Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ψ можно искать в видеψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Ylm (ϑ, ϕ),(9.8)где Ylm — сферические функции, удовлетворяющие уравнениям (8.12). Очевидно,что тогда последние два уравнения (9.7) автоматически выполняются.Из стационарного уравнения Шредингера [первое из уравнений (9.7)] следуетуравнение для “радиальной” части волновой функции R(r). Используя выражение (9.5) для гамильтониана, после простых преобразований имеем (проверьте!)1 dr2 drdRrdr2−2µl(l + 1)R+[E − U (r)] R = 0 .r22(9.9)89Это уравнение можно записать в более простом виде, если сделать подстановкуR(r) =χ(r),r(9.10)где χ(r) — новая неизвестная функция.
Подставляя (9.10) в (9.9), приходим куравнению2µl(l + 1)d2 χχ = 0.+ 2 (E − U ) −(9.11)dr2r2По форме оно совпадает со стационарным уравнением Шредингера для одномерного движения частицы с “эффективной потенциальной энергией”Uэфф (r) = U (r) +2 l(l + 1),2µ r2(9.12)вид которой зависит от значения квадрата момента импульса частицы. Это обстоятельство часто оказывается полезным для качественного исследования уравнения (9.11). Сделаем еще одно важное замечание. Уровни энергии частицы должныбыть найдены из уравнения (9.9) [или, что то же самое, из уравнения (9.11)], еслиналожить на “радиальную функцию” R(r) дополнительные условия, вытекающиеиз физической постановки задачи1 .
В принципе, допустимые значения энергиимогут зависеть от азимутального квантового числа l, т. е. от значения квадратамомента импульса, однако они не будут зависеть от квантового числа m, определяющего значение проекции момента импульса на ось квантования, так как вуравнение (9.9) это квантовое число не входит. Таким образом, уровни энергиичастицы в любом центральном силовом поле вырождены.
Поскольку каждомузначению l соответствует 2l + 1 различных значений m, кратность вырожденияуровня энергии при фиксированном квадрате момента импульса равна 2l + 1, т. е.ему соответствуют 2l + 1 возможных состояний частицы, отличающихся значениемпроекции момента импульса на ось квантования. Это вырождение уровней энергиисвязано со сферической симметрией центрального поля.Подведем основные итоги нашего обсуждения.• При движении в произвольном центральном силовом поле частица, находясьв стационарном состоянии, имеет определенные значения энергии, квадратамомента импульса и его проекции на ось квантования.• Уровни энергии частицы в любом центральном поле вырождены по магнитному квантовому числу m.
При фиксированном l кратность вырожденияуровня энергии равна 2l + 1.• Угловая часть волновой функции стационарного состояния совпадает с собственной функцией Ylm (ϑ, ϕ) квадрата момента импульса и его проекции наось квантования, а радиальная часть R(r) удовлетворяет уравнению (9.9).В частности, всегда требуется, чтобы решение уравнения (9.9) было конечной и однозначной функцией.190По историческим причинам сложилась традиция обозначать состояния с различными значениями орбитального квантового числа l буквами латинского алфавита.Правила соответствия такие:l= 0s1p2d3f4g5h6i......(9.13)Состояние частицы с l = 0 называют s-состоянием, состояние с l = 1 называетсяp-состоянием и т.
д.9.2.Спектр энергии водородоподобного атомаПрименим теперь результаты исследования стационарных состояний частицыв центральном силовом поле к частному, но важному случаю движения электронав кулоновском поле атомного ядра. Напомним, что атомы с одним электрономназываются водородоподобными атомами. К ним относится непосредственноатом водорода, ядро которого имеет заряд q = e, а также ионы более тяжелых атомов: однократно ионизованный атом гелия He+ (q = 2e), двукратно ионизованныйатом лития Li++ (q = 3e) и т. д.
В общем случае мы должны рассмотреть движение электрона в кулоновском поле точечного положительного заряда q = Ze, гдеZ — порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Потенциальная энергияэлектрона в таком поле имеет вид (в системе единиц СИ)Ze2U (r) = −.4πε0 r(9.14)Для упрощения формул введем обозначениеqe2 =e2.4πε0(9.15)Тогда выражение (9.14) для потенциальной энергии запишется так:U (r) = −Zqe2.r(9.16)Мы уже выяснили, что уровни энергии электрона находятся из уравнения (9.9)для радиальной части волновой функции. В данном случае оно имеет вид1 dr2 drdRrdr22ml(l + 1)R + 2e−2rZq 2E+ erR = 0,(9.17)где, как обычно, me — масса электрона. Нас интересуют не произвольные решения уравнения (9.17), а только те, которые имеют физический смысл.
Во-первых,функция R(r) должна быть однозначна, непрерывна и должна принимать конечные значения при любых значениях аргумента r. Далее, если волновая функция (9.8) описывает связанное состояние электрона в атоме, то R(r) должна стремиться к нулю при r → ∞.Как и предыдущем параграфе, где речь шла о произвольном центральном поле, для исследования уравнения (9.17) удобно сделать подстановку (9.10).
Тогда,91учитывая явное выражение для потенциальной энергии электрона в кулоновскомполе ядра, приходим к уравнениюd2 χZqe22mel(l + 1)E+χ = 0.(9.18)+−dr22rr2Математическое исследование этого уравнения проводится примерно так же, какэто делалось в разделе 6.3. при решении задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Мы опустим детали этого исследования1 и перечислим основные выводы.• Решения R(r) = χ(r)/r, которые описывают связанные состояния электронав атоме, то есть удовлетворяют условию R(r) → 0 при r → ∞, существуюттолько при значениях энергии E = En , которые нумеруются целым числомn ≥ (l + 1) и даются формулойme qe4 1En = −Z.22 n22(9.19)Целое число n называется главным квантовым числом.
Так как азимутальное квантовое число l принимает значения 0, 1, 2, . . ., то возможныезначения главного квантового числа равныn = 1, 2, 3, . . .(9.20)Вспоминая выражение (9.15), видим, что в случае атома водорода (Z = 1)уровни энергии (9.19) точно совпадают с результатом (2.9) теории Бора2 .Все уровни энергии (9.19) отрицательны.
Это легко понять, если вспомнить,что речь идет о связанных состояниях электрона в атоме. В самом деле, использование формулы (9.14) для потенциальной энергии соответствует тому, что нулевойпотенциальной энергией обладает свободный электрон, находящийся на бесконечном расстоянии от ядра.• Однозначные, конечные и непрерывные решения уравнения (9.17) существуют при любом значении E > 0, т. е.
в этом случае спектр энергии непрерывный. Квантовые состояния с E ≥ 0 соответствуют электрону, пролетающемуоколо ядра и снова уходящему на бесконечность.9.3.Стационарные состояния водородоподобного атомаИтак, для энергий стационарных состояний электрона в водородоподобных атомах квантовая механика дает тот же результат, что и теория Бора. Это ужехорошо, поскольку из формулы (9.19) следует предсказание спектра излучения,который прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Однако, в отличие от теории Бора, квантовая механика дает гораздо больше информации остационарных состояниях водородоподобного атома.
Прежде всего напомним, чтоРешение уравнения (9.18) подробно рассмотрено, например, в учебниках [2, 4].Впрочем, очевидно, что результаты для уровней энергии в квантовой механике и втеории Бора совпадают для любого водородоподобного атома.1292координатная часть волновой функции (9.1) стационарного состояния характеризуется тремя квантовыми числами n, l, m и имеет видψnlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ) ,(9.21)где квантовые числа принимают значенияn = 1, 2, . .
. ,l = 0, 1, . . . , n − 1,m = −l, −l + 1, . . . , l .(9.22)Таким образом, в каждом стационарном состоянии имеют точные значения энергия электрона, квадрат момента импульса и его проекция на ось квантования.Функции Ylm (сферические функции), входящие в выражение (9.21), уже были рассмотрены в предыдущем параграфе. Мы не будем приводить громоздкого общеговыражения для радиальных функций Rnl (r). Представление о них дает следующаяформула:Rnl (r) = rl e−r/nrB · {полином от r степени (n − l − 1)},(9.23)где величинаrB =21 4πε0 20, 529 · 10−10 м≡=Zme qe2Z me e2Z(9.24)есть боровский радиус для водородоподобного атома.
Мы уже приводили егозначение для атома водорода (Z = 1) [см. (2.13)].Формула (9.19) говорит о том, что энергия электрона в водородоподобном атомеопределяется только значением главного квантового числа n. Таким образом,• Уровни энергии водородоподобного атома вырождены не только по магнитному квантовому числу m (как в любом центральном силовом поле), но и поорбитальному квантовому числу l.Вырождение уровней энергии по l характерно только для кулоновского поля.Кратность вырождения n-го уровня энергии энергии водородоподобного атомаравна (см.
упражнение 9.3.):n−1(2l + 1) = n2 .(9.25)l=0Не вырожден только основной уровень энергии, т. е. уровень с минимальнойэнергией, которому соответствуют значения квантовых чисел n = 1, l = 0, m = 0.Остановимся кратко на вопросе о нормировке волновых функций водородоподобного атома. Для того, чтобы квадрат модуля |ψnlm |2 имел смысл плотностивероятности, волновая функция (9.21) должна быть нормирована на единицу. Всферических координатах, где элемент объема имеет вид (8.24), условие нормировки гласит:∞22 2|ψnlm | dV = r Rnl (r) dr |Ylm |2 dΩ = 1.(9.26)0Ω93Вспоминая условие (8.23) для сферических функций, получаем условие нормировки для радиальных функций:∞2r2 Rnl(r) dr = 1 .(9.27)0Приведем выражения для нескольких нормированных радиальных функций:r2 e−r/rBe−r/2rBr e−r/2rBR10 =1−,R,R==(9.28)√√ 5/2 ,20213/23/22rBrB2 rB2 6 rBгде rB — боровский радиус (9.24).
Напомним, что R10 (r) соответствует основномусостоянию водородоподобного атома. Поэтому нормированная волновая функцияосновного состояния имеет видψ100 (r, ϑ, ϕ) = R10 (r)Y00 (ϑ, ϕ) = 13πrBe−r/rB .(9.29)Интегрируя плотность вероятности|ψnlm |2 по бесконечно тонкому шаровомуслою δVr радиуса r и толщины dr, получимвероятность dw(r) нахождения электронав этом слое, т. е. вероятность того, чторасстояние от электрона до ядра заключено в интервале от r до r + dr.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
