Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вспомним, однако, что функция (6.6) должна удовлетворятьграничным условиям (6.2). Из условия в точке x = 0 следует, что B = 0, а условие вточке x = l дает A sin kl = 0. Так как A = 0 (иначе все функции (6.6) тождественноравны нулю), приходим к выводу, что(6.7)sin kl = 0.Отсюда находим возможные значения параметра k в собственной функции (6.6):k = kn =πn,l(6.8)n = 1, 2, . . .Согласно формуле (6.4), значения энергии частицы или, как часто говорят, уровниэнергии образуют дискретный спектрπ 2 2 2n,2ml2En =n = 1, 2, . . .(6.9)и нумеруются целым квантовым числом n. Отметим, что квантование энергии частицы возникло благодаря граничным условиям для волновой функции.
В дальнейшем мы увидим, что это — общее явление в квантовой механике.Поскольку спектр энергии (6.9) дискретный, собственные функции можно нормировать на единицу. Для краткости функцию, соответствующую энергии En ,обозначим(6.10)ψn (x) = An sin kn x.В принципе, нормировочная постоянная An может зависеть от n, поэтому мы ееснабдили индексом. Вычислим интеграл от |ψn |2 по всей возможной области движения, т. е. на интервале 0 < x < l. Запишемl|ψn (x)|2 dx = |An |2l001sin2 kn x dx = |An |22l(1 − cos 2kn x) dx.0Легко убедиться, что интеграл от косинуса в последнем выражении равен нулюблагодаря условию (6.8).
Поэтомуl|ψn (x)|2 dx =01|An |2 l .2Приравнивая это выражениеединице и выбирая для An действительное значение,находим, что An = 2/l. Таким образом, постоянная An не зависит от номераn. Окончательно, нормированные на единицу собственные функции энергии водномерной потенциальной яме даются формулойψn (x) = πnx 2sin.ll(6.11)61Функции с разными номерами n и m соответствуют разным собственным значениям энергии, поэтому они ортогональны друг к другу (см. раздел 5.3.). Таккак в данном случае собственные функции действительны и движение частицыодномерное, свойство ортогональности (5.6) записывается в видеlψm (x) ψn (x) dx = 0, если m = n.(6.12)0Это свойство можно проверить и прямым вычислением интеграла, используя явноевыражение (6.11) для собственных функций энергии.Напомним читателю, что собственные функции гамильтониана (6.11) не совпадают с полными волновыми функциями стационарных состояний, которые зависятот времени согласно формуле (3.14).
Стационарные состояния частицы в потенциальной яме описываются волновыми функциямиiΨn (x, t) = ψn (x) exp − En t .(6.13)Впрочем, если частица находится в стационарном состоянии с номером n, то длявычисления средних значений физических величин наличие зависящего от временимножителя в (6.13) несущественно, так как он исчезает во всех формулах. В самомделе, если Â — оператор некоторой физической величины, тоlA =Ψ∗n (x, t)ÂΨn (x, t) dx =0lψn (x)Â ψn (x) dx.(6.14)0Таким образом, роль волновой функции играет собственная функция гамильтониана ψn и все средние не зависят от времени. Роль временно́го множителя в волновыхфункциях (6.13) важна в тех случаях, когда частица находится в нестационарномсостоянии, которое описывается, например, суперпозициейΨ(x, t) =nгдеan Ψn (x, t) =an (t)ψn (x),(6.15)nian (t) = an exp − En t .(6.16)Согласно постулату, приведенному в разделе 5.4., волновую функцию любогосостояния частицы в одномерной потенциальной яме можно представить в видеряда (6.15), так как {ψn (x)} образуют ортонормированную систему собственныхфункций динамической переменной, в данном случае — энергии частицы.
Обратимвнимание на то, что при разложении волновой функции в ряд по собственнымфункциям гамильтониана зависимость от времени амплитуд (6.16) очень проста:они периодически изменяются со временем с частотами ωn = En /.62Потенциальная яма, для которой функция U (x) имеет вид (6.1), является “бесконечно глубокой”; при любом значении энергии частица не может оказаться внеямы. Более реалистичная модель — яма конечной глубины:0,если 0 < x < l,U (x) =(6.17)U0 ,если 0 < x, x > l.Анализ стационарного уравнения Шредингера для этого случая приводится, например, в учебнике [2] (§ 25). Мы перечислим основные результаты этого анализа.Если E > U0 , то спектр энергии непрерывный (т.
е. квантование энергии отсутствует). Уровни энергии двукратно вырождены. Каждому значению энергии соответствуют две волновые функции, которые вдали от ямы имеют видix ψ± (x) ∼ exp ±2m(E − U0 ) .(6.18)Волновая функция ψ+ описывает движение частицы в положительном направлении оси x с импульсом p =2m(E − U0 ), а функция ψ− описывает движениечастицы в противоположном направлении.Если E < U0 , то энергия частицы квантуется, а волновые функции стационарных состояний быстро убывают при удалении от стенок ямы. В отличие отбесконечно глубокой потенциальной ямы, число уровней энергии в яме конечнойглубины всегда конечно1 .6.2.Частица в трехмерной потенциальной ямеСледующая модель иллюстрирует ситуацию, когда частица совершает трехмерное движение в ограниченной области пространства.
Предположим, что частицасвободно движется внутри параллелепипеда со сторонами l1 , l2 , l3 . Удобно выбратьсистему координат так, чтобы стороны параллелепипеда были направлены вдольосей x, y, z. Если стенки непроницаемы, то частица находится в “бесконечно глубокой” трехмерной потенциальной яме. Потенциальная энергия U (x, y, z) равна нулюпри 0 < x < l1 , 0 < y < l2 , 0 < z < l3 и равна бесконечности вне параллелепипеда.Найдем собственные функции и собственные значения гамильтониана (т. е.спектр энергии частицы) в “бесконечно глубокой” трехмерной потенциальной яме.Стационарное уравнение Шредингера (3.17) внутри ямы записывается в виде 2∂2m∂2∂2+ 2 + 2 ψ(x, y, z) + 2 E ψ(x, y, z) = 0.(6.19)2∂x∂y∂zЭто уравнение допускает разделение переменных.
Предположим, что собственнаяфункция ψ может быть записана как произведениеψ(x, y, z) = φ1 (x)φ2 (y)φ3 (z).(6.20)Подставив это выражение в (6.19) и затем поделив уравнение на ψ, получаем1 d2 φ2 (y)1 d2 φ3 (z) 2m1 d2 φ1 (x)+++ 2 E = 0.φ1 (x) dx2φ2 (y) dy 2φ3 (z) dz 2(6.21)Можно доказать, что в любой одномерной потенциальной яме имеется, по крайнеймере, один уровень энергии.163Это уравнение будет справедливо при любых x, y, z, только если каждый из первыхтрех членов будет равен некоторой постоянной1 .
Таким образом, (6.21) разбиваетсяна три независимых уравненияd2 φ1 (x) 2m (1)+ 2 E φ1 (x) = 0,dx2d2 φ2 (y) 2m (2)+ 2 E φ2 (y) = 0,dy 2(6.22)d2 φ3 (z) 2m (3)+ 2 E φ3 (z) = 0,dz 2причем постоянные E1 , E2 , E3 связаны с E следующим соотношением:E = E (1) + E (2) + E (3) .(6.23)Так как функция (6.20) должна обращаться в нуль на стенках ямы, то функцииφi должны удовлетворять граничным условиямφi (0) = φi (li ) = 0,(6.24)i = 1, 2, 3.Заметим, что каждое из уравнений (6.22) совпадает с уравнением Шредингера для одномерной потенциальной ямы.
Поэтому можно сразу записать уровниэнергии и соответствующие собственные функции в трехмерном случае. Из (6.9)и (6.23) следует, что уровни энергии имеют вид суммEn1 n2 n3π 2 2=2mn21 n22 n23+ 2 + 2l12l2l3,(6.25)n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, . . . ,а собственные функции (6.20) — произведения функций типа (6.11):ψn1 n2 n3 (x, y, z) =8sinl1 l2 l3πn1 xl1· sinπn2 yl2· sinπn3 zl3.(6.26)Cобственные функции гамильтониана нумеруются тремя индексами (квантовымичислами) n1 , n2 , n3 . Эти же квантовые числа определяют и уровни энергии. Некоторые из уровней могут быть вырождены.
Это случится, если для разных наборовквантовых чисел в формуле (6.25) сумма в скобках будет иметь одинаковое значение.Действительно, первый член в левой части (6.21) зависит только от переменной x,второй — только от y, третий — только от z. Каждая из переменных меняется независимоот остальных, поэтому сумма этих членов постоянна лишь в том случае, когда каждыйчлен — постоянная величина.1646.3.Квантовый гармонический осцилляторВесьма распространенным типом движения в квантовых системах являютсямалые колебания около положения равновесия.
Например, в молекулах и в кристаллах происходят колебания атомов. Простейшей моделью колебаний служитодномерный гармонический осциллятор — частица массы m, совершающаямалые колебания вдоль некоторой оси x. Потенциальная энергия гармоническогоосциллятора имеет видkx2U (x) =,(6.27)2где k — постоянная, которая обычно называется коэффициентом жесткости. Вклассической механике свободные колебания осциллятора описываются хорошо известным законом движенияx(t) = A sin(ωt + α),где A — амплитуда, α — начальная фаза иω=km(6.28)(6.29)— частота колебаний. В классической механике амплитуда и, следовательно, энергия колебаний могут иметь любые значения1 .
Нашей задачей будет найти энергетический спектр квантового гармонического осциллятора. Вид потенциальнойэнергии (6.27) показывает, что частица находится в “потенциальной яме” с минимумом в точке x = 0. Опыт решения задачи о движении в яме с жесткими стенкамиподсказывает, что энергия осциллятора должна квантоваться.Гамильтониан осциллятора можно записать в видеp̂x2p̂x2mω 2 x2Ĥ =+ U (x) =+.2m2m2(6.30)При записи потенциальной энергии мы выразили коэффициент жесткости k черезчастоту с помощью (6.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
