Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 28
Текст из файла (страница 28)
11.1. Символами ωi и ωi обозначены частоты излучения при переходах.Из рисунка видно, что, в принциРис. 11.1.пе, вместо одной линии должно наблюдаться пять линий с близкими частотами. Однако оптическими приборами (типа дифракционной решетки) разрешить все пять линий обычно не удается. Реально наблюдается так называемый“дуплет” — две линии с некоторыми “средними” частотами ω и ω . Дело в том, что“полная ширина тонкой структуры” уровня En быстро уменьшается с ростом n (см.упражнение 11.8.), поэтому расщепление спектральных линий в серии Бальмераопределяется в основном тонкой структурой уровня с n = 2.
Две линии с частотами ωi на Рис. 11.1. сливаются в одну линию дуплета, а три линии с частотами122ωi сливаются в другую линию дуплета1 . Ясно, что не только головная линия, нои все другие линии серии Бальмера должны выглядеть как дуплеты с примерноодинаковым расстоянием между линиями в каждом дуплете. Именно это обычнои наблюдается в оптических экспериментах. Отметим, однако, что в последниедесятилетия достигнутая точность оптических измерений, а также применение радиочастотной техники позволили полностью подтвердить выводы теории о тонкойструктуре уровней энергии атома водорода.11.5.Спиновый магнитный момент электронаВ разделе 8.4. отмечалось, что в квантовых состояниях, в которых отличенот нуля орбитальный момент импульса, электрон обладает магнитным моментом,причем операторы этих двух динамических переменных связаны между собой формулой (8.38). Оказалось, что спин электрона также создает магнитный момент,который принято называть собственным или спиновым магнитным моментом.
Грубо говоря, даже покоящийся электрон напоминает маленькую “магнитную стрелку”, способную реагировать на магнитное поле.Рассуждая по аналогии с орбитальным магнитным моментом, кажется естественным предположить, что оператор собственного магнитного момента электроˆ точно такой же формулой (8.38).на µˆs должен выражаться через оператор спина SОднако эксперименты, проведенные в первой трети XX века2 , показали, что коˆ для электрона вдвое больше, чем вэффициент пропорциональности между µˆs и Sформуле (8.38), т. е.e ˆS.µˆs = −(11.68)meПоскольку квадрат спина электрона в любом квантовом состоянии имеет значениеS 2 = 32 /4, а проекция Sz на ось квантования принимает значения Sz = ms , гдеms = ±1/2 — спиновое магнитное число, из формулы (11.68) следует, чтоµ2s = 3µ2B ,µsz = −2µB ms ,(11.69)где µB — магнетон Бора (8.40). Таким образом, проекция собственного магнитного момента электрона на любую ось квантования z может принимать значенияµsz = ±µB .
Отметим, что знаки проекций Sz и µsz в состоянии с заданным msпротивоположны.Собственным магнитным моментом обладает не только электрон, но и другиечастицы, а также атомы и атомные ядра. Связь между значениями спина тяжелых частиц и их собственным магнитным моментом более сложная, чем междуспином и магнитным моментом электрона. Магнитный момент тяжелых частицобычно измеряют в единицах так называемого “ядерного магнетона” µN , которыйопределяется какeµµN =(11.70)≈ B ,2mp1836Таким образом, на Рис.
11.1. три верхних уровня энергии следовало расположитьочень близко друг к другу.2Наиболее известны эксперимент Эйнштейна и де Хааса и эксперимент Штерна и Герлаха, с которыми читатель должен быть знаком из курса общей физики.1123где mp — масса протона. По экспериментальным данным собственный магнитныймомент протона составляет 2, 793 µN и направлен вдоль спина. Удивительно, чтонейтрон, будучи электрически нейтральной частицей, тоже обладает собственныммагнитным моментом, равным 1, 913 µN , причем магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину1 .11.6.Уравнение Шредингера для частицы в магнитном полеЛюбая частица, обладающая электрическим зарядом и (или) собственным магнитным моментом, взаимодействует с магнитным полем. Строго говоря, это взаимодействие можно последовательно описать только в рамках релятивистской квантовой механики2 . Мы кратко остановимся на приближенном уравнении, справедливом в случае, когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света.Фактически этого приближения достаточно для исследования магнитных свойстватомов и вещества, так как скорости электронов всегда значительно меньше, чемскорость света c ≈ 3 · 108 м/с.Итак, пусть частица с зарядом q, массой m и собственным магнитным моментом, который описывается оператором µˆs , находится в магнитном поле.
Для про r ) и другиестоты в дальнейшем будем считать, что индукция магнитного поля B(поля, которые могут, в принципе, действовать на частицу, не зависят от времени.Предполагается, что влияние всех полей, за исключением магнитного поля, можно учесть, задавая потенциальную энергию частицы U (r ).
С магнитным полемдело обстоит сложнее. Из курса общей физики читателю должно быть известно,что магнитное поле не является потенциальным. Иногда для введения магнитногополя в квантовую теорию используют “наводящие соображения” и аналогии, основанные на классической механике, однако все эти соображения требуют знанияклассической механики на уровне, выходящем далеко за рамки законов Ньютона.Поэтому мы просто сформулируем основное уравнение, описывающее движениечастицы в магнитном поле, а потом обсудим некоторые качественные особенностиэтого уравнения.Прежде всего отметим, что движение частицы в магнитном поле должно описываться волновой функцией ψ(r, σ, t), зависящей не только от пространственныхкоординат, но и от спиновой переменной, так как собственный магнитный моментчастицы, связанный со спином, взаимодействует с магнитным полем.Естественно предположить, что в рассматриваемом нерелятивистском пределеволновая функция должна удовлетворять уравнению Шредингераi∂ψ= Ĥψ∂t(11.71)с некоторым гамильтонианом Ĥ, действующим на координаты частицы и на спиновую переменную.
Фактически нам нужно лишь знать, как выглядит гамильтонианВ настоящее время установлено, что протон и нейтрон не являются элементарнымичастицами, как электрон, а состоят из заряженных элементарных частиц — так называемых кварков. Именно поэтому их магнитные свойства столь сильно отличаются отмагнитных свойств электрона.2Для электронов такое описание дает уже упоминавшееся уравнение Дирака.1124частицы в магнитном поле.
Приведем выражение для этого гамильтониана (в системе единиц СИ):21 ˆ r ). r ) + U (r ) − µĤ =ˆs · B((11.72)p − q A(2mПоследнее слагаемое явно связано с магнитным полем: оно содержит индукцию В отсутствие магнитного поля первое слагаемое в гамильтомагнитного поля B. такжениане должно быть оператором кинетической энергии. Поэтому вектор Aдолжен быть как-то связан с магнитным полем.
Этот вектор хорошо известен вэлектродинамике и называется векторным потенциалом. Соотношение между и векторным потенциалом имеет видиндукцией B = rot A≡∇ × A,B(11.73)где символ “rot” означает ротор векторного поля. Представление индукции маг возможно потому, что одно из уравненийнитного поля в виде ротора поля A ≡ ∇ ·B всегдаМаксвелла утверждает, что дивергенция магнитного поля divB1равна нулю . Так как дивергенция ротора равна нулю, то уравнение Максвелла B = 0 выполняется автоматически, если B представлено в виде (11.73).
Следует∇·отметить, что выбор векторного потенциала, соответствующего заданному векто неоднозначен. В частности, к A можно прибавить градиент ∇fру индукции B,произвольной функции координат f (r ). Как видно из формулы (11.73), при этом останется таким же, поскольку ротор градиента равен нулю. Можно доказать,Bоднако, что неоднозначность в выборе векторного потенциала не сказывается назначениях наблюдаемых физических величин.Итак, в магнитном поле изменяется вид оператора кинетической энергии частицы [первое слагаемое в гамильтониане (11.72)]. Этим учитывается влияние магнитного поля на движение частицы в пространстве. Рассмотрим теперь последнееслагаемое, куда входит оператор собственного магнитного момента частицы µˆs .Физический смысл этого слагаемого нетрудно понять, обратившись снова к теории электромагнетизма.
Напомним, что во внешнем магнитном поле магнитный сталимомент µ любого тела стремится повернуться так, чтобы векторы µ и Bпараллельны. На этом явлении, как известно, основан принцип действия электромотора и такого устройства, как компас. Вращающий момент можно вычислить, зависящую от угла междуприписав телу механическую энергию Wмаг = −µ · B,магнитным моментом и полем. Из выражения (11.72) видно, что последнее слагаемое в гамильтониане описывает тот же самый эффект — действие магнитногополя на собственный магнитный момент частицы. Как обычно бывает в квантовоймеханике, динамическая переменная µs заменяется соответствующим оператором.Для электрона гамильтониан (11.72) часто записывается в форме, куда явноˆ Это легко сделать, если вспомнить соотношение (11.68)входит оператор спина S.между операторами спина и собственного магнитного момента.
Учитывая также,что для электрона q = −e, получаем21 ˆe ˆ Ĥ =S · B(r ),(11.74)p + eA(r ) + U (r ) +2memeЭто утверждение эквивалентно такому: поток магнитного поля через любую замкну всегда замкнуты.тую поверхность равен нулю, т. е. линии B1125где me — масса электрона.Стационарные состояния электрона и уровни энергии в магнитном поле находятся в результате решения стационарного уравнения Шредингера Ĥψ = Eψ,где гамильтониан имеет вид (11.74). В важном частном случае однородного поля направленного вдоль некоторой оси z, выражение для гамильтониана можноB,упростить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
