Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. поле, в котором движется электрон, остается центральным. Итак, займемся оператором спин-орбитального взаимодействия. Из формулы (11.39) находим, чтоˆ ˆ 1 ˆ222(11.54)J − L̂ − Ŝ .L·S =2Подставляя это выражение в (11.50), получаемZqe2 ˆ222−L̂−ŜJ.(11.55)Ŵсп-орб =4m2e c2 r3Такая запись позволяет доказать важные свойства гамильтониана (11.48) (см.упражнение 11.6.):[Jˆ2 , Ĥ] = 0,[Jˆz , Ĥ] = 0,[L̂2 , Ĥ] = 0.(11.56)Отсюда следует, что в стационарных состояниях одновременно с энергией атомаимеют точные значения квадрат полного момента импульса электрона, его проекция на ось квантования z и квадрат орбитального момента импульса. Иначеговоря, собственные функции гамильтониана (11.48) будут также собственнымифункциями Jˆ2 , Jˆz и L̂2 . Поэтому решение стационарного уравнения ШредингераĤψ = Eψ можно искать в видеψ(r, ϑ, ϕ, σ) = R(r) ψlj mj (ϑ, ϕ, σ),(11.57)где функции ψlj mj (ϑ, ϕ, σ) даются формулой (11.46).
Заметим, что тогда уравненияJˆ2 ψ = 2 j(j + 1) ψ,Jˆz ψ = mj ψ,L̂2 ψ = 2 l(l + 1) ψ(11.58)удовлетворяются точно, и теорию возмущений нужно применять лишь при решении уравнения для радиальной части волновой функции1 . Если пренебречь W иМы оставляем читателю проверку того, что при подстановке функции (11.57) в стационарное уравнение Шредингера переменные разделяются и для радиальной части волновой функции R(r) получается замкнутое уравнение (см. упражнение 11.7.).1119Ŵсп-орб в гамильтониане (11.48), то в качестве нулевого приближения для возможных радиальных функций мы получим функции Rnl (r), которые рассматривалисьв разделе 9.3., а для уровней энергии — нулевое приближение (11.52).
Таким образом, для вычисления поправки к уровням энергии в качестве волновых функцийнулевого приближения разумно использовать не набор (11.53), а функции(0)ψnlj mj (r, ϑ, ϕ, σ) = Rnl (r) ψlj mj (ϑ, ϕ, σ).(11.59)Эти функции нормированы на единицу и ортогональны друг к другу, если у нихотличается хотя бы один из индексов. Кроме того, они являются собственными функциями гамильтониана Ĥ (0) . Наконец, легко проверить, что недиагональные матричные элементы операторов W и Ŵсп-орб по этим функциям равны нулю(оставляем проверку читателю).
Тогда, как было показано в разделе 10.3., перваяпоправка к уровням энергии равна диагональному матричному элементу оператора возмущения по волновым функциям нулевого приближения, т. е. в данномслучае имеем1(0)(0)En(1) = ψnljmj |(W + Ŵсп-орб )|ψnljmj .(11.60)Можно ли реально вычислить эту поправку? На первый взгляд кажется, что эточрезвычайно трудная задача, так как требуется вычислить тройной интеграл попеременным r, ϑ и ϕ, а также сложные суммы по спиновым переменным, которыевозникают при действии оператора спин-орбитального взаимодействия (11.55) наволновые функции (11.46).
Покажем, однако, что вычисление матричного элемента (11.60) сводится к относительно простым одномерным интегралам. Все дело вудачном выборе волновых функций нулевого приближения (11.59). Хотя мы незнаем явного вида функций (11.46), но зато мы знаем, что они являются собственными функциями операторов Jˆ2 и L̂2 . Кроме того, оператор Ŝ 2 пропорционаленединичному оператору; для электрона Ŝ 2 = (32 /4) 1̂. Поэтому действие оператора спин-орбитального взаимодействия на волновые функции нулевого приближения (11.59) дает(0)(0)Ŵсп-орб ψnljmj = Wсп-орб (r) ψnljmj ,где введена функция радиальной переменной3Z2 qe2Wсп-орб (r) =j(j + 1) − l(l + 1) −.4m2e c2 r34(11.61)Предполагая, как обычно, что функции, зависящие от ϑ и ϕ, нормированы наединицу при интегрировании по телесному углу, нетрудно проверить, что формула (11.60) принимает видEn(1) =∞2Rnl(r) W (r) + Wсп-орб (r) r2 dr.(11.62)0Радиальные функции водородоподобного атома Rnl (r) хорошо известны, так чтозадача сводится к явному вычислению интегралов по r, которые удается вычислитьДля матричного элемента мы используем обозначение, приведенное в сноске настр.
95.1120точно. Мы не будем этим заниматься, а приведем лишь окончательный результат:1Z 2 α2 (0)3(1)En =En−.(11.63)nj + 1/2 4n(0)Здесь En — значения уровней энергии в нулевом приближении [см. (11.52)], а α— безразмерная постоянная:e21qe2≡≈.α=c4πε0 c137(11.64)Итак, с точностью до первой релятивистской поправки уровни энергии водородоподобного атома даются формулойZ 2 α213(0)Enj = En 1 +−.(11.65)nj + 1/2 4nЭтот результат довольно интересен и его стоит обсудить. Во-первых, видно, что с(0)учетом релятивистских эффектов вырожденный уровень энергии En расщепляется на несколько уровней, так как энергия зависит не только от главного квантового числа n, но и от квантового числа j, определяющего значение квадратаполного момента импульса электрона. Впрочем, в разделе 10.3.
уже отмечалось,что расщепление вырожденного уровня под действием возмущения — типичноеявление в квантовой механике. Несколько неожиданным является тот факт, чтоэнергия стационарного состояния не зависит от орбитального квантового числа l,хотя подынтегральная функция в формуле (11.62) зависит от него1 . Таким образом, спектр энергии водородоподобного атома остается вырожденным и при учетерелятивистских эффектов. Для электрона квантовое число j принимает значенияj = 1/2 , 3/2 , 5/2, . . ., причем при заданном j орбитальное квантовое число можетиметь одно из двух значений: l = j ±1/2.
Оба эти состояния соответствуют вырожденному уровню энергии. Имеется также вырождение уровней и по квантовомучислу mj , которое определяет значение проекции полного момента электрона наось квантования. Это вырождение, однако, не является “случайным”; оно отражаетсферическую симметрию кулоновского поля ядра.Опишем кратко систему стационарных состояний водородоподобного атома сучетом спина электрона. В атомной физике стационарное состояние любой частицы в центральном поле принято обозначать символом nlj , где вместо n и j указываются конкретные значения этих квантовых чисел, а для орбитального квантовогочисла используются правила (9.13). Как видно из выражения (11.65), энергияуровней по-прежнему зависит в основном от главного квантового числа n; выражение в квадратных скобках близко к единице, так как α2 1.
Поэтому состоянияэлектрона располагаются по значениям энергии следующим образом:1s1/2 ;2s1/2 , 2p1/2 , 2p3/2 ;−→ энергия состояний.3s1/2 , 3p1/2 , 3p3/2 , 3d3/2 , 3d5/2 ;...(11.66)Спектр энергии, который получается в результате точного решения релятивистскогоуравнения Дирака, также не зависит от l.1121Подчеркнуты пары состояний с одинаковой энергией. Совокупность уровней с одинаковым значением главного квантового числа n называется тонкой структурой.Разность значений энергии уровней внутри тонкой структуры мала по сравнению с(0)(0)разностью En −En−1 благодаря малому значению постоянной α [см. (11.64)], которая называется постоянной тонкой структуры. Тем не менее, наличие тонкойструктуры удается обнаружить с помощью оптических измерений.В качестве примера рассмотрим головную линию серии Бальмера в спектре излучения водорода. Она возникает в результате излучения фотона электроном приего переходе с уровня с n = 3 на уровень с n = 2.
Поскольку задание только главного квантового числа еще не определяет полностью квантовое состояние электрона,возникает вопрос: между какими состояниями, показанными на схеме (11.66), возможны переходы? Для ответа на это вопрос необходимо учесть закон сохранениямомента импульса. Фотон обладает собственным моментом импульса, равным ,поэтому при излучении или поглощении фотона момент импульса атома долженменяться так, чтобы сохранялся полный момент импульса системы “атом+фотон”.В квантовой механике доказывается, что при излучении и поглощении фотонадолжны выполняться так называемые правила отбора для квантовых чисел l иj, связанных с моментом импульса, а именно,∆l = ±1,∆j = 0, ±1 ,(11.67)где ∆l и ∆j — изменение квантовых чисел состояния атома при переходе.Таким образом, головной линии серии Бальмера в спектре излучения водорода соответствуют переходы электрона между следующими состояниями:3p3/2 → 2s1/2 ,3p1/2 → 2s1/2 ,3d3/2 → 2p1/2 ,3s1/2 → 2p1/2 ,3d5/2 → 2p3/2 ,3d3/2 → 2p3/2 ,3s1/2 → 2p3/2 ,Эти переходы схематически показанына Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
