lect-terver (1082434), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Âòîðîå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ:P(AB) 6 P(B),ïîýòîìóP(AB) = P(A) − P(AB) > P(A) − P(B).Èòàê, ìû ïîëó÷èëè îöåíêè ñíèçó è ñâåðõó äëÿ P1 + P2 , òî åñòü äëÿ Fξn +ηn (x0 ):P(ηn < x0 − ε) − P(|ξn | > ε) 6 Fξn +ηn (x0 ) 6 P(|ξn | > ε) + P(ηn < x0 + ε),èëèFηn (x0 − ε) − P(|ξn | > ε) 6 Fξn +ηn (x0 ) 6 P(|ξn | > ε) + Fηn (x0 + ε).Óñòðåìëÿÿ n ê áåñêîíå÷íîñòè, è âñïîìèíàÿ, ÷òî x0 ± ε — òî÷êè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ Fη , ïîëó÷èìFη (x0 − ε) 6 limFξn +ηn (x0 ) 6 limFξn +ηn (x0 ) 6 Fη (x0 + ε).È ïîñêîëüêó ýòè íåðàâåíñòâà âåðíû äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε, à x0 — òî÷êàíåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè Fη , òî, óñòðåìèâ ε ê íóëþ, ïîëó÷èì, ÷òî íèæíèé è âåðõíèéïðåäåëû Fξn +ηn (x0 ) ïðè n → ∞ ñîâïàäàþò è ðàâíû Fη (x0 ).Íåñêîëüêî ñîäåðæàòåëüíûõ ïðèìåðîâ ñëàáîé ñõîäèìîñòè ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùåé ãëàâå.
Íî îñíîâíîé èñòî÷íèê ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è íåîáû÷àéíîìîùíîå è óíèâåðñàëüíîå ñðåäñòâî äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà распределений суммíåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðåäîñòàâëÿåò íàìÖÅÍÒÐÀËÜÍÀß14.3ÏÐÅÄÅËÜÍÀßÒÅÎÐÅÌÀÖåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÌû áóäåì íàçûâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå «ÖÏÒ À. Ì. Ëÿïóíîâà» (1901), íîñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó Ëÿïóíîâà òîëüêî в частном случае — äëÿ ïîñëåäî-80âàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 32 (ÖÏÒ).Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ êîíå÷íîé è íåíóëåâîé äèñïåðñèåé: 0 < D ξ1 < ∞.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Snñóììó ïåðâûõ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: Sn = ξ1 + . . . + ξn . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüSn − n E ξ1ñ. â. √ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.n D ξ1Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì è ñâîéñòâàìè ñëàáîé ñõîäèìîñòè, è çàìåòèâ, ÷òî ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ Φa,σ2 (x) ëþáîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà íåïðåðûâíà âñþäó íà R (ïî÷åìó?),óòâåðæäåíèå ÖÏÒ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ëþáûì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ:Ñëåäñòâèå 19. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . .
. — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ êîíå÷íîé è íåíóëåâîé äèñïåðñèåé. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó è ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèþ ÖÏÒ.• Äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ x < y ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüSn − n E ξ1<yP x< √n D ξ1→ Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) =Zyx12√e−t /2 dt;2π• Äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ x < y ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüSn − n E ξ1P x6 √6yn D ξ1→ Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) =Zyx12√e−t /2 dt;2π• Äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ x < y ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüSn − n E ξ1√P x66yn1→ Φ0,D ξ1 (y) − Φ0,D ξ1 (x) = √D ξ1Zyx12√e−t /2 dt;2π• Åñëè η — ïðîèçâîëüíàÿ ñ. â. ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, òîp√Sn − n E ξ1Sn − n E ξ1Sn√√⇒η ⊂= N0,1 ,n− E ξ1 =⇒ D ξ1 · η ⊂= N0,D ξ1 .nnn D ξ1Çàìå÷àíèå 25.
Åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà èùåòñÿ ëèáî ïî ñîîòâåòñòâóþùåé òàáëèöå â ñïðàâî÷íèêå, ëèáî ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, íî íèêàê íå ïóòåì íàõîæäåíèÿ ïåðâîîáðàçíîé.Ìû äîêàæåì ÖÏÒ è ÇÁ× â ôîðìå Õèí÷èíà íåñêîëüêèìè ãëàâàìè ïîçäíåå. Íàì ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ýòîãî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ìîùíûì ìàòåìàòè÷åñêèì èíñòðóìåíòîì, êîòîðûéâ ìàòåìàòèêå îáû÷íî íàçûâàþò «ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå», à â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé— «õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè».14.4 Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà — ËàïëàñàÏîëó÷èì â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ èç ÖÏÒ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó Ìóàâðà — Ëàïëàñà(P.
S. Laplace, 1812; A. de Moivre, 1730). Ïîäîáíî ÇÁ× Áåðíóëëè, ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÌóàâðà – Ëàïëàñà — óòâåðæäåíèå òîëüêî äëÿ схемы Бернулли.81Òåîðåìà 33 (Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà — Ëàïëàñà).Ïóñòü A — ñîáûòèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè â ëþáîì èç n íåçàâèñèìûõèñïûòàíèé ñ îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþ p = P(A).
Ïóñòü νn (A) — ÷èñëîνn (A) − npîñóùåñòâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Òîãäà p⇒ N0,1 . Èíà÷ånp(1 − p)ãîâîðÿ, äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ x < y ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü!Zyνn (A) − np12√P x6 p6 y → Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) =e−t /2 dt;2πnp(1 − p)xÄîêàçàòåëüñòâî. Ïî-ïðåæíåìó νn (A) åñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ. â., èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì, ðàâíûì âåðîÿòíîñòèóñïåõà p = P(A):(1, åñëè A ïðîèçîøëî â i − ì èñïûòàíèè;νn (A) = ξ1 + · · · + ξn , ξi = Ii (A) =0, åñëè A íå ïðîèçîøëî â i − ì èñïûòàíèè;E ξ1 = P(A) = p, D ξ1 = P(A)(1 − P(A)) = p(1 − p).Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ÖÏÒ.14.5Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ÖÏÒÏðèìåð 50.З а д а ч а èç ïðèìåðà 48.
Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ 10 000 ðàç. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ÷àñòîòà âûïàäåíèÿ ãåðáà îòëè÷àåòñÿ îò âåðîÿòíîñòè áîëåå ÷åì íà îäíó ñîòóþ. νn 1 PР е ш е н и е. Òðåáóåòñÿ íàéòè P − > 0,01 , ãäå n = 104 , νn = ni=1 ξi = Sn —n2÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà, à ξi — íåçàâèñèìûå ñ. â., èìåþùèå îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèåÁåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì 1/2. Äîìíîæèì îáå ÷àñòè√ íåðàâåíñòâà ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè√íà n = 100 è ïîäåëèì íà êîðåíü èç äèñïåðñèè D ξ1 = 1/2 îäíîãî ñëàãàåìîãî.
νn 1 νn 1 P − > 0,01 = 1 − P − 6 0,01 =n2n2 √ √ √ nn Snn Sn=1−P √− E ξ1 6 2 .=1−P √− E ξ1 6 0,01 √D ξ1D ξ1 nD ξ1 nÑîãëàñíî ÖÏÒ èëè ïðåäåëüíîé òåîðåìå Ìóàâðà — Ëàïëàñà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü√ Sn − n E ξ1nSn√− E ξ1 = √D ξ1 nn D ξ1ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñ. â. η, èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèå N0,1 . √ n νn1−P √ − E ξ1 6 2 ≈D ξ1 n≈ 1 − P (|η| 6 2) = 1 − (1 − 2Φ0,1 (−2)) = 2Φ0,1 (−2) = 2 · 0.0228 = 0.0456.Ðàâåíñòâî P (|η| 6 2) = 1 − 2Φ0,1 (−2) ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 10.82Çàìå÷àíèå 26.
Öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé ïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðèáëèæåííîãîâû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ ñóììàìè áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí. Ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèå öåíòðèðîâàííîé è íîðìèðîâàííîé ñóììû çàìåíÿþò íà ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàñêîëüêî âåëèêàîøèáêà ïðè òàêîé çàìåíå (ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ)?Óïðàæíåíèå 28. Êàêèå åùå ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè âû çíàåòå?×òî òàêîå òåîðåìà Ïóàññîíà? Íàéòè åå. Êàêîâà ïîãðåøíîñòü ïóàññîíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ? Âû÷èñëèòü åå. Îáúÿñíèòü, èñõîäÿ èç ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû, ïî÷åìó òåîðåìàÏóàññîíà íå ïðèìåíèìà â çàäà÷å èç ïðèìåðà 50. ïðèìåðå 50 ìû âû÷èñëèëè èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü òîæå íå òî÷íî, à ïðèáëèæåííî— âçãëÿíèòå íà ðàâåíñòâî «≈» è ñïðîñèòå ñåáÿ: íàñêîëüêî ìû îøèáëèñü? Ñòîèò ëèäîâåðÿòü îòâåòó «0.0456»? ×òî, åñëè ðàçíèöà ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè â ïðèáëèæåííîìðàâåíñòâå «≈» ïðåâîñõîäèò îòâåò íà ïîðÿäîê? Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò îöåíèòüïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ â ÖÏÒ.Òåîðåìà 34 (Íåðàâåíñòâî Áåððè – Ýññǻåíà). óñëîâèÿõ ÖÏÒ äëÿ ëþáîãî x ∈ R (то есть равномерно по x) E |ξ1 − E ξ1 |3 P Sn√− n E ξ1 < x − Φ0,1 (x) 6 C · √3 .√n D ξ1n D ξ1Çàìå÷àíèå 27.
Ïðî ïîñòîÿííóþ C èçâåñòíî, ÷òî:à) â îáùåì ñëó÷àå C íå ïðåâûøàåò 0.7655 (È. Ñ. Øèãàíîâ),á) ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ íàèáîëåå âåëèêà, åñëè√ñëàãàåìûå ξi èìåþò ðàñïðåäå10 + 3√ëåíèå Áåðíóëëè, è C â ýòîì ñëó÷àå íå ìåíüøå, ÷åì≈ 0.4097 (C. G. Esseen,6 2πÁ. À. Ðîãîçèí),â) êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû, ìîæíî ñìåëî áðàòü â êà÷åñòâå C ÷èñëî 0.4 — äàæå äëÿñëàãàåìûõ ñ ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè, îñîáåííî ïðè ìàëûõ n, êîãäà è ýòî çíà÷åíèåïîñòîÿííîé îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì ãðóáîé îöåíêîé.Подробный обзор можно найти в монографии В.
М. Золотарева «Современная теориясуммирования независимых случайных величин», стр. 264–291.Ïðîäîëæåíèå ïðèìåðà 50.Ïðîâåðüòå, ÷òî äëÿ ñ. â. ξ1 ñ ðàñïðåäåëåíèåì ÁåðíóëëèE |ξ1 − E ξ1 |3 = |0 − p|3 P(ξ1 = 0) + |1 − p|3 P(ξ1 = 1) = p3 q + q 3 p = pq(p2 + q 2 ).Ïîýòîìó ðàçíèöà ìåæäó ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿìè ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà «≈» â ïðèìåðå 50 ïðè n = 104 è p = q = 1/2 íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíûp2 + q 21pq(p2 + q 2 )= 0.004,C · √ √ 3 = C · √ √ 6 0.4 ·100n pqn pq νn 1 òàê ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü P − > 0,01 íå áîëüøå, ÷åì 0.0456 + 0.004. Óìåñòíîn2ñðàâíèòü ýòîò îòâåò ñ îöåíêîé, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ÇÁ× â ïðèìåðå 48.83Ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà ñâÿçàíà ñ ðàñïðîñòðàíåííåéøèì íà ÝÔ è ÌÌÔ ÍÃÓ çàáëóæäåíèåì, êîòîðîå ìîæíî îáðàçíî ïåðåäàòü àôîðèçìîì:SnSnP< E ξ1 −→ P (E ξ1 < E ξ1 ) = 0, íî P6 E ξ1 −→ P (E ξ1 6 E ξ1 ) = 1.n→∞n→∞nnÏðèìåð 51.З а д а ч а.
Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ êîíå÷íîé è íåíóëåâîé äèñïåðñèåé, Sn = ξ1 + · · · + ξn — ñóììà ïåðâûõ nñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðè êàêèõ c èìååò èëè íå èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüSnP< c → P (E ξ1 < c) ?nР е ш е н и е.Ñîãëàñíî ÇÁ×, ïîñëåäîâàòåëüíîñòüSnñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè (à,nñëåäîâàòåëüíî, è слабо) ê E ξ1 . Ñëàáàÿñõîäèìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fn (c) =SnP< c ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (c) = P (E ξ1 < c), åñëè F (x) íåïðåðûâíànâ òî÷êå c (è íè÷åãî íå îçíà÷àåò, åñëè F (x) ðàçðûâíà â òî÷êå c). Íî(0, c 6 E ξ1 ;F (c) = P (E ξ1 < c) =1, c > E ξ1åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûðîæäåííîãî çàêîíàâ ëþáîé òî÷êå c, è íåïðåðûâíàSnêðîìå c = E ξ1 . Èòàê, ïåðâûé âûâîä: ñõîäèìîñòü P< c → P (E ξ1 < c) èìååò ìåñòînäëÿ ëþáîãî c, êðîìå, âîçìîæíî, c = E ξ1 .
Óáåäèìñÿ, ÷òî äëÿ c = E ξ1 òàêîé ñõîäèìîñòèáûòü íå ìîæåò. Ïóñòü η ⊂= N0,1 . Ñîãëàñíî ÖÏÒ, √ Snn Sn1< E ξ1 = P √− E ξ1 < 0 → P(η < 0) = Φ0,1 (0) = 6= P (E ξ1 < E ξ1 ) = 0.Pn2D ξ1 nSn1Àíàëîãè÷íî, êñòàòè, âåäåò ñåáÿ è âåðîÿòíîñòü P6 E ξ1 . Îíà òîæå ñòðåìèòñÿ ê ,n2à íå ê P (E ξ1 6 E ξ1 ) = 1.È èçÿùíîå óïðàæíåíèå íà òó æå òåìó:Óïðàæíåíèå 29. Äîêàçàòü, ÷òîlimn→∞0.999999nZ0limZnlim01.000001nZn→∞n→∞1y n−1 e−y dy = 0;(n − 1)!11y n−1 e−y dy = ;(n − 1)!201y n−1 e−y dy = 1.(n − 1)!У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
