32), определяют спектр энергии осциллятора.Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора хорошо изучено, поэтому применим стандартный способ его решения.
Для исследования уравнения (6.31) удобно перейти к безразмерной переменной ξ:xξ= ,x0x0 =.mω(6.33)Введем также безразмерный параметр n c помощью соотношенияn=E1− .ω 2Тогда уравнение (6.31) преобразуется кd2 ψ+2 n+dξ 2виду (проверьте!)1ψ − ξ 2 ψ = 0.2(6.34)(6.35)Выясним сначала, как ведет себя ψ, если |ξ| → ∞. При больших значениях ξ 2можно, в главном приближении, отбросить второй член в уравнении (6.35), такчтоd2 ψ≈ ξ 2 ψ,|ξ| → ∞.dξ 2Покажем, что при больших ξ 2 примерно так ведут себя функции exp {ξ 2 /2} иexp {−ξ 2 /2}. Действительно,d d2 ±ξ2 /2222± ξ 2 /2e== ξ 2 e± ξ /2 ± e± ξ /2 ≈ ξ 2 e± ξ /2 .±ξe2dξdξЯсно, что решение exp {ξ 2 /2} нефизическое (плотность вероятности неограниченнорастет при удалении от положения равновесия осциллятора), поэтому его нужноотбросить.Чтобы явно выделить в ψ ее главную зависимость от ξ при |ξ| → ∞, сделаем вуравнении (6.35) подстановкуψ(ξ) = e−ξ2 /2f (ξ) ,(6.36)где f (ξ) — новая неизвестная функция.
Подставляя (6.36) в (6.35), после простыхвычислений производных получаем уравнениеf − 2ξf + 2nf = 0.(6.37)Штрихом обозначено дифференцирование по ξ. В принципе, функция f (ξ) можетстремиться к бесконечности при |ξ| → ∞, но не быстрее, чем экспонента, чтобы ψстремилась к нулю [см. формулу (6.36)].66Уравнение (6.37) было известно и подробно изучено математиками еще в XIXвеке. Стандартный путь исследования этого уравнения таков. Будем искать функцию f (ξ) в виде ряда Тейлора по степеням ξ:f (ξ) =∞ak ξ k .(6.38)k=0Подстановка этого выражения в (6.37) дает∞k(k − 1) ak ξ k−2 − 2k=2∞k ak ξ k + 2nk=0∞ak ξ k = 0.k=0В первой сумме зануляются слагаемые с k = 0 и k = 1, поэтому, не меняя суммы,можно сделать сдвиг индекса суммирования k → k + 2.
Тогда все три суммыобъединяются в одну и мы приходим к уравнению∞(k + 2)(k + 1) ak+2 − 2(k − n) ak ξ k = 0.k=0Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках при каждом k, получаем такназываемое рекуррентное соотношение между коэффициентами ak :ak+2 =2(k − n)a .(k + 2)(k + 1) k(6.39)Из этого соотношения видно, что существуют два независимых решения. Однодается рядом (6.38) с четными степенями k, а другое — таким же рядом, но снечетными k. Коэффициенты a0 и a1 могут быть выбраны произвольно1 .
Если параметр n в формуле (6.39) — произвольное действительное число, то ряд (6.38) содержит бесконечное число членов. С помощью рекуррентного соотношения (6.39)можно оценить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что при больших k = 2m или k = 2m + 1 коэффициенты ak примерно равны 1/m!. Такимобразом, при больших значениях |ξ| формула (6.38) практически совпадает с рядом Тейлора для функции exp(ξ 2 ). Это означает, что оба независимых решенияуравнения (6.37) при |ξ| → ∞ ведут себя как exp(ξ 2 ) и, следовательно, сама волновая функция (6.36) стремится не к нулю, а к бесконечности. Иначе говоря, припроизвольном значении параметра n мы получаем нефизические решения стационарного уравнения Шредингера.Заметим, однако, что если параметр n равен нулю или целому положительному числу, то ряд (6.38) обрывается при k = n и функция f (ξ) в выражении (6.36)представляет собой полином степени n. Тогда волновая функция ψ(ξ) стремитсяк нулю при |ξ| → ∞.
Итак, мы приходим к заключению, что решения уравнения (6.37), обладающие нужным поведением на бесконечности, существуют лишьпри целых неотрицательных значениях параметра n (включая нулевое значение)Уравнение (6.37) — однородное, поэтому его решение определяется с точностью допроизвольного множителя. Роль этого множителя играет коэффициент a0 или коэффициент a1 .167и представляют собой полиномы n-го порядка Hn (ξ), которые в математике называются полиномами Эрмита.
Явный вид полиномов Эрмита можно найтинепосредственно из рекуррентного соотношения (6.39), полагая a0 = 0, a1 = 0 илиa0 = 0, a1 = 0. Выбор значений ненулевых коэффициентов — вопрос удобства.Математики получили общую формулу для этих полиномов:Hn (ξ) = (−1)n eξ2dn −ξ2e ,dξ nn = 0, 1, 2, . . .(6.40)Приведем несколько полиномов низших порядков:H0 (ξ) = 1,H1 (ξ) = 2ξ,H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2,H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ.(6.41)Предлагаем читателю прямой подстановкой убедиться в том, что полиномы Эрмита (6.40) действительно удовлетворяют уравнению (6.37).Можно подвести первые итоги.
Во-первых, вспоминая связь параметра n сэнергией [см. формулу (6.34)], находим энергетический спектр гармоническогоосциллятора:1En = ω n +(6.42),n = 0, 1, 2, . . .2Собственные функции гамильтониана, т. е. координатные части волновых функций стационарных состояний Ψn (x, t) = ψn (x) exp {−iEn t/}, имеют видψn (x) = An e−x2 /2x20Hnxx0,(6.43)где An — постоянная, которую нужно выбрать так, чтобы выполнялось условиенормировки+∞ψn2 (x) dx = 1.(6.44)−∞Постоянную An можно найти, используя выражение (6.43) для собственной функции и свойства полиномов Эрмита, которые помогают вычислить интеграл. Мыприведем лишь окончательный результат:An =1√n2 n! π x01/2.(6.45)Вычисляя скалярное произведение собственных функции (6.43), соответствующихразличным уровням энергии осциллятора, можно убедиться, что они ортогональныдруг к другу:+∞ψn (x)ψn (x) dx = 0,n = n.(6.46)−∞68Таким образом, {ψn (x)} — ортонормированная система функций1 .Выражение (6.42), полученное в результате решения стационарного уравнения Шредингера, подтверждает догадку Планка, что энергия гармоническогоосциллятора может изменяться только на величину, кратную кванту энергии ω.Отметим также, что даже в основном состоянии энергия осциллятора не равнанулю, а составляет ω/2.
Это согласуется с соотношением неопределенностейдля координаты и импульса. В классической механике минимальное значениеэнергии осциллятора равно нулю, что соответствует состоянию покоя в положенииравновесия (px = 0, x = 0). Однако, согласно основным принципам квантовоймеханики, частица не может одновременно иметь точные значения координатыи импульса, поэтому энергия осциллятора ни в одном из возможных квантовыхсостояний не может обратиться в нуль. Говорят, что даже в основном состоянииквантовый осциллятор совершает нулевые колебания.
Интересно, что нулевыеколебания атомов в узлах кристаллической решетки были обнаружены экспериментально при охлаждении кристаллов до температур близких к абсолютномунулю, когда любая система приходит в состояние с минимальной энергией. Наличие нулевых колебаний атомов проявляется в том, что кристаллы рассеиваютсвет даже при T = 0, хотя по классическим представлениям рассеяние должноотсутствовать, поскольку при абсолютном нуле температур должно прекратитьсявсякое движение атомов.Упражнения6.1. Проверить свойство ортогональности (6.12) для волновых функций (6.11)прямым вычислением интеграла.6.2.
Вычислить средние значения p̂x и p̂x2 в стационарном состоянии (6.13).6.3. Частица находится в одномерной потенциальной яме в основном состоянии(n = 1). Вычислить вероятность обнаружения частицы на отрезке l/3 < x < 2l/3.6.4. Показать, что величину энергии основного состояния частицыEmin = 3π 2 2 /2ml2 в симметричной трехмерной яме (l1 = l2 = l3 ≡ l) можно оценить с помощью соотношения неопределенностей для координаты иимпульса.Указание: Неопределенность координаты по порядку величины равна линейномуразмеру ямы l; неопределенность импульса имеет порядок величины ∆p ≈2p , так как у частицы в яме p = 0.6.5.
Найти кратность вырождения уровня энергии E = 3π 2 2 /ml2 в симметричной трехмерной яме. Записать явные выражения для независимых волновыхфункций, которые соответствуют этому уровню энергии.6.6. Преобразовать уравнение Шредингера (6.31) к виду (6.35) и затем, используя подстановку (6.36), вывести уравнение (6.37) для f (ξ).6.7. Используя табличный интеграл+∞√2e−x dx = π,(6.47)−∞Так как уровни энергии осциллятора не вырождены, то ортогональность волновыхфункций (6.43) c различными значениями квантового числа n следует и из общей теории,изложенной в разделе 5.3.169проверить, что волновая функция основного состояния осциллятора ψ0 (x) удовлетворяет условию нормировки (6.44).6.8.
Найти энергетический спектр и собственные функции гамильтониана дляизотропного трехмерного осциллятора, потенциальная энергия которого имеетвидkr2U (x, y, z) =(6.48),r = x2 + y 2 + z 2 .2Указание: В данном случае стационарное уравнение Шредингера допускает разделение переменных, т. е. его решение можно искать в виде произведения ψ(x, y, z) =φ1 (x)φ2 (y)φ3 (z). Показать, что нахождение функций φi сводится к решению уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора.7.Движение частиц через потенциальный барьерКвантование энергии — не единственное удивительное явление, которое отличает поведение микрочастиц от поведения макроскопических тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
