Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Легко проверить, например, что соотношение (11.73) выполняется, если проекции векторного потенциала выбрать такими:Ax = −By,Ay = Az = 0,(11.75)где B = const — величина индукции магнитного поля. Тогда выражение (11.74)принимает видĤ =p̂y2p̂ 2eB1(p̂x − eBy)2 ++ z + U (r ) +Ŝ .2me2me 2meme z(11.76)Этот гамильтониан используется, например, при изучении расщепления энергетических уровней и спектральных линий водорода в магнитном поле, когда вкачестве функции U берется потенциальная энергия электрона в кулоновскомполе ядра. Кроме того, нужно учесть и релятивистские эффекты, которыеописываются слагаемыми W (r) и Ŵсп-орб в формуле (11.48). Другое важноеприменение гамильтониана (11.76) — описание движения электронов проводимости кристалла в присутствии внешнего магнитного поля. В этом случае U —потенциальная энергия электрона в эффективном периодическом поле, котороесоздается атомами, расположенными в узлах кристаллической решетки.Упражнения11.1.
Используя соотношения (11.12), проверить, что операторы проекций спина— линейные операторы.11.2. Проверить равенства (11.14).Указание: Выражение Ŝi Ψ является спинором, который получается из спинораΨ при действии на него оператора Ŝi . Поэтому компоненты Ŝi Ψ совпадают созначениями функции (Ŝi ψ)(σ).11.3. С помощью формул (11.17) доказать, что оператор квадрата спина (11.15)коммутирует с операторами проекций Ŝx , Ŝy , Ŝz .Указание: Удобно воспользоваться тождествами (4.13) и (4.14).
Например,[Ŝx , Ŝ 2 ] = [Ŝx , Ŝy2 ] + [Ŝx , Ŝz2 ] = [Ŝx , Ŝy ] Ŝy + Ŝy [Ŝx , Ŝy ] + [Ŝx , Ŝz ] Ŝz + Ŝz [Ŝx , Ŝz ].Теперь коммутаторы можно выразить из равенств (11.17).11.4. Непосредственно перемножая матрицы (11.18), проверить, что в случаеs = 1/2 справедливы следующие соотношения между операторами проекций спина:Ŝx Ŝy =iŜ ,2 zŜx Ŝy + Ŝy Ŝx = 0,Ŝy Ŝz =iŜ ,2 xŜz Ŝx =Ŝy Ŝz + Ŝz Ŝy = 0,iŜ ,2 yŜz Ŝx + Ŝx Ŝz = 0.(11.77)(11.78)126Таким образом, в случае s = 1/2 операторы проекций спина “антикоммутируют”друг с другом.11.5.
Используя формулу (11.31) для средних значений, показать, что в квантовом состоянии частицы с s = 1/2, которое описывается спинором 1Ψ = ψ(r ),1среднее значение Sx равно /2.Указание: При вычислении среднего учесть условие нормировки (11.9).11.6. Доказать коммутационные соотношения (11.56), где гамильтониан имеет вид (11.48), а оператор спин-орбитального взаимодействия дается выражением (11.55).Указание: Учесть, что операторы Jˆ2 , Jˆz действуют на угловые переменные волновой функции электрона ϑ и ϕ и спиновую переменную σ, а оператор L̂2 действуеттолько на угловые переменные.11.7. Подставить волновую функцию (11.57) в стационарное уравнение Шредингера Ĥψ = Eψ с гамильтонианом (11.48) и проверить, что для радиальнойчасти волновой функции получается уравнение2 1 d2 l(l + 1) Zqe22 d−−r++ W (r) + Wсп-орб (r) R(r) = E R(r),2me r2 drdr2me r2r(11.79)где функция Wсп-орб (r) имеет вид (11.61).Указание: Учесть, что волновая функция (11.57) удовлетворяет уравнениям (11.58).11.8.
С помощью выражения (11.65) для уровней энергии водородоподобногоатома, показать, что “полная ширина тонкой структуры” Dn при данном n равнаDn =Z 2 α2 (n − 1) (0)|En |.n2(11.80)Указание: Так как при данном n орбитальное квантовое число принимает значения l = 0, 1, .
. . , n − 1, то, как легко проверить, максимальное и минимальноезначения квантового числа j в тонкой структуре равны jmax = n − 1/2, jmin = 1/2.Вычислить D3 и D2 для уровней атома водорода, показанных на Рис. 11.1.(0)(0)Сравнить эти величины с разностью невозмущенных уровней энергии E3 − E2 .Вычислить длины волн дуплета при расщеплении головной линии серии Бальмера.Считать, что наблюдаемые частоты в дуплете Ω и Ω есть средние значения частотωi и ωi (см.
Рис. 11.1.).12.Квантовая механика системы частицДо сих пор мы рассматривали только те ситуации, в которых одна частицадвижется в заданном поле. Однако подавляющее большинство реальных объектовсодержит несколько (а часто — довольно много) микрочастиц, взаимодействующихне только с внешними полями, но и друг с другом.
Типичные примеры — атомы (за127исключением простейшего атома водорода), свойства которых зависят от кулоновского взаимодействия между электронами1 , молекулы, кристаллы. Число частицN , образующих систему, может составлять несколько десятков (для атомов и молекул), а для кристаллов N имеет порядок числа Авогадро NA ≈ 6, 02·1023 моль−1 .Таким образом, требуется обобщить законы квантовой механики на системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц. К счастью, главные черты теориифактически остаются теми же, что и в случае одной частицы, хотя ее практическоеприменение к реальным физическим системам может оказаться весьма сложным.Как обычно бывает в физике, помогают удачно выбранные упрощенные модели иразумные приближения.12.1.Волновая функция и динамические переменныесистемы частицРассмотрим произвольную систему, состоящую из N частиц. Будем нумероватьчастицы индексом k, принимающим значения 1, 2, .
. . , N . Как и раньше, для каждой частицы введем набор переменных qk = (rk , σk ) ≡ (xk , yk , zk , σk ), включающийкоординаты и спиновую переменную. Спиновая переменная принимает 2sk +1 значение, где sk — спиновое квантовое число k-ой частицы2 . Для упрощения формулвесь набор переменных {qk } будет часто обозначаться одной буквой q.Действуя по аналогии с квантовой механикой одной частицы, введем несколько естественных постулатов. Во-первых, будем считать, что квантовое состояниесистемы описывается волновой функцией Ψ(q, t) ≡ Ψ(q1 , q2 , . . .
, qN , t), которая имеет смысл амплитуды вероятности значений координат всех частиц и проекций ихспинов на ось квантования. Точнее, величинаdw(q1 , q2 , . . . , qN , t) = |Ψ(q1 , q2 , . . . , qN , t)|2 dV1 dV2 · · · dVN ,(12.1)где dVk = dxk dyk dzk , есть вероятность того, что в момент времени t частица 1будет обнаружена в элементе объема dV1 со значением спиновой переменной σ1 ,частица 2 — в элементе объема dV2 со значением спиновой переменной σ2 и т. д.Согласно этому определению волновой функции, она должна удовлетворять условию нормировки2(12.2)|Ψ(q, t)| dq ≡ |Ψ(q1 , q2 , .
. . , qN , t)|2 dq1 dq2 · · · dqN = 1.+Как и в разделе 11.1., символ . . . dqk означает интегрирование по координатамчастицы и суммирование по всем возможным значениям ее спиновой переменной.Физическим величинам, характеризующим систему частиц, соответствуют линейные эрмитовые операторы Â, которые действуют, вообще говоря, на все переменные qk .
Их наблюдаемые (средние) значения вычисляются по правилуtA = Ψ∗ ÂΨ dq1 dq2 · · · dqN .(12.3)Как мы увидим дальше, кулоновское отталкивание — самое сильное, но не единственное взаимодействие электронов в атомах.2Напомним, что спиновая переменная σ определяет возможные значения проекцииспина частицы на ось квантования.1128Оно является естественным обобщением правила вычисления средних значений динамических переменных для одной частицы. Конечно, вычисление средних (12.3)может представлять собой очень сложную математическую проблему из-за большого числа интегралов, но пока мы не заботимся о технической стороне дела.
Насинтересует сама принципиальная схема квантовой механики системы частиц.Изменение квантового состояния системы частиц должно описываться соответствующим уравнением Шредингераi∂Ψ= ĤΨ,∂t(12.4)где Ĥ — линейный оператор Гамильтона (гамильтониан), действующий на переменные всех частиц.Пусть гамильтониан не зависит от времени1 ; тогда можно обычным образомотделить переменную t, полагаяΨ(q1 , q2 , . .
. , qN , t) = e−iEt/ ψ(q1 , q2 , . . . , qN ),(12.5)где ψ является решением стационарного уравнения Шредингера(12.6)Ĥψ = Eψ.Те значения E, при которых ψ — однозначная и непрерывная функция, удовлетворяющая нужным граничным условиям2 , образуют спектр энергии системы.Для практического применения описанной схемы нужно уметь конструироватьгамильтониан и операторы динамических переменных. Как и в случае одной частицы, здесь оказывается полезной аналогия с классической механикой. Если классическая динамическая переменная A = A (r1 , p1 , .
. . , rN , pN ), выражается черезрадиусы-векторы частиц и их импульсы, то соответствующий квантовый оператор получается в результатезамены радиусов-векторови импульсов на соответствуˆˆˆˆющие операторы:  = A r1 , p 1 , . . . , rN , p N . В качестве простого, но важногопримера рассмотрим оператор орбитального момента импульсасистемы частиц. , где L = r × p =LВ классической механике это — векторная величина Lkkkkk— момент импульса k-ой частицы системы. Поэтому в квантовой механике естественно определить оператор полного орбитального момента импульса системы изN частиц следующим образом:NN ˆ =ˆk ≡rˆk × pˆk .LLk=1(12.7)k=1ˆk — уже знакомый одночастичный оператор орбитальногоКаждый из операторов Lмомента. Индекс k показывает, что этот оператор действует только на координатыk-ой частицы в волновой функции системы.Гамильтониан Ĥ(t) зависит от времени, если система находится в переменном внешнем поле.2Например, если речь идет о системе электронов в атоме, то ψ должна стремиться кнулю при удалении любого электрона на бесконечность.1129Если частицы обладают спином, то приходится иметь дело и с операторами,действующими на спиновые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
