Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Например, оператор полного спина системы определяется какNˆ ˆS=(12.8)Sk .k=1В большинстве приложений квантовой механики главную роль играют системы,ˆk — это рассостоящие из электронов. Для таких систем каждый из операторов Sсмотренный в разделе 11.2. оператор спина одного электрона.Векторная сумма операторов (12.7) и (12.8) есть оператор полного моментаˆсистемы J.
Его можно также записать в видеˆ ˆJ =J k,N(12.9)k=1ˆˆk + Sˆk — оператор полного момента k-ой частицы [ср. с формугде J k = Lлой (11.33)].Обратимся теперь к гамильтониану системы частиц Ĥ, который является оператором энергии. Если не учитывать влияние магнитного поля на движение частиц, то гамильтониан дается формулойN p̂ 2k+ U (rk ) + V (r1 , r2 , . . . , rN ) + Ŵ .Ĥ =2mkk=1(12.10)Первый член в этом выражении — сумма гамильтонианов отдельных частиц, каждый из которых включает оператор кинетической энергии частицы и операторU (rk ) ее взаимодействия с внешним потенциальным полем1 . V — оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами системы.
Например, еслирассматривается система электронов, то V — оператор электрического (кулоновского) взаимодействия:V (r1 , r2 , . . . , rN ) =1e2,2 k=k 4π ε0 rkk(12.11)где rkk = | rk − rk | — расстояние между электронами с номерами k и k . Наконец,оператор Ŵ в формуле (12.10) описывает спин-орбитальное взаимодействие и взаимодействие между собственными магнитными моментами частиц. Как отмечалосьв разделе 11.4., все взаимодействия, связанные со спином, имеют релятивистскоепроисхождение.
В большинстве физически интересных случаев они весьма слабы по сравнению с кулоновским взаимодействием и поэтому могут учитыватьсяметодами теории возмущений.Если гамильтониан (12.10) описывает атом с несколькими электронами, то U (r ) включает в себя потенциальную энергию электрона в кулоновском поле ядра.113012.2.Квантовые системы тождественных частицДве частицы называются тождественными, если все их физические свойствав точности совпадают. Например, любые два электрона или два протона тождественны.В классической механике существование тождественных частиц не приводит ккаким-либо интересным физическим следствиям.
Более того, можно даже считать,что тождественные частицы всегда различимы. В качестве иллюстрации рассмотрим движение двух электронов с точки зрения классической механики (Рис. 12.1.).Пусть в начальный момент времени электроны находились в точках A1 и A2 , а через некоторое время t оказались в точках B1 и B2 . Припишем номер 1 электрону,который первоначально находился в точке A1 , а номер 2 — электрону, которыйпервоначально находился в точке A2 .Хотя электроны тождественны, мы можем, в принципе, определить, что в точкуB1 попал именно первый электрон, а в точку B2 — второй электрон, если проследимза их траекториями.
Таким образом, электроны можно считать различимыми.Как известно, в классической механике динамическое состояние системы,состоящей из N частиц, определяется вкаждый момент времени совокупностьюрадиусов-векторов всех частиц r1 , . . . , rNи их импульсов p1 , . . . , pN (или скоростей).Рис. 12.1.Предположим, что две или несколькотождественныхчастицпереставленыместами, например, произведена замена (rk , pk ) ↔ (rk , pk ). Поставим такойвопрос: следует ли считать, что, поменяв частицы местами, мы получили новоесостояние системы? С одной стороны ясно, что все физические свойства системыпри перестановке тождественных частиц не должны измениться.
Но, с другойстороны, частицы можно отличить друг от друга по траекториям их движения(как в рассмотренном выше примере), поэтому после перестановки частиц в точкепространства с радиусом-вектором rk находится не прежняя, а другая частица,хотя и обладающая абсолютно такими же свойствами. В рамках самой классической механики нельзя однозначно решить вопрос о том, приводит ли перестановкатождественных частиц к новому состоянию системы или не приводит.В приведенных выше рассуждениях существенно использовался тот факт, что,согласно законам классической механики, любая частица движется по определенной траектории. В квантовой механике понятие траектории частиц, строго говоря, теряет смысл, поскольку всегда есть квантовые неопределенности координат ипроекций импульса.
Поэтому в примере с двумя электронами, если их волновыефункции “перекрываются”, невозможно определить, какой именно электрон будетзарегистрирован в точке B1 или в точке B2 . На основе многих подобных соображений в квантовой механике постулируется, что тождественные частицы неразличимы. Иначе говоря, при перестановке тождественных частиц квантовоесостояние системы не изменяется.Очевидно, что операторы динамических переменных и гамильтониан не долж-131ны меняться при перестановке тождественных частиц1 .
В противном случае изменились бы их средние значения, которые непосредственно можно измерить вэксперименте. Покажем, однако, что волновая функция системы при перестановке тождественных частиц может измениться. В этом нет парадокса, так как самапо себе волновая функция не является наблюдаемой величиной.Для простоты рассмотрим опять систему, состоящую из двух тождественныхчастиц, которая описывается волновой функцией Ψ(q1 , q2 , t), где q1 = (r1 , σ1 ) иq2 = (r2 , σ2 ) — координатные и спиновые переменные частиц. Как известно, величиной, которая может быть непосредственно измерена, является не сама волноваяфункция, а ее квадрат модуля. Так как частицы тождественны, то|Ψ(q1 , q2 , t)|2 = |Ψ(q2 , q1 , t)|2 .(12.12)Заметим, что это равенство выполняется, еслиΨ(q2 , q1 , t) = λ Ψ(q1 , q2 , t),(12.13)где λ — любое комплексное число с |λ| = 1.
Переставляя еще раз частицы, мывозвращаемся к волновой функции Ψ(q1 , q2 , t) и, согласно (12.13), находим, чтоλ2 = 1, т. е. λ = 1 или λ = −1. Итак, при перестановке тождественных частицволновая функция либо не изменяется, либо меняет знак.Какая из двух указанных возможностей реализуется в действительности, зависит от свойств рассматриваемых тождественных частиц. Частицы, при перестановке которых волновая функция системы не изменяется, называются бозонами,а частицы, при перестановке которых волновая функция системы меняет знак, называются фермионами2 . Эксперимент показывает, что частицы с целым спином(включая спин, равный нулю) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином являются фермионами. Таким образом, электроны, протоны и нейтроны, изкоторых состоят атомы вещества, относятся к фермионам.Для исследования систем, содержащих произвольное число N тождественныхчастиц, удобно ввести так называемые операторы перестановок.
Оператор перестановки Pkk частиц с номерами k и k действует на волновую функцию поправилуPkk Ψ(q1 , . . . , qk , . . . , qk , . . . , qN , t) = Ψ(q1 , . . . , qk , . . . , qk , . . . , qN , t),(12.14)т. е. он меняет местами переменные частиц с номерами k и k . Если рассматриваемая система состоит из N тождественных бозонов, то волновая функция неизменяется при перестановке любой пары частиц. Иначе говоря,• Квантовые состояния систем, состоящих из тождественных бозонов (частицс целым спином), описываются волновыми функциями, симметричными относительно перестановки любой пары частиц.В случае систем из N тождественных фермионов применение любого оператораперестановки Pkk меняет знак волновой функции. ПоэтомуВ качестве примера укажем на оператор кулоновского взаимодействия (12.11), который не меняется, если поменять местами координаты любых двух частиц.2Смысл терминов “бозоны” и “фермионы” мы объясним немного позже.1132• Квантовые состояния систем, состоящих из тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином), описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановки любой пары частиц.Приведенные выше утверждения являются постулатами квантовой механики.
Вдальнейшем мы увидим, что различия в симметрии волновых функций бозонови фермионов кардинально влияют на физические свойства квантовых систем. Внастоящее время все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают справедливость постулатов симметризации волновых функций.12.3.Статистика Бозе-ЭйнштейнаПростейшей моделью квантовой системы является модель, в которой взаимодействие между частицами является слабым, так что в нулевом приближении имможно вообще пренебречь. Часто такую модель называют квантовым газом.Рассмотрим квантовый газ, состоящий из N невзаимодействующих бозонов.Гамильтониан системы можно записать в виде суммы одночастичных гамильтониановNĤ =Ĥk .(12.15)k=1Если, например, магнитное поле отсутствует и каждая из частиц независимо движется в некотором потенциальном поле U (r ), тоĤk =p̂2k2 2+ U (rk ) ≡ −∇ + U (rk ),2m2m k(12.16)где ∇2k — оператор Лапласа, действующий на координаты k-ой частицы. В общем случае Ĥk может содержать операторы, которые действуют и на спиновуюпеременную.Легко проверить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что для системы, состоящей из невзаимодействующих частиц, переменные в уравнении Шредингера (12.4) разделяются, т.
е. волновая функция всей системы есть произведение одночастичных волновых функций:Ψ(q1 , . . . , qN , t) = Ψl1 (q1 , t)Ψl2 (q2 , t) · · · ΨlN (qN , t) ≡N.k=1Ψlk (qk , t),(12.17)где индексы lk характеризуют одночастичные состояния. Каждая из волновыхфункций Ψlk удовлетворяет одному и тому же одночастичному уравнению Шредингера∂Ψlki(12.18)= Ĥk Ψlk .∂tСогласно постулату, введенному в предыдущем разделе, волновая функция системы тождественных бозонов должна быть симметрична относительно перестановок частиц. Волновая функция (12.17) не обладает этим свойством, если одночастичные функции Ψlk различны. Можно, однако, построить такую суперпозицию133функций (12.17), которая будет симметричной относительно перестановок тождественных частиц1 .Обозначим символом P оператор произвольной перестановки переменных {qk }в волновой функции системы2 .
Нетрудно проверить, что полное число всех такихперестановок равно N ! (см. упражнение 12.1.). Построим теперь функциюΨ(q1 , . . . , qN , t) = APP{Ψl1 (q1 , t)Ψl2 (q2 , t) · · · ΨlN (qN , t)},(12.19)где A — некоторая постоянная и суммирование ведется по всем возможным перестановкам частиц. Заметим, что переставлять можно не аргументы qk , и индексыlk одночастичных волновых функций — результат будет тем же. Ясно, что функция (12.19) будет теперь симметрична относительно перестановок частиц и можетпретендовать на звание волновой функции системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
