Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Явноевыражение для функции ψlmms имеет видψlmms (ϑ, ϕ, σ) = Ylm (ϑ, ϕ) χms (σ),(11.43)где Ylm — сферическая функция, аχms (σ) = δσ, ms(11.44)— спиновая “волновая функция” состояния с проекцией спина Sz = ms . В случаеs = 1/2 ее можно также представить в виде одного из спиноров (11.11).Возникает вопрос: какой же из двух наборов волновых функций, {ψlj mj } или{ψlmms }, является “правильным”? Ответ кажется на первый взгляд парадоксальным: оба набора “правильные” в том смысле, что любую волновую функцию частицы можно представить как суперпозицию функций ψlj mj или как суперпозициюфункций ψlmms . Нетрудно сообразить, что для этого нужно, чтобы функции изобоих наборов были связаны друг с другом линейными соотношениями.
Действительно, можно доказать, чтоψlj mj (ϑ, ϕ, σ) =Cjmj ; mms ψlmms (ϑ, ϕ, σ),(11.45)m,msгде Cjmj ; mms — некоторые постоянные коэффициенты1 . Мы видим, что каждое изквантовых состояний ψlj mj с точно определенной проекцией полного момента естьсуперпозиция состояний с различными значениями проекций орбитального и спинового моментов. Хотя в состояниях ψlj mj каждая из динамических переменныхLz и Sz имеет квантовую неопределенность, легко доказать, что три квантовыечисла mj , m и ms всегда связаны соотношением mj = m + ms . Действительно,подействуем на обе части равенства (11.45) оператором Jˆz . Так как ψlj mj — собственная функция этого оператора, то в левой части получим функцию mj ψljmj .Чтобы найти результат действия оператора Jˆz на функции, стоящие в правой части (11.45), воспользуемся формулой Jˆz = L̂z + Ŝz , которая следует из определения (11.33) оператора полного момента.
Волновые функции ψlmms являютсясобственными функциями L̂z и Ŝz , поэтому (после сокращения на ) приходим кравенствуmj ψljmj (ϑ, ϕ, σ) =(m + ms ) Cjmj ,mms ψlmms (ϑ, ϕ, σ).m,msЗначения этих коэффициентов зависят не только от выписанных индексов, но и отквантовых чисел l и s. Таблицы для Cjm ; mms приводятся в книгах по квантовой мехаjнике (см., например, [2]).1116Сравнивая его с (11.45), видим, что эти два равенства не противоречат друг другу,если коэффициенты Cjmj ; mms отличны от нуля только в случае, когда ms +m = mj .Таким образом, в формуле (11.45) одна из сумм снимается и, с учетом выражения (11.43), получаемψljmj (ϑ, ϕ, σ) =Cj mj ; mj −ms , ms Yl,mj −ms (ϑ, ϕ) χms (σ).(11.46)msДля иллюстрации рассмотрим электрон (s = 1/2, ms = ±1/2), находящийся сp-состоянии (l = 1).
Как мы уже выяснили, квантовое число j может при этомпринимать значения j = 1/2 и j = 3/2. Ограничимся состояниями с j = 1/2, длякоторых mj = ±1/2. Тогда из формулы (11.46) находим, чтоψ1 1 1 (ϑ, ϕ, σ) = C 112 22 2;012Y10 χ 1 + C 1212 2; 1, − 12Y11 χ− 1 ,2(11.47)ψ1 1 , − 1 (ϑ, ϕ, σ) = C 1 , − 1 ; −1, 1 Y1,−1 χ 1 + C 1 , − 1 ; 0, − 1 Y10 χ− 1 .2222222222Ради краткости мы не выписали аргументы сферических функций Ylm (ϑ, ϕ) и спиновых функций χms (σ).
В качестве упражнения предлагаем читателю записатьаналогичные формулы для волновых функций ψ1 3 m (ϑ, ϕ, σ).211.4.jСтационарные состояния водородоподобного атомас учетом спина электронаПри изучении стационарных состояний водородоподобного атома в разделе 9.2.не учитывался спин электрона. Интересно выяснить, как влияет наличие спинау электрона на значения уровней энергии (9.19). Мы уже отмечали, что спин —явление релятивистское, поэтому последовательная квантовая теория водородоподобного атома должна быть основана на релятивистском обобщении уравненияШредингера. Такое обобщение было получено Полем Дираком в 1928 году.
Уравнение Дирака гораздо сложнее, чем уравнение Шредингера и его исследованиевыходит за рамки излагаемого здесь элементарного курса. Поэтому мы ограничимся некоторыми основными результатами этого исследования, которые важныдля качественного понимания строения атома и его свойств.Хотя полное уравнение Дирака является весьма сложным, применение его ктеории атома облегчается тем обстоятельством, что средняя скорость движенияэлектрона v мала по сравнению со скоростью света c и, следовательно, релятивистские поправки к спектру энергии (9.19) малы. Это позволяет учесть их методамитеории возмущений, изложенной в параграфе 10.
Предварительно нужно, конечно,построить гамильтониан электрона, пригодный для применения теории возмущений. Анализ уравнения Дирака показывает, что с точностью до членов порядка(v/c)2 гамильтониан электрона в водородоподобном атоме есть сумма операторовĤ = Ĥ (0) + W (r) + Ŵсп-орб ,гдеĤ (0) =p̂ 2Zq 2− e2mer(11.48)(11.49)117— гамильтониан без учета релятивистских эффектов1 . Только эта часть гамильтониана и использовалась в разделе 9.2. Функция W (r), явный вид которой мыне будем приводить, представляет собой поправку к кулоновскому полю ядра икачественно не меняет структуру уровней.
Более интересен последний оператор вгамильтониане (11.48). Он называется оператором спин-орбитального взаимодействия и дается формулойZqe2 ˆ ˆŴсп-орб =S·L .(11.50)2m2e c2 r3Видно, этот оператор изменяет спиновое состояние электрона.Приведенных сведений достаточно, чтобы понять основные свойства стационарных состояний водородоподобного атома, который описывается гамильтонианом (11.48). Читатель уже должен знать, что при изучении стационарных состояний важно выяснить, операторы каких динамических переменных коммутируют сгамильтонианом, так как в стационарном состоянии эти динамические переменныеимеют определенные значения одновременно с энергией.
Невозмущенный гамильтониан (11.49) описывает движение электрона в центральном кулоновском полеядра. Как мы выяснили в параграфе 9, его удобно записывать в сферическойсистеме координат. Согласно формуле (9.5), имеем2 1 ∂Zqe2L̂2(0)2 ∂−r+.(11.51)Ĥ = −2me r2 ∂r∂r2me r2rНапомним, что Ĥ (0) коммутирует с операторами L̂2 и L̂z , поэтому волновые функции невозмущенных стационарных состояний характеризуются квантовыми числами l и m, определяющими значения квадрата орбитального момента импульсаэлектрона и его проекции на ось квантования z. При решении уравнения для радиальной части волновой функции возникает еще одно (главное) квантовое числоn, определяющее значения энергии атома [см. формулу (9.19)].
Поскольку мысобираемся применять теорию возмущений, эти собственные значения оператораĤ (0) обозначим стандартным образом:En(0) = −Z 2me qe4 1,22 n2n = 1, 2, . . .(11.52)Волновые функции невозмущенных стационарных состояний даются формулой (9.21). В рассматриваемом случае мы учитываем еще одну степень свободыэлектрона — спин. Очевидно, что операторы Ŝ 2 и Ŝz коммутируют с гамильтонианом Ĥ (0) , поэтому невозмущенные стационарные состояния электронадолжны характеризоваться также соответствующими квантовыми числами s иms .
Для электрона во всех состояниях s = 1/2, так что нужно лишь указатьзначение магнитного спинового числа ms , которое определяет проекцию спинана ось z. Итак, волновые функции невозмущенных стационарных состоянийводородоподобного атома с учетом спина электрона имеют вид(0)ψnlmms (r, ϑ, ϕ, σ) = Rnl (r) Ylm (ϑ, ϕ) χms (σ).(11.53)В формуле (11.49) me — масса электрона, а при записи потенциальной энергии вкулоновском поле ядра использовано сокращенное обозначение (9.15).1118Напомним, что невозмущенные уровни (11.52), за исключением основного уровняс n = 1, вырождены по квантовым числам l и m; кратность вырождения равнаn2 .
С учетом спина электрона кратность вырождения равна 2n2 , так как спиновоемагнитное число может принимать два значения ms = ±1/2. Заметим, что иосновной уровень двукратно вырожден по значению проекции спина электрона.В принципе, теперь для расчета спектра энергии атома можно применить теорию возмущений по операторам W и Ŵсп-орб в гамильтониане (11.48). Посколькуневозмущенные уровни энергии вырождены, нужно воспользоваться методом, изложенным в разделе 10.3. Этот путь, однако, является очень сложным из-за большой кратности вырождения уровней (11.52), особенно при больших n.
Поэтомумы кратко изложим другой, значительно более простой, способ приближенноговычисления спектра энергии. Он основан на некоторых особенностях гамильтониана (11.48), позволяющих “угадать” структуру его собственных функций.Попробуем выяснить, какими квантовыми числами будут характеризоватьсясобственные функции гамильтониана (11.48). Основная проблема связана с оператором спин-орбитального взаимодействия (11.50), поскольку W (r), как уже говорилось, дает поправку в потенциальную энергию электрона, которая по-прежнемузависит лишь от радиальной переменной r, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
