lect-terver (1082434), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. . , ξ1 > ξn ),nòî åñòü «â ñðåäíåì â 1/n ñëó÷àåâ ìàêñèìóì ñîâïàäàåò ñ âûáðàííîé âàìè ñðåäè ξ1 , . . . , ξnâåëè÷èíîé».Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîáðàæåíèÿìè ñèììåòðèè, ðàçáèâ âñå ïðîñòðàíñòâî Ω íà íå(ñêîëüêî?) ðàâíîâåðîÿòíûõ ñîáûòèé òèïà {ξ1 > ξ2 , . . .
, ξ1 > ξn } èíåñêîëüêî ñîáûòèé íóëåâîé âåðîÿòíîñòè, âêëþ÷àþùèõ âîçìîæíûå ðàâåíñòâà. Âñïîìíèòü, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ äâå (èëè áîëüøå) èç {ξi } ñîâïàäàþò (íàðèñîâàòü ñîáûòèå{ξ1 = ξ2 } â êâàäðàòå íà ïëîñêîñòè).Ëåììà ¹ N. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ϕn = max{ξ1 , . . . , ξn } èψn = min{ξ1 , . . . , ξn } ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî,nnFϕn (x) = Fξ1 (x)è Fψn (x) = 1 − 1 − Fξ1 (x) .Äîêàçàòåëüñòâî.
Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fϕn (x). Ìàêñèìóì èç n âåëè÷èíìåíüøå x òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ èç ýòèõ âåëè÷èí ìåíüøå x.íåçàâèñ.Fϕn (x) = P max{ξ1 , . . . , ξn } < x = P ξ1 < x, . . . , ξn < x= P ξ1 < x · . . . · P ξn < xîä.ðàñïðåä.=P ξ1 < xn=n= Fξ1 (x) .Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fψn (x). Ìèíèìóì èç n âåëè÷èí не меньше x òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ èç ýòèõ âåëè÷èí íå ìåíüøå x.95Fψn (x) = P min{ξ1 , . . . , ξn } < x = 1 − P min{ξ1 , . . .
, ξn } > x == 1 − P ξ1 > x, . . . , ξn > x = 1 − P ξ1 > x · . . . · P ξn > x = nn= 1 − P ξ1 > x= 1 − 1 − Fξ1 (x) .Ïðèìåð ¹ N. Ïóñòü ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . . íåçàâèñèìû è èìåþò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 1]. Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. ϕ1 = ξ1 ,ϕ2 = max{ξ1 , ξ2 }, . . . , ϕn = max{ξ1 , .
. . , ξn }, . . . ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïðàâîìó êîíöóîòðåçêà — ê 1. Íå óïîòðåáëÿÿ òåðìèí «ïîñëåäîâàòåëüíîñòü», ìîæíî ïðîèçíåñòè ýòîóòâåðæäåíèå òàê: «ìàêñèìóì èç ïåðâûõ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ðîñòîì n ñõîäèòñÿ êåäèíèöå ïî âåðîÿòíîñòè».Åñòü êàê ìèíèìóì äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà:Ñïîñîá 1. Ïî îïðåäåëåíèþ. Ïóñòü ε > 0. Íàéäåì P(|ϕn − 1| > ε). Çàìåòèì, ÷òî ϕn 6 1,ïîñêîëüêó ýòî ìàêñèìóì èç ñ.
â., ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ íà îòðåçêå [0, 1] (êðàéíÿÿïðàâàÿ èç «êîîðäèíàò n òî÷åê, áðîøåííûõ íàóäà÷ó íà [0,1] íåçàâèñèìî äðóã îòäðóãà»). ÏîýòîìóP |ϕn − 1| > ε = P 1 − ϕn > εÄëÿ òîãî, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäíåé âåðîÿòíîñòè ê íóëþ, ìîæíî ååëèáî íàéòè, ëèáî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûø¸âà (Ìàðêîâà).1(à). Íàéäåì ýòó âåðîÿòíîñòü.P 1 − ϕn > ε = P 1 − ε > ϕn = P ϕn < 1 − ε = Fϕn (1 − ε).Äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [0, 1]0,x < 0;0, x < 0;n nFξ1 (x) = x, 0 6 x 6 1 ïîýòîìó Fϕn (x) = Fξ1 (x) = x , 0 6 x 6 11, x > 1,1,x > 1.À åñëè åùå çàìåòèòü, ÷òî 1 − ε < 1, òî(0,1 − ε < 0, òî åñòü ε > 1;P |ϕn − 1| > ε = Fϕn (1 − ε) =−→ 0n(1 − ε) , 0 6 1 − ε < 1, òî åñòü 0 < ε 6 1ïðè n → ∞.1(á).
Îöåíèì âåðîÿòíîñòü ñâåðõó. Ïîñêîëüêó 1 − ϕn > 0, ïî íåðàâåíñòâó Ìàðêîâà E (1 − ϕn )1 − E ϕn=.(27)P 1 − ϕn > ε 6εεÍàéäåì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñ. â. ϕn è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E ϕn .0,x < 0;Z10 n−1nfϕn (x) = Fϕn (x) = nxE ϕn = x nxn−1 dx =., 06x61n+100,x > 1;Ïîäñòàâëÿÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â íåðàâåíñòâî (27), ïîëó÷èìn1− 1 − E ϕn1n+1 =P 1 − ϕn > ε 6=→ 0 ïðè n → ∞.εε(n + 1) ε96Ñïîñîá 2. Èñïîëüçóåì ñâÿçü ñî ñëàáîé ñõîäèìîñòüþ. Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè кконстанте ðàâíîñèëüíà ñëàáîé ñõîäèìîñòè (ñâîéñòâî 19). Äîêàæåì ïîýòîìó, ÷òîϕn ñëàáî ñõîäèòñÿ ê åäèíèöå.
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿFϕn (x) ñõîäèòñÿ ê F1 (x) = P(1 < x) äëÿ ëþáîãî x 6= 1 (почему кроме 1??).Ïðè ëþáîì x 6= 1 èìååì:x < 0;0,nFϕn (x) = x , 0 6 x 6 11,x>1→(0, x 6 1F1 (x) =1, x > 1,è òîëüêî ïðè x = 1 ñõîäèìîñòè íåò: Fϕn (1) = 1, òîãäà êàê F1 (1) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ϕn ñõîäèòñÿ ñëàáî ê åäèíèöå, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ ê íåé æåïî âåðîÿòíîñòè.Óïðàæíåíèå ¹ N+1.
Äîêàçàòü (ñïîñîáàìè 1(à), 1(á) è 2), ÷òî, â óñëîâèÿõ ïðèìåðàN, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . . ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê íóëþ (ìû áóäåìãîâîðèòü «ìèíèìóì èç ïåðâûõ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ðîñòîì n ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïîâåðîÿòíîñòè»).Êðàñèâûõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ìàêñèìóìîì è ìèíèìóìîì, ñëèøêîì ìíîãî.
Ïðåäëàãàþ âàì ðåøèòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèå:Ïóñòü ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . . íåçàâèñèìû è èìåþò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íàîòðåçêå [a, b], ϕn = max{ξ1 , . . . , ξn }, ψn = min{ξ1 , . . . , ξn }. Äîêàçàòü, ÷òî1)n(b − ϕn ) ïðè n → ∞ ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ïîêàçàòåëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàb−aìåòðîì 1;2)òî÷íî òàê æå ñåáÿ âåäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü3)ýòî íå óäèâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñ. â.
b − ϕn è ψn − a îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû;nïîñ÷èòàâ âåðîÿòíîñòü P(ψn > x, ϕn < y) = P(x 6 ξ1 < y) , ìîæíî ëåãêî íàéòèôóíêöèþ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ. â. ψn , ϕn è ñ åå ïîìîùüþ, íàïðèìåð, äîêàçàòü çàâèñèìîñòü ýòèõ ñ. â. (ïîñëåäíåå è òàê î÷åâèäíî, íå ïðàâäà ëè?)4)n(ψn − a);b−aÒåïåðü, íàêîíåö,ÏÎÐÀ ÈÇÓ×ÀÒÜ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÓ!97Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà[1] Ãíåäåíêî Á.
Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì., 1988.[2] ×èñòÿêîâ Â. Ï. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì., 1982.[3] Áîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì., 1986.[4] Êîëåìàåâ Â. À., Êàëèíèíà Â. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.Ì., Èíôðà-Ì, 1997.Íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ ïîòðåáóåòñÿ çàäà÷íèê:[5] Êîðøóíîâ Ä. À., Ôîññ Ñ.
Ã. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.Íîâîñèáèðñê, 1997.Äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå çàäà÷íèêè ñ îòâåòàìè èóêàçàíèÿìè:[6] Ñåâàñòüÿíîâ Á. À., ×èñòÿêîâ Â. Ï., Çóáêîâ À. Ì. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì., 1986.[7] Âåíòöåëü Å. Ñ., Îâ÷àðîâ Ë. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (Èçáðàííûå ãëàâû âûñøåéìàòåìàòèêè äëÿ èíæåíåðîâ è ñòóäåíòîâ âòóçîâ, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ). Ì., 1973.98.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
