Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Выясним, например,что означает символ Ŝx Ŝy . Применяя дважды формулы (11.12), запишем(Sx )σσ (Ŝy Φ)(σ ) =(Sx )σσ (Sy )σ σ Φ(σ ).(Ŝx Ŝy Φ)(σ) =σ σ ,σ Отсюда видно, что оператору Ŝx Ŝy соответствует матрица(Sx Sy )σσ =(Sx )σσ (Sy )σ σ ,σ которая, по математическому определению, есть произведение матриц (Sx ) и (Sy ).Используя это правило, находим, что оператору квадрата спинасоответствует матрицаŜ 2 = Ŝx2 + Ŝy2 + Ŝz2(11.15)(S 2 ) = (Sx )2 + (Sy )2 + (Sz )2 ,(11.16)вид которой легко найти, если, конечно, известны выражения для элементов матриц (Sx ), (Sy ) и (Sz ).Как должно быть известно читателю из курса линейной алгебры, произведениематриц в общем случае зависит от порядка сомножителей. В применении к теории спина это означает, что операторы Ŝx , Ŝy и Ŝz могут не коммутировать друг сдругом. Возникает вопрос о том, каковы коммутаторы для операторов проекцийспина.
Это очень важный вопрос, так как ответ на него должен определить —могут ли в одном и том же квантовом состоянии электрона или другой частицывсе три проекции спина иметь определенные значения. Из весьма общих принципов квантовой механики, которые, к сожалению, мы не сможем здесь обсудить,следует, что операторы проекций спина обязаны удовлетворять точно таким жекоммутационным соотношениям, что и проекции орбитального момента импульса L̂x , L̂y , L̂z (см. формулы (4.17) в разделе 4.3.).
Таким образом, при любом sкоммутаторы операторов спина имеют вид[Ŝx , Ŝy ] = iŜz ,[Ŝy , Ŝz ] = iŜx ,[Ŝz , Ŝx ] = iŜy .(11.17)108Между прочим, из них следует, что оператор квадрата спина (11.15) коммутируетс каждым из операторов Ŝx , Ŝy и Ŝz (см. упражнение 11.3.).Формулы (11.17) приводят к некоторым соотношениям между элементами матриц спиновых операторов. В сочетании с другими требованиями к операторамспина, они позволяют найти матрицы (Sx ), (Sy ) и (Sz ). В важном случае s = 1/2это двухрядные матрицы (11.13). Приведем их в явном виде:(Sx ) =20 11 0,(Sy ) =20 −ii 0(Sz ) =2,1 00 −1.(11.18)Эти матрицы (без множителя /2) называются матрицами Паули в честь немецкого физика В. Паули, который внес крупный вклад в теорию спина.Мы уже выяснили, что произведению спиновых операторов соответствует произведение матриц, поэтому матрицы (11.18) должны удовлетворять точно такимже коммутационным соотношениям (11.17), как и спиновые операторы.
Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в этом, непосредственно перемножаяматрицы Паули.Найдем теперь матрицу (11.16), которая соответствует оператору квадрата спина. Вычислим сначала матрицу (Sx )2 :2(Sx ) ≡ (Sx )(Sx ) =420 11 00 11 02=41 00 1.Легко проверить, что точно такой же результат дает вычисление матриц (Sy )2 и(Sz )2 . Итак, все три матрицы в правой части (11.16) пропорциональны единичнойматрице, которая соответствует единичному оператору 1̂, вообще не меняющемуволновую функцию. Мы приходим к заключению, что в случае s = 1/2 операторквадрата спина равен32Ŝ 2 =1̂.(11.19)4Отсюда вытекает одно важное физическое следствие.
Пусть Ψ — произвольныйспинор вида (11.7). Тогда мы имеем равенствоŜ 2 Ψ =32Ψ.4(11.20)Оно означает, что оператор Ŝ 2 имеет всего одно собственное значение, равное32 /4. Иначе говоря, в любом квантовом состоянии частицы c s = 1/2 квадратее спина точно равен 32 /4. Заметим, что эта величина совпадает с 2 s(s + 1), еслиs = 1/2. Этот вывод согласуется с первой из формул (11.1).Проверим теперь, что собственные значения оператора Ŝz равны ±/2. Согласно общим правилам квантовой механики, мы должны рассмотреть уравнениеŜz Ψ = Sz Ψ,Ψ=ϕ1ϕ2,(11.21)109где Sz — искомые собственные значения, а ϕ1 (r ) и ϕ2 (r ) — пока неизвестные компоненты спиноров, играющих роль “собственных функций” оператора Ŝz .
В развернутом виде уравнение (11.21) выглядит как21 00 −1ϕ1ϕ2= Szϕ1ϕ2.После вычисления произведения матриц в левой части мы приходим к двум обычным уравнениямϕ 1 = Sz ϕ 1 ,− ϕ 2 = Sz ϕ 2 .(11.22)22Их анализ довольно прост. Есть только две возможности удовлетворить этим уравнениям. Первая возможность: Sz = /2, ϕ1 — произвольная функция координат,ϕ2 = 0. Вторая возможность: Sz = −/2, ϕ2 — произвольная функция координат,ϕ1 = 0. Мы видим, что оператор Ŝz имеет всего два собственных значения ±/2.Им соответствуют спиноры ψ1/21Ψ↑ =,Sz = ,≡ ψ1/2002(11.23) 00Ψ↓ = ψ≡ ψ−1/2,Sz = − ,12−1/2где ψ±1/2 (r) — произвольные волновые функции частицы в состояниях с ms =±1/2.Мы отмечали в предыдущем разделе, что вместо спиноров можно использоватьволновые функции, зависящие от координат и дискретной спиновой переменной σ.Тогда формулы (11.23) для собственных функций оператора Ŝz запишутся в видеψms (r, σ) = ψms (r) δσ,ms ,ms = ± 1/2,(11.24)где δ — символ Кронекера.В том, что ψ±1/2 (r) — произвольные функции координат, нет ничего странного,так как операторы спина не связаны с движением частицы в пространстве.
В частности, эти функции могут быть собственными функциями других динамическихпеременных, операторы которых коммутируют с операторами спина1 . Например,ψ±1/2 (r) могут быть собственными функциями оператора импульса pˆ. В этом случае они описывают свободное движение частицы и имеют вид1ψ1/2 (r ) = ψ−1/2 (r ) = eip · r/,Vгде p — импульс частицы, V — объем области движения. Таким образом, квантовым состояниям частицы с заданным значением импульса p и заданной проекциейК ним относятся все операторы, которые встречались ранее (проверьте!). Особогорассмотрения требует гамильтониан Ĥ, так как его вид меняется с учетом спина частиц.1110спина на ось z (т.
е. c заданным значением магнитного спинового числа ms ), соответствуют волновые функции1ψp ms (r, σ) = eip · r/ δσ,ms .V(11.25)Произвольную волновую функцию частицы ψ(r, σ, t) можно представить в видесуперпозиции функций (11.25) с некоторыми комплексными амплитудами вероятности ap ms (t) (см. раздел 5.4.).Внимательный читатель может задать законный вопрос: “Хорошо, я согласен,что наличие спина заставляет изменить способ описания квантовых состояний частицы, вводя дополнительную спиновую переменную σ в волновую функцию илииспользуя спиноры. Но как быть с рассмотренными ранее задачами, в которыхникакой спиновой переменной не вводилось, а состояние частицы задавалось одной волновой функцией ψ(r, t), зависящей только от координат и времени? Накаком основании там ничего не говорилось о спине? ”.
Ответим. Дело в том, чтомы сознательно избегали рассматривать такие воздействия на частицу, которыевлияют на ее спин. Поэтому неявно предполагалось, что спиновое состояние частицы оставалось неизменным . Если поведение частицы во внешнем поле независит от ее спинового состояния, то полную волновую функцию можно записатькак произведение ψ(r, σ, t) = ψ(r, t) χ(σ). Координатная часть ψ(r, t) не зависитот переменной σ, а спиновая часть волновой функции χ(σ) определяется тольконачальными условиями.
Например, для электронаχ(σ) = c1/2 δσ,1/2 + c−1/2 δσ,−1/2 ,(11.26)где c1/2 и c1/2 — некоторые постоянные комплексные коэффициенты (амплитудывероятности спиновых состояний с Sz = /2 и Sz = −/2). Нас интересовалалишь координатная волновая функция ψ(r, t), поэтому постоянная спиновая частьволновой функции просто не выписывалась явно. Теперь, если это необходимо, впредыдущих параграфах можно восстановить множитель χ(σ) во всех волновыхфункциях.Для завершения схемы описания квантовых состояний частицы с учетом спинанам осталось рассмотреть вопрос о вычислении средних значений. Кроме динамических переменных, операторы которых действуют на координатные волновыефункции1 , можно построить динамические переменные, операторы которых включают Ŝx , Ŝy и Ŝz .
Простейший пример — сами операторы проекций спина.Сначала напомним правило вычисления средних значений без учета спина. Если Â = A(rˆ, pˆ ) — оператор динамической переменной, составленный только изоператоров координат и импульса, то среднее значение этой динамической переменной в момент времени t дается формулойtA = ψ ∗ (r, t) (Âψ)(r, t) dV,(11.27)где ψ(r, t) — координатная часть волновой функции, Âψ — функция, которая получается из ψ при действии на нее оператора Â. Как мы видели в разделе 11.1.,К ним относятся операторы вида Â = A(rˆ, pˆ ), составленные из операторов координати импульса.1111квантовое состояние частицы со спином можно задать волновой функцией ψ(q, t),зависящей от составной переменной q = (r, σ).
Поэтому естественным обобщениемˆ ) будет выражениеформулы (11.27) на операторы Â = A(rˆ, pˆ, StA = ψ ∗ (q, t) (Âψ)(q, t) dq.(11.28)Напомним, что символ интеграла по q включает интегрирование по координатами суммирование по спиновой переменной. Действие спиновых операторов на волновую функцию сводится к линейным преобразованиям типа (11.12), поэтому вразвернутом виде формула (11.28) выглядит так:tA =ψ ∗ (r, σ, t) (Â)σσ ψ(r, σ , t) dV,(11.29)σ, σ где (Â)σσ — матрица по отношению к спиновым индексам и оператор по отношению к координатной части волновой функции.
В качестве иллюстрации запишемвыражение для средних значений проекций спина:ti = x, y, z.(11.30)ψ ∗ (r, σ, t) (Si )σσ ψ(r, σ , t) dV,Si =σ, σ В случае s = 1/2 входящие сюда матрицы спиновых операторов даются формулами (11.18).Выражения для средних значений принимают более компактный вид, если в качестве волновой функции частицы со спином s = 1/2 использовать спинор (11.7).Легко проверить (оставляем это читателю), что в спинорном представлении формула (11.29) для произвольной динамической переменной эквивалентна формулеt(11.31)A = Ψ† ÂΨ dV.Эта запись бывает очень удобна для математических преобразований средних значений, однако для практических вычислений приходится, конечно, все выражениязаписывать в развернутом виде через компоненты спиноров. Применим, например,формулу (11.31) к проекции оператора спина Ŝx : 0 1ψ1/2 ∗t∗dV =Sx =ψ1/2 ψ−1/2ψ−1/21 02=2∗ψ1/2∗ψ−1/2ψ−1/2ψ1/2dV =2,∗∗ψ1/2ψ−1/2 + ψ−1/2ψ1/2 dV.Вспоминая теперь определение скалярного произведения функций (5.9), получаемSx t =(11.32)ψ1/2 |ψ−1/2 + ψ−1/2 |ψ1/2 = Re ψ1/2 |ψ−1/2 .2На последнем этапе мы учли свойство (5.11) скалярного произведения функций, согласно которому ψ−1/2 |ψ1/2 = ψ1/2 |ψ−1/2 ∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
