Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При этом, однако, и спиновые волновые функции в состояниях (12.40) и (12.41)имеют различную симметрию относительно перестановки спиновых переменных.Интересно выяснить, чем физически отличаются состояния двух электронов с волновыми функциями (12.40) и (12.41). С этой целью рассмотрим спиновые частиволновых функций.Сначала построим базисные спиновые волновые функции для двух частиц соспином s = 1/2. В качестве таких функций удобно взять произведения одночастичных спиновых функцийχ↑ (σ) ≡ χ1/2 (σ) = δσ,1/2 ,χ↓ (σ) ≡ χ−1/2 (σ) = δσ,−1/2 .(12.42)Они являются собственными функциями оператора Ŝz , где ось z — произвольновыбранная ось квантования. Первая функция описывает состояние частицы, вкотором проекция ее спина имеет значение Sz = /2, а вторая — состояние, вкотором Sz = −/2.
Всего имеется четыре произведения одночастичных спиновыхфункций, образующих базисный набор для двух частиц:χ↑ (σ1 )χ↑ (σ2 ),χ↓ (σ1 )χ↓ (σ2 ),χ↑ (σ1 )χ↓ (σ2 ),χ↓ (σ1 )χ↑ (σ2 ).(12.43)Любую спиновую волновую функцию двух частиц с s = 1/2 можно представить ввиде суперпозиции этих базисных функций.К сожалению, не все базисные спиновые функции (12.43) обладают какой-либосимметрией по отношению к перестановке переменных σ1 и σ2 . Однако из нихможно построить новый базис, состоящий из симметричных и антисимметричныхфункций.
Легко проверить (оставляем это читателю), что единственная антисимметричная комбинация функций (12.43) имеет вид1 ,(12.44)χ0 (σ1 , σ2 ) = √ χ↑ (σ1 )χ↓ (σ2 ) − χ↓ (σ1 )χ↑ (σ2 ) .2√Множитель 1/ 2 введен для того, чтобы функция χ0 удовлетворяла условию нормировкиχ0 |χ0 ≡χ∗0 (σ1 , σ2 )χ0 (σ1 , σ2 ) = 1.(12.45)σ1 , σ2Кроме того, из функций (12.43) можно составить три симметричные линейныекомбинации:1 ,χ1 (σ1 , σ2 ) = √ χ↑ (σ1 )χ↓ (σ2 ) + χ↓ (σ1 )χ↑ (σ2 ) ,(12.46)2χ2 (σ1 , σ2 ) = χ↑ (σ1 )χ↑ (σ2 ),(12.47)χ3 (σ1 , σ2 ) = χ↓ (σ1 )χ↓ (σ2 ).(12.48)141Четыре функции χ0 , χ1 , χ2 , χ3 образуют ортонормированный базис для спиновыхволновых функций двух фермионов с s = 1/2 (см.
упражнение 12.6.).Теперь ясно, что спиновая волновая функция χ(a) в формуле (12.40) совпадаетс функцией (12.44), а спиновая волновая функция χ(s) в формуле (12.41) являетсянекоторой линейной комбинацией симметричных функций (12.46) – (12.48).Покажем, что разбиение базиса спиновых волновых функций двух частиц сs = 1/2 имеет простой физический смысл. Для этого введем оператор полногоспина частицˆ2 ,ˆ = Sˆ1 + S(12.49)Sˆ2 действуют, соответственно, на спиновые переменные первойˆ1 и Sгде операторы Sи второй частицы. Предлагаем читателю самостоятельно проверить (см.
упражнение 12.7.), что все четыре базисные спиновые функции χ0 , χ1 , χ2 , χ3 являютсясобственными функциями оператора проекции полного спина Ŝz , причемŜz χ0 = 0,Ŝz χ1 = 0,Ŝz χ2 = χ2 ,Ŝz χ3 = − χ3 .(12.50)Можно показать, что введенные нами базисные функции являются также собственными функциями квадрата суммарного спинаˆ · Sˆ = Ŝ 12 + Ŝ 22 + 2 Sˆ1 · Sˆ2 .Ŝ 2 = S(12.51)Простые, но несколько громоздкие вычисления, которые мы опустим, даютŜ 2 χ0 = 0,Ŝ 2 χ1 = 22 χ1 ,Ŝ 2 χ2 = 22 χ1 ,Ŝ 2 χ3 = 22 χ1 .(12.52)Вспоминая правила квантования спина (11.1), приходим к важным выводам:• Если спиновое состояние двух фермионов с s = 1/2 описывается антисимметричной функцией χ(a) , то их полный спин S равен нулю.• Если спиновое состояние двух фермионов с s = 1/2 описывается симметричной функцией χ(s) , то их полный спин S равен единице.Заметим, что согласно соотношениям (12.50), волновые функции χ1 , χ2 и χ3 соответствуют трем состояниям пары фермионов со значениями проекции полногоспина Sz = 0 и Sz = ± .Вернемся к формулам (12.40) и (12.41) для волновых функций двух фермионов с s = 1/2.
Как мы выяснили, эти функции описывают два типа состоянийсистемы. В первом случае суммарный спин частиц равен нулю, а во втором онравен единице1 . Для качественного понимания свойств системы в состоянияхΨI и ΨII часто бывает полезным следующее обстоятельство.
Заметим, что всостоянии (12.41) координатная волновая функция Φ(a) , будучи антисимметричной по отношению к перестановке r1 и r2 , должна обращаться в нуль,если r1 = r2 , т. е. амплитуда вероятности обнаружить два фермиона в однойточке пространства в параллельными спинами равна нулю. В то же время, всостоянии (12.40) эта амплитуда не равна нулю. Иначе говоря, два фермиона сДля наглядности обычно говорят, что в состоянии (12.40) спины частиц антипараллельны, а в состоянии (12.41) спины частиц параллельны.1142антипараллельными спинами с заметной вероятностью могут быть обнаружены вдвух близких точках. Из приведенных соображений следует, что средняя энергиявзаимодействия заряженных фермионов (например, электронов) в состоянияхтипа (12.40) должна быть больше, чем в состояниях типа (12.41).
Действительно,если спины электронов параллельны, то они “стараются держаться подальше другот друга”, что уменьшает среднюю энергию их кулоновского отталкивания. Еслиже спины антипараллельны, то электроны могут оказаться близко друг к другу, иэто приводит к увеличению кулоновской энергии взаимодействия. Как мы видим,тот факт, что полная волновая функция одинаковых фермионов должна бытьантисимметричной относительно перестановок частиц, приводит к существеннойзависимости энергии системы от ориентации спинов частиц даже в тех случаях,когда само взаимодействие не содержит спиновых операторов. С примерамиподобного рода мы встретимся в дальнейшем.Упражнения12.1.
Проверить, что полное число перестановок переменных {qk } в волновойфункции Ψ(q1 , . . . , qN , t) равно N !.Указание: Удобно воспользоваться следующим приемом. Изобразим положенияаргументов в виде N “ячеек” , , . . . , . В первую ячейку можно поместить любойиз N аргументов qk . Если первая ячейка заполнена, то во вторую можно поместитьлюбой из оставшихся N − 1 аргументов. Таким образом, всего имеется N (N − 1)различных вариантов заполнения первых двух ячеек. Дальше последовательнозаполняются третья, четвертая и т. д. ячейки.
Остается проверить, что полноечисло всех вариантов равно N (N − 1)(N − 2) · · · 1, т. е. как раз N !.(s)(s)12.2. Доказать, что две симметризованные волновые функции Φl1 ,..., l и Φl ,..., lN1Nсистемы, состоящей из N тождественных бозонов, ортогональны, если в наборах{l1 , . . . , lN } и {l1 , . . . , lN} нет совпадающих индексов.(s)(s)Указание: Скалярное произведение Φl1 ,..., l | Φl ,..., l можно представить какN1Nсумму многомерных интегралов, каждый из которых разбивается на произведение интегралов вида ϕlk | ϕl . Далее следует использовать условие ортогональkности (12.20) для одночастичных волновых функций.12.3.
Вычислить явно нормировочную постоянную A в формуле (12.26) и проверить, что результат согласуется с общим выражением (12.28).12.4. Вывести выражение (12.30) для амплитуд вероятности.(s)∗Указание: Умножить обе части равенства (12.29) на Φ{n } (q1 , . . . , qN ) и проинтеlгрировать по переменным всех частиц с учетом условия ортогональности (12.24).12.5. Вывести выражение (12.34) для нормировочной постоянной в базисныхволновых функциях тождественных фермионов.Указание: Используя явное выражение (12.32) для антисимметричных базисных волновых функций, записать выражение для скалярного произведения(a)(a)Φ{n } | Φ{n } . Далее следует учесть, что для фермионов в любом наборе {l1 , . .
. , lN }llнет совпадающих индексов одночастичных состояний, а одночастичные волновыефункции удовлетворяют условию ортогональности (12.20).12.6. Проверить, что базисные спиновые функции (12.44) и (12.46) – (12.48) ортогональны друг другу и нормированы на единицу.12.7. Доказать равенства (12.50), используя выражения (12.44) и (12.46) – (12.48)143для базисных спиновых функций двух фермионов и тот факт, что одночастичныеспиновые функции (12.42) являются собственными функциями оператора Ŝz .13.Стационарные состояния сложных атомовВ этом параграфе мы применим теорию квантовых систем к сложным атомам,в которых тождественными частицами являются электроны.
Прежде всего, насбудет интересовать спектр энергии и волновые функции стационарных состояний.Как известно, для атома водорода, содержащего всего один электрон, эта задача решается точно. К сожалению, для более сложных атомов точные решениястационарного уравнения Шредингера не найдены, хотя в настоящее время существуют различные приближенные методы, основанные, как правило, на теориивозмущений. В параграфе 10 была изложена теория возмущений для вычисленияспектра энергии и волновых функций стационарных состояний одной частицы.Если, однако, вернуться к рассуждениям из этого параграфа (советуем читателюэто сделать), то легко заметить, что они в равной степени применимы и к многочастичным системам, поэтому нам не придется заново строить всю схему теориивозмущений.13.1.Атом с двумя электронами: основное состояниеСамой простой реальной системой, в которой проявляются многочастичные эффекты, является атом с двумя электронами, движущимися в кулоновском полеядра с зарядом Ze.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
