Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Зачем нужна постоянная A?Дело в том, что если даже одночастичные волновые функции нормированы наединицу, то Ψ не удовлетворяет условию нормировки. Постоянная A определяетсяиз этого условия [см. формулу (12.2)].Итак, произвольное квантовое состояние системы, состоящей из N невзаимодействующих бозонов, описывается симметризованными произведениями одночастичных волновых функций вида (12.19). А как строить волновые функции справильной симметрией для системы, в которой частицы взаимодействуют друг сдругом и этим взаимодействием нельзя пренебречь? Покажем, что и в этом случаесимметризованные произведения одночастичных волновых функций оказываютсяочень полезными.Пусть {ϕl (q)} — некоторый набор функций ϕl (q) ≡ ϕl (r, σ), удовлетворяющихусловиямϕl |ϕl ≡ϕ∗l (q)ϕl (q) dq = δll .(12.20)Кроме того, предположим, что этот набор функций является полным в том смысле,что любую одночастичную волновую функцию Ψ(q, t) можно представить в видеряда (суперпозиции)Ψ(q, t) =al (t) ϕl (q),(12.21)lгде al (t) — зависящие от времени комплексные коэффициенты.
В дальнейшем будем называть функции ϕl (q) базисными одночастичными волновыми функциями, а квантовые состояния, которым они соответствуют, — базисными одночастичными состояниями3 . Для базисных одночастичных состояний мы будеминогда использовать общепринятое обозначение | l.Напомним, что благодаря линейности уравнения Шредингера, любая суперпозицияего решений тоже будет решением этого уравнения.2Любую перестановку переменных в волновой функции можно осуществить последовательным применением нескольких операторов Pkk с некоторыми индексами.3Выбор функций ϕl (q) обычно диктуется физическими соображениями.
Например,для описания квантовых газов часто используются функции (11.25). В этом случае индекс l включает импульс частицы p и квантовое число ms , определяющее проекцию спинана ось квантования. Для системы электронов в атоме разумнее взять в качестве базисныходночастичных волновых функций собственные функции момента импульса, и т.д.1134Идея, которую мы теперь изложим, состоит в том, чтобы с помощью одночастичных функций {ϕl (q)} построить набор базисных волновых функций для системы, состоящей из N тождественных бозонов. В качестве такого набора естественновзять симметризованные произведения одночастичных волновых функций1(s)Φl1 ,..., l (q1 , .
. . , qN ) = Al1 ,..., lNNPP{ϕl1 (q1 ) ϕl2 (q2 ) · · · ϕlN (qN )},(12.22)где {l1 , . . . , lN } — произвольный набор индексов одночастичных состояний, Al1 ,..., lN— нормировочная постоянная. Как и в формуле (12.19), переставлять можно либоаргументы одночастичных функций, либо их индексы.Нужно проверить, что набор функций (12.22) удовлетворяет требованиям кбазисному набору волновых функций системы из N тождественных бозонов. Вопервых, очевидно, что функции Φ(s) симметричны относительно перестановок ча(s)стиц, как и должно быть. Это хорошо. Посмотрим, являются ли функции Φl1 ,..., lN(s)и Φl ,..., l независимыми. Если ни один из индексов li не совпадает ни с одним1Nиз индексов lj , то, очевидно, что эти функции независимы, так как они построены по правилу (12.22) из различных одночастичных функций.
Если же в наборе}, то{l1 , . . . , lN } некоторые индексы совпадают с индексами из набора {l1 , . . . , lNдело обстоит сложнее. В качестве примера рассмотрим систему из N = 3 тожде(s)(s)ственных бозонов и построим две функции вида (12.22): Φl1 l1 l2 и Φl2 l1 l1 . Так каккаждая из функций симметрична относительно перестановки индексов, то фак(s)(s)тически эти функции совпадают! Заметим, однако, что функции Φl1 l2 l2 и Φl2 l1 l1являются независимыми.Таким образом, набор функций (12.22) сам по себе нельзя взять в качестве базисного, так как он содержит много совпадающих функций, которые формальноотличаются лишь перестановкой индексов одночастичных квантовых состояний.Как отобрать действительно различные функции? Поступим следующим образом.
Рассмотрим некоторый фиксированный набор индексов {l1 , . . . , lN }, средикоторых могут быть и одинаковые индексы. Как мы уже видели, порядок расположения индексов не важен, поскольку базисные волновые функции все равносимметричны относительно их перестановок. Поэтому каждый конкретный набориндексов {l1 , . .
. , lN } естественно характеризовать числами nl , где l пробегает всевозможные значения, а nl показывает, сколько раз l встречается в данном наборе. Каждое из чисел nl может принимать значения от 0 до N , но они должныудовлетворять очевидному условиюnl = N,(12.23)все lтак как число частиц в системе равно N . Будем характеризовать симметризованные базисные волновые функции системы не набором индексов {l1 , . . . , lN }, а(s)набором чисел {nl }. Обозначим эти функции Φ{n } (q1 , . .
. , qN ). Если наборы {nl }(s)(s)lllи {nl } различны, то функции Φ{n } и Φ{n } независимы. Кроме того, для них выВерхний индекс (s) волновой функции — первая буква английского слова “symmetric”— “симметричный”.1135полняется условие ортогональности (проверьте!)(s)(s)(s)∗ (s)Φ{n } |Φ{n } ≡ Φ{n } Φ{n } dq1 · · · dqN = 0,llllесли {nl } = {nl }.(12.24)Имеет смысл остановиться на связи между функциями (12.22) и функциями(s)Как уже отмечалось, в наборе {Φl1 ,..., l } много фактически совпадающихNфункций, которые формально отличаются лишь расположением индексов.
Если(s)из них выбрать действительно различные функции, то мы получим набор {Φ{n } }.(s)Φ{n } .lКаждую из функций(s)(s)Φ{n }lможно записать в видеΦ{n } (q1 , . . . , qN ) = A{nl }lPP{ϕl1 (q1 ) ϕl2 (q2 ) · · · ϕlN (qN )},l(12.25)где A{n } — нормировочная постоянная. Как выбрать индексы l1 , .
. . , lN в правойlчасти, если задан набор чисел {nl } ? Для ответа на этот вопрос расположим значения индекса l в некотором порядке. Тогда набор {nl } есть последовательностьчисел n1 , n2 , . . . Среди индексов li в правой части n1 раз должен встречаться индексl = 1, n2 раз — индекс l = 2 и т. д.1Проиллюстрируем это правило на конкретном примере. Чтобы избежать громоздких формул, возьмем случай N = 3. Предположим также, что спин частицравен нулю, и выберем в качестве одночастичных состояний | l состояния |p с(s)различными значениями импульса частицы p.
Тогда каждая из функций Φ{n } хаpрактеризуется набором чисел {np }, причем сумма np по всем возможным p равна3. Иначе говоря, каждое из базисных состояний системы характеризуется тем, кактри частицы “распределены” по одночастичным состояниям с различными значениями импульса. Например, возможно такое базисное состояние системы, когдаnp1 = 2, np2 = 1, и np = 0 для всех импульсов, не равных p1 и p2 . Соответствующаябазисная волновая функция имеет видΦ(s) (r1 , r2 , r3 ) = APP{ϕp1 (r1 ) ϕp1 (r2 ) ϕp2 (r3 )},(12.26)где1ϕp (r) = √ ei p·r/(12.27)V— нормированная на единицу волновая функция свободной бесспиновой частицыв объеме V .
В правой части (12.26) стоит сумма 3! = 6 функций, в которых аргументы rk расставлены всеми возможными способами2 . Ясно, что три частицыможно распределить по одночастичным состояниям |p бесконечным числом спо(s)собов, поэтому базисный набор волновых функций системы {Φ{n } } невозможноpвыписать полностью.Так как число частиц N конечно, а возможных одночастичных состояний |l, какправило, бесконечно много, то последовательность n1 , n2 , . .
. содержит конечное числоненулевых членов и бесконечно много нулей.2Рекомендуем читателю выписать все эти функции в явном виде и убедиться, чтонекоторые из них совпадают друг с другом из-за того, что индекс p1 входит дважды.1136Вернемся к выражению (12.25) для базисных волновых функций системы бозонов. В него входит постоянная A{n } , которую нужно подобрать так, чтобы волlновая функция была нормирована на единицу. Идея проста: нужно вычислить(s)(s)скалярное произведение Φ{n } | Φ{n } и потребовать, чтобы оно было равно едиllнице.
Вычисление сводится к исследованию большого количества многомерныхинтегралов от произведений одночастичных функций, каждый из которых, однако, оказывается равен нулю или единице в силу условия (12.20). Мы не будемприводить детали всей этой процедуры и сразу выпишем результат для нормировочной постоянной:1A{nl } = (12.28)1/2 ..nl !N!все lПри записи этого выражения предполагается, что 0! = 1. Появление множителяN ! связано с суммированием по перестановкам P частиц в симметризованных волновых функциях, в появление факториалов nl ! связано с тем обстоятельством, чтов случае nl ≥ 1 все перестановки одночастичных волновых функций с одинаковым(s)(s)индексом l дают одинаковый вклад в скалярное произведение Φ{n } | Φ{n } .llПодведем итоги.
Мы выяснили, что в качестве базисных волновых функцийсистемы, состоящей из N тождественных бозонов, можно выбрать симметризованные произведения (12.25) любых функций ϕl (q), которые образуют полную и ортонормированную систему одночастичных волновых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
