lect-terver (1082434), страница 17

Файл №1082434 lect-terver (Лекции Теория веротяностей) 17 страницаlect-terver (1082434) страница 172018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

â., èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì, ðàâíûì âåðîÿòíîñòèóñïåõà P(A) (èíäèêàòîðîâ òîãî, ÷òî â ñîîòâåòñòâóþùåì èñïûòàíèè ïðîèçîøëî A):(1, åñëè A ïðîèçîøëî â i − ì èñïûòàíèè;νn (A) = ξ1 + · · · + ξn , ξi = Ii (A) =0, åñëè A íå ïðîèçîøëî â i − ì èñïûòàíèè;E ξ1 = P(A), D ξ1 = P(A)(1 − P(A)).Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ÇÁ× â ôîðìå ×åáûø¸âà è íåðàâåíñòâîì (24) èç çàìå÷àíèÿ24.Ðàññìîòðèì ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ÇÁ× â ôîðìå ×åáûø¸âà, âåðíåå, íåðàâåíñòâà(24).13.4Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ÇÁ× è íåðàâåíñòâà ×åáûø¸âàÏðèìåð 48.З а д а ч а.Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ 10 000 ðàç. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî÷àñòîòà âûïàäåíèÿ ãåðáà îòëè÷àåòñÿ îò âåðîÿòíîñòè áîëåå ÷åì íà îäíó ñîòóþ.

νn 1 PР е ш е н и е. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü P − > 0,01 , ãäå n = 104 , νn = ni=1 ξi —n2÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà, à ξi — íåçàâèñèìûå ñ. â., èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñïàðàìåòðîì 1/2, ðàâíûå «÷èñëó ãåðáîâ, âûïàâøèõ ïðè i-ì ïîäáðàñûâàíèè» (òî åñòü åäèíèöå, åñëè âûïàë ãåðá è íóëþ èíà÷å, èëè èíäèêàòîðó òîãî, ÷òî âûïàë ãåðá). ÏîñêîëüêóD ξ1 = 1/2 · 1/2 = 1/4, èñêîìàÿ îöåíêà ñâåðõó âûãëÿäèò òàê: Sn 1 D ξ111P − > 0,01 6== .24−4n24 · 10 · 104n 0,01Èíà÷å ãîâîðÿ, íåðàâåíñòâî ×åáûø¸âà ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî, â ñðåäíåì, íå áîëåå÷åì â ÷åòâåðòè ñëó÷àåâ ïðè 10 000 ïîäáðàñûâàíèÿõ ìîíåòû ÷àñòîòà âûïàäåíèÿ ãåðáàáóäåò îòëè÷àòüñÿ îò 1/2 áîëåå ÷åì íà îäíó ñîòóþ. Ìû óâèäèì, íàñêîëüêî ýòî ãðóáàÿîöåíêà, êîãäà ïîçíàêîìèìñÿ ñ центральной предельной теоремой.Ïðèìåð 49.З а д а ч а.

Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äèñïåðñèèêîòîðûõ îãðàíè÷åíû îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé C, à êîâàðèàöèè ëþáûõ ñ. â. ξi èξj (i 6= j), íå ÿâëÿþùèõñÿ ñîñåäíèìè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàâíû íóëþ. Óäîâëåòâîðÿåòëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÇÁ×?Р е ш е н и е. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (23) è ñâîéñòâîì 14: Sn DnXX SnSn D SnnP −E>ε6=;D(ξ+...+ξ)=Dξ+2cov(ξi , ξj ).1ninn ε2n2 ε 2i=1i<jÍî äëÿ i < j, Pïî óñëîâèþ, cov(ξi , ξj ) = 0, åñëè i 6= j−1.Ñëåäîâàòåëüíî, â ñóììåcov(ξ,ξ)ðàâíûíóëþâñåñëàãàåìûåêðîìå,ìîæåòáûòü,i ji<jcov(ξ1 , ξ2 ), cov(ξ2 , ξ3 ), . . . , cov(ξn−1 , ξn ) (èõ ðîâíî n − 1 øòóêà).Îöåíèì êàæäîå èç íèõ, èñïîëüçóÿ îäíî èç ñâîéñòâ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè (какое?)p√ √pcov(ξi , ξj ) 6 D ξi D ξj 6 C C = C,76òàê êàê äëÿ ëþáîãî 1 6 i 6 n, ïî óñëîâèþ, D ξi 6 C.

Èòàê, SnSn D SnP −E>ε 6 2 2 =nn n εnXi=1nXD ξi + 2Xcov(ξi , ξj )i<jn2 ε 2D ξi + 2n−1X=cov(ξi , ξi+1 )nC + 2(n − 1)C→ 0n2 ε 2ïðè n → ∞, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . óäîâëåòâîðÿåò ÇÁ×.=i=1i=12n ε26Óïðàæíåíèå 27.Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . òàêîé, ÷òî êîâàðèàöèè «íåñîñåäíèõ» âåëè÷èí ðàâíû íóëþ.Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . òàêîé, ÷òî êîâàðèàöèè «íåñîñåäíèõ» âåëè÷èí ðàâíû íóëþ, à êîâàðèàöèè ñîñåäíèõ — íå ðàâíû. Ìîæíî ïîïðîáîâàòüïîñòðîèòü òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ïîìîùüþ äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòàâëåííîé èç íåçàâèñèìûõ ñ. â.77... Èç ýòîé ïåðâîé ëåêöèè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÿ çàïîìíèë òîëüêî ïîëóçíàêîìûé òåðìèí «ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå». Íåçíàêîìåö óïîòðåáëÿë ýòîò òåðìèííåîäíîêðàòíî, è êàæäûé ðàç ÿ ïðåäñòàâëÿë ñåáå áîëüøîå ïîìåùåíèå, âðîäå çàëà îæèäàíèÿ, ñ êàôåëüíûì ïîëîì, ãäå ñèäÿò ëþäè ñ ïîðòôåëÿìè è áþâàðàìè è,ïîäáðàñûâàÿ âðåìÿ îò âðåìåíè ê ïîòîëêó ìîíåòêè è áóòåðáðîäû, ñîñðåäîòî÷åííî ÷åãî-òî îæèäàþò.

Äî ñèõ ïîð ÿ ÷àñòî âèæó ýòî âî ñíå. Íî òóò íåçíàêîìåöîãëóøèë ìåíÿ çâîíêèì òåðìèíîì «ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà — Ëàïëàñà» èñêàçàë, ÷òî âñå ýòî ê äåëó íå îòíîñèòñÿ.Àðêàäèé è Áîðèñ Ñòðóãàöêèå, ÑòàæåðûÐàçäåë 14.14.1ÖÏÒ (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà)Êàê áûñòðîSnñõîäèòñÿ ê E ξ1 ?nÏóñòü, êàê â çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå ×åáûø¸âà, Sn = ξ1 + . .

. + ξn — ñóììàn íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Òîãäà, âSn pñèëó ÇÁ×,−→ E ξ1 ñ ðîñòîì n. Èëè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ,nSn − n E ξ1 p−→ 0.nÅñëè ïðè äåëåíèè íà n ìû ïîëó÷èëè â ïðåäåëå íóëü (â ñìûñëå íåêîòîðîé, âñå ðàâíîêàêîé, ñõîäèìîñòè), ðåçîííî çàäàòü ñåáå âîïðîñ: à íå ñëèøêîì ëè íà «ìíîãî» ìû ïîäåëèëè? Íåëüçÿ ëè ïîäåëèòü íà ÷òî-íèáóäü, ðàñòóùåå ê áåñêîíå÷íîñòè ìåäëåííåå, ÷åì n,÷òîáû ïîëó÷èòü â ïðåäåëå íå íóëü (è íå áåñêîíå÷íîñòü, ñàìî ñîáîé)?Ìîæíî ïîñòàâèòü ýòîò âîïðîñ ïî-äðóãîìó.

Âîò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ(êàê-òî) ê íóëþ. Ìîæíî ëè åå äîìíîæèòü íà ÷òî-ëèáî ðàñòóùåå, ÷òîáû «ïîãàñèòü» ýòîñòðåìëåíèå ê íóëþ? Ïîëó÷èâ, òåì ñàìûì, ÷òî-íèáóäü êîíå÷íîå è îòëè÷íîå îò íóëÿ âïðåäåëå?√ Sn − n E ξ1Sn − n E ξ1√Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óæå, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, n·, íå ñõîäèòñÿ ênníóëþ. Ðàñïðåäåëåíèå ýòîé, çàâèñÿùåé îò n, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòàíîâèòñÿ âñå áîëååïîõîæå íà íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå! Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, íî ñõîäèòñÿ íå ïîâåðîÿòíîñòè, à òîëüêî â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé, èëè «ñëàáîé ñõîäèìîñòè».14.2 Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòüÏóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.

â. {ξn }, çàäàíî íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå F ñôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ è ξ — ïðîèçâîëüíàÿ ñ. â., èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå F.Îïðåäåëåíèå 52. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. {ξn } ïðè n → ∞ сходитсяслабо èëè по распределению ê ñ. â. ξ, èëè ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â.слабо сходится к распределению F, èëè ãîâîðÿò, ÷òî распределения с. в. {ξn } слабосходятся к распределению F, è ïèøóò:ξn ⇒ ξ, èëè Fξn ⇒ Fξ , èëè ξn ⇒ F,åñëè äëÿ ëþáîãî x òàêîãî, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ íåïðåðûâíà â òî÷êå x, èìååòìåñòî ñõîäèìîñòü Fξn (x) → Fξ (x) ïðè n → ∞.Èíà÷å ãîâîðÿ, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü — ýòî ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.78Необходимо заметить, что запись «ξn ⇒ ξ» удобна, но не всегда разумна: если «предельную» с.

в. ξ заменить на другую с. в. η с тем же распределением, ничего неизменится: в том же смысле ξn ⇒ η. Поэтому слабая сходимость все же не естьсходимость случайных величин, и ей нельзя оперировать как сходимостями п.н. и повероятности, для которых предельная с.в. единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî î÷åâèäíî. Åñëè íåò - âàì íóæíî âåðíóòüñÿ ê ðàçäåëó 7 è âñïîìíèòü, ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñâîéñòâî 18. Åñëè ξn ⇒ ξ, è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ íåïðåðûâíà â òî÷êàõ a è b,òî P(ξn ∈ [a, b]) → P(ξ ∈ [a, b]) è ò.ä.

(продолжить ряд). Íàîáîðîò, åñëè âî âñåõ òî÷êàõa è b íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, ñõîäèìîñòüP(ξn ∈ [a, b]) → P(ξ ∈ [a, b]), òî ξn ⇒ ξ.Ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî óòî÷íÿåò îòíîøåíèÿ ìåæäó ñõîäèìîñòÿìè.Ñâîéñòâî 19.p1. Åñëè ξn −→ ξ, òî ξn ⇒ ξ.p2. Åñëè ξn ⇒ c = const, òî ξn −→ c.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå ñâîéñòâî ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì.Äîêàæåì, ÷òî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ê ïîñòîÿíííîé âëå÷åò ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè.Ïóñòü(0, x 6 c;Fξn (x) → Fc (x) =1, x > cïðè ëþáîì x, ÿâëÿþùåìñÿ òî÷êîé íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè Fc (x), òî åñòüïðè âñåõ x 6= c.Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è äîêàæåì, ÷òî P(|ξn − c| 6 ε) → 1.

Ðàñêðîåì ìîäóëü:P(−ε 6 ξn − c 6 ε) = P(c − ε 6 ξn 6 c + ε) >(ñóæàåì ñîáûòèå ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè)> P(c − ε 6 ξn < c + ε) = Fξn (c + ε) − Fξn (c − ε) → Fc (c + ε) − Fc (c − ε) = 1 − 0 = 1,ïîñêîëüêó â òî÷êàõ c ± ε ôóíêöèÿ Fc íåïðåðûâíà, è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Fξn (c ± ε) ê Fc (c ± ε).Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî P(|ξn − c| 6 ε) íå áûâàåò áîëüøå 1, òàê ÷òî ïî ëåììå î äâóõìèëèöèîíåðàõ P(|ξn − c| 6 ε) → 1.Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïðèâîäèò ïðèìåð îïåðàöèé, êîòîðûå ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ñëàáîñõîäÿùèìñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì — ñêàæåì, äîìíîæàòü èõ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ñõîäÿùèåñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîñòîÿííûì âåëè÷èíàì.Желание написать «если ξn ⇒ ξ и ηn ⇒ η, то ξn + ηn ⇒ ξ + η» сразу проходит, стоитперевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое«функция распределения суммы ξ + η», когда вместо них можно брать любые другиеξ˜ и η̃ с теми же распределениями, как угодно зависимые.

Иное дело — когда одно изпредельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммыили произведения определена однозначно.Ñâîéñòâî 20.p1. Åñëè ξn −→ c = const è ηn ⇒ η, òî ξn · ηn ⇒ cη.p2. Åñëè ξn −→ c = const è ηn ⇒ η, òî ξn + ηn ⇒ c + η.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè ηn ⇒ η, òî cηn ⇒ cη, c + ηn ⇒ c + η(доказать! ). Ïîýòîìó (è â ñèëó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè)79äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñâîéñòâà 20 ïðè c = 1, à âòîðîå óòâåðæäåíèå— ïðè c = 0.pÄîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå, îñòàâèâ ïåðâîå ÷èòàòåëþ. Ïóñòü ξn −→ 0 è ηn ⇒ η.Äîêàæåì, ÷òî ξn + ηn ⇒ η. Ïóñòü x0 — òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fη (x). Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî òîãäà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü Fξn +ηn (x0 ) → Fη (x0 ).Çàôèêñèðóåì äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîå ε > 0 òàêîå, ÷òî Fη (x) íåïðåðûâíà â òî÷êàõ x0 ± ε.Fξn +ηn (x0 ) = P(ξn + ηn < x0 ) = P(ξn + ηn < x0 , |ξn | > ε) + P(ξn + ηn < x0 , |ξn | 6 ε) = P1 + P2 .Îöåíèì P1 + P2 ñâåðõó è ñíèçó.

Äëÿ P1 èìååì: 0 6 P1 = P(ξn + ηn < x0 , |ξn | > ε) 6 P(|ξn | >ε), è ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü ìîæåò áûòü âûáîðîì n ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî ìàëîé.Äëÿ P2 , ñ îäíîé ñòîðîíû,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε 6 ξn 6 ε) 6 P(−ε + ηn < x0 ) = P(ηn < x0 + ε).Çäåñü ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî ñîîáðàæåíèÿ:если −ε 6 ξn и ξn + ηn < x0 , то, тем более, −ε + ηn < x0 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε 6 ξn 6 ε) > P(ε + ηn < x0 , −ε 6 ξn 6 ε) >> P(ε + ηn < x0 ) − P(|ξn | > ε) = P(ηn < x0 − ε) − P(|ξn | > ε).Çäåñü ïåðâîå íåðàâåíñòâî îáúÿñíÿåòñÿ âêëþ÷åíèåì {ε + ηn < x0 } ∩ {−ε 6 ξn 6 ε} ⊂{ξn + ηn < x0 } ∩ {−ε 6 ξn 6 ε} — ïðîñòî çàìåíèì â ñîáûòèè {ε + ηn < x0 } ÷èñëî ε íà ξn ,òàê êàê ξn 6 ε.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
753,04 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции Теория веротяностей
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее