lect-terver (1082434), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ðàâåí ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êàêèì-òî ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì â íåêîòîðîéòî÷êå. Âñïîìíèòü, ÷òî òàêîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå è ÷òî òàêîå «óñòîé÷èâîñòü îòíîñèòåëüíî ñóììèðîâàíèÿ».84Ðàçäåë 15.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè√Âñþäó â ýòîé ãëàâå i = −1 — ìíèìàÿ åäèíèöà, t — âåùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ,eit = cos t + i sin t — ôîðìóëà Ýéëåðà, E(η + iζ) = Eη + i Eζ — ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η + iζ, åñëè ìàòåìàòè÷åñêèåîæèäàíèÿ åå äåéñòâèòåëüíîé ( η ) è ìíèìîé ( ζ ) ÷àñòåé ñóùåñòâóþò.Êàê âñåãäà, ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iy íàçûâàåòñÿ |z| =÷òî eit = 1.px2 + y 2 , òàêÎïðåäåëåíèå 53.
Ôóíêöèÿ ϕξ (t) = E eitξ íàçûâàåòñÿ характеристической функциейñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.15.1 Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿÏðèìåð 52. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p. Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (õ. ô.) ðàâíàϕξ (t) = E eitξ = eit·0 P(ξ = 0) + eit·1 P(ξ = 1) = 1 − p + peit .Ïðèìåð 53. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p.Åå õ. ô. ðàâíàϕξ (t) = E eitξ =nXeit·k P(ξ = k) =k=0nXeit·k Cnk pk (1 − p)n−k =k=0=nXCnk peitk=0k(1 − p)n−k = 1 − p + peitn.Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñóòü áèíîì Íüþòîíà.Ïðèìåð 54. Ïóñòü ñ. â.
ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. Åå õ. ô.ðàâíàitξϕξ (t) = E e=∞Xit·keP(ξ = k) =k=0∞Xeit·kk=0λk −λe =k!−λ=e∞Xλeitk!k=0kit= e−λ eλe = exp{λ eit − 1 }.Ïðèìåð 55. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α. Ååõ.
ô. ôóíêöèÿ ðàâíàitξϕξ (t) = E e=Z∞0it·xefξ (x) dx =Z∞itxeαe−αxdx =0Z∞αe−x(α−it) dx =0α=α − it∞ α=,α − it0−x(α−it) −eïîñêîëüêóx → ∞ ìîäóëü âåëè÷èíû e−x(α−it) = e−αx · eitx ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: −x(α−it) ïðèe = e−αx → 0.85Ïðèìåð 56. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α, λ. Åå õ.
ô.ðàâíàϕξ (t) = E eitξ =Z∞eit·x fξ (x) dx =0Z∞eitxαλ λ−1 −αxxedx =Γ(λ)0αλ=Γ(λ)Z∞xλ−1 e−x(α−it) dx =0αα − itλ=1−itα−λ.Èíòåãðàë ìû âû÷èñëèëè ñ ïîìîùüþ ãàììà-ôóíêöèè Ýéëåðà:Z∞λ−1 −x(α−it)xe1dx =λ(α − it)0Z∞(x(α − it))λ−1 e−x(α−it) dx(α − it) =0Γ(λ)(α − it)λ.Ïðèìåð 57. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Åå õ. ô.ðàâíà1ϕξ (t) = √2πZ∞eitx e−x2 /2dx =−∞1=√2πZ∞−t2 /2 −(x−it)2 /2ee−t2 /2dx = e−∞1√2πZ∞e−(x−it)2/22 /2d(x − it) = e−t.−∞Êàê âñåãäà, ïðè èíòåãðèðîâàíèè ìû âûäåëèëè ïîëíûé êâàäðàò â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû12è âñïîìíèëè, ÷åìó ðàâåí èíòåãðàë ïî âñåé ïðÿìîé îò ôóíêöèè √ e−u /2 .
А чему он2πравен?Ñàìîå âðåìÿ îñòàíîâèòüñÿ è ñïðîñèòü: "Íó è ÷òî? Çà÷åì íàì ýòè ôóíêöèè è êàêîéîò íèõ ïðîê?" Ïðèãëàøàþ ÷èòàòåëÿ ïîçíàêîìèòüñÿ ñ çàìå÷àòåëüíûìè ñâîéñòâàìè õ. ô.15.2 Ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèéÔ1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âñåãäà ñóùåñòâóåò:|ϕξ (t)| = |E eitξ | 6 E |eitξ | = E 1 = 1Ïîëåçíî âñïîìíèòü, ÷òî îáû÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñóùåñòâóþò íå ó âñåõðàñïðåäåëåíèé.Ô2.Ïî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå(ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå ïëîòíîñòü èëè òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ).
Òî åñòüåñëè äâå ñ. â. èìåþò îäèíàêîâûå õ. ô., òî è ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ ñ. â. ñîâïàäàþò.Ôîðìóëû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ýòî äåëàåòñÿ, â àíàëèçå íàçûâàþò ôîðìóëàìè «îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå». Íàïðèìåð, åñëè ìîäóëü õ. ô. èíòåãðèðóåì íà âñåé ïðÿìîé, òî ó ñ. â.
åñòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, è îíà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (ïðîâåðüòåíà ïðèìåðå ïðèìåðà 57)1fξ (x) =2πZ∞e−itx ϕξ (t) dt.−∞Íè îäíà èç ôîðìóë îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íàì íå ïîíàäîáèòñÿ.86Ô3. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ. â. a + bξ ñâÿçàíà ñ õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξðàâåíñòâîìϕa+bξ (t) = E eit(a+bξ) = eita ϕξ (tb).Ïðèìåð 58.
Âû÷èñëèì õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåξ−aäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 . Ìû çíàåì, ÷òî ó ñòàíäàðòèçîâàííîé ñ. â. ζ =σ2õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà ϕζ (t) = e−t /2 . Òîãäà õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûξ = a + σζ ðàâíàt2 σ 2itaita −(tσ)2 /2ϕξ (t) = ϕa+σζ (t) = e ϕζ (tσ) == e e= exp ita −.2Ô4. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ суммы независимых с. в.
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëàãàåìûõ: åñëè ñ. â. ξ è η íåçàâèñèìû, òî, ïî ñâîéñòâó E6ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéϕξ+η (t) = E eit(ξ+η) = E eitξ E eitη = ϕξ (t) ϕη (t).Ýòèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ìû ñðàçó æå âîñïîëüçóåìñÿ, êàê îáåùàëè, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 6, óòâåðæäàþùåé óñòîé÷èâîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñóììèðîâàíèÿ.Ïðèìåð 59.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ ⊂= Na1 ,σ12 è η ⊂= Na2 ,σ22 íåçàâèñèìû.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ ñóììû ξ + η ðàâíàt2 σ22t2 (σ12 + σ22 )t2 σ12exp ita2 −= exp it(a1 + a2 ) −.ϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = exp ita1 −222Òî åñòü õ. ô. ñóììû åñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñïàðàìåòðàìè a1 + a2 , σ12 + σ22 . Òîãäà ξ + η ⊂= Na1 +a2 ,σ12 +σ22 ïî ñâîéñòâó Φ 2.Ïðèìåð 60. Äîêàæåì ñâîéñòâà óñòîé÷èâîñòè ïî ñóììèðîâàíèþ áèíîìèàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ, ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà è ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (ëåììû 4, 5, 7), èñïîëüçóÿ âû÷èñëåííûå â ïðèìåðàõ 52–56 õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè.Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñ. â.
ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè Ïóàññîíà Πλ è Πµ õ. ô. ñóììûϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = exp λ eit − 1 exp µ eit − 1 = exp (λ + µ) eit − 1ðàâíà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ + µ.Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñ. â. ñ áèíîìèàëüíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè Bn,p è Bm,p õ. ô. ñóììûnmn+mϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = 1 − p + peit1 − p + peit= 1 − p + peit.ðàâíà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèn + m, p.Äëÿ n íåçàâèñèìûõ ñ.
â. ñ ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Eα õ. ô. ñóììûn it −nαn= 1−ϕξ1 +···+ξn (t) = (ϕξ1 (t)) =α − itαðàâíà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè α, n.87Ô5.Ïóñòü ñóùåñòâóåò ìîìåíò ïîðÿäêà k = 1, 2, . . . ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, òî åñòüE|ξ|k < ∞. Òîãäà åå õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕξ (t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà k ðàç, è åå k-ÿ ïðîèçâîäíàÿ в нуле ñâÿçàíà ñ ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ðàâåíñòâîì: k d(k)itξk k itξ kkϕξ (0) =Ee = Ei ξ e = i Eξ .d tkt=0t=0Ñóùåñòâîâàíèå è íåïðåðûâíîñòü k-é ïðîèçâîäíîé, ðàâíî êàê è çàêîííîñòü ïåðåíîñàïðîèçâîäíîé ïîä çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì.Óïðàæíåíèå 30. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñ.
â. ξ ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëådefíèåì ìîìåíò ÷åòíîãî ïîðÿäêà 2k ðàâåí E ξ 2k = (2k − 1)!! = (2k − 1) · (2k − 3) · . . . · 3 · 1.Äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî âñå ìîìåíòû íå÷åòíûõ ïîðÿäêîâ ñòàíäàðòíîãîíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâóþò è ðàâíû íóëþ.Êàê òîëüêî ïîÿâèëèñü ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ, ñàìîå âðåìÿ ðàçëîæèòü ôóíêöèþ â ðÿä Òåéëîðà.Ô6.Ïóñòü ñóùåñòâóåò ìîìåíò ïîðÿäêà k = 1, 2, . . . ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, òî åñòüE|ξ|k < ∞.
Òîãäà åå õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕξ (t) â îêðåñòíîñòè òî÷êè t = 0ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðàϕξ (t) = ϕξ (0) +kXtjj=1j!(j)ϕξ (0) + o(|tk |) = 1 +kXij tjj=1j!E ξ j + o(|tk |) == 1 + it E ξ −t2ik tkE ξ2 + . . . +E ξ k + o(|tk |).2k!Ðÿäû Òåéëîðà, êàê ïðàâèëî, âîçíèêàþò ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå. Ñëåäóþùååîñíîâíîå ñâîéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîòðåáóåòñÿ íàì äëÿ äîêàçàòåëüñòâàïðåäåëüíûõ òåîðåì, è ýòî ñâîéñòâî — ïîñëåäíÿÿ òåîðåìà, îñòàâëåííàÿ íàìè áåçäîêàçàòåëüñòâà.Òåîðåìà 35 (Òåîðåìà î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξn ñëàáîñõîäÿòñÿ ê ñ. â. ξ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî t õàðàêòåðèñòè÷åñêèåôóíêöèè ϕξn (t) ñõîäÿòñÿ ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ϕξ (t).Ñôîðìóëèðîâàííàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò íåïðåðûâíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êëàññàìè hFξ , ⇒ i ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñî ñëàáîé ñõîäèìîñòüþ è hϕξ , →i õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñî ñõîäèìîñòüþ â êàæäîé òî÷êå.
«Íåïðåðûâíîñòü» ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ— â òîì, ÷òî ïðåäåëó â îäíîì êëàññå îòíîñèòåëüíî çàäàííîé â ýòîì êëàññå ñõîäèìîñòèñîîòâåòñòâóåò ïðåäåë â äðóãîì êëàññå îòíîñèòåëüíî ñõîäèìîñòè, çàäàííîé â ýòîì êëàññå.Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè è äîêàçàòüÇÁ× â ôîðìå Õèí÷èíà è ÖÏÒ.8815.3Äîêàçàòåëüñòâî ÇÁ× Õèí÷èíàÏóñòü ξ1 , ξ2 , . . . — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì первым ìîìåíòîì E|ξ1 | < ∞.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç a ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Eξ1 . Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîSnξ1 + · · · + ξn p=−→ a.nnÏî ñâîéñòâó 19 ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè к постоянной ýêâèâàëåíòíà ñëàáîé ñõîSnäèìîñòè. Òàê êàê a — ïîñòîÿííàÿ, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëàáóþ ñõîäèìîñòü=nξ1 + · · · + ξn⇒ a. Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè, ýòà ñõîäèìîñòü èìååò ìåñòî,nåñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáîãî t ∈ R ñõîäÿòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèèϕSn /n (t) → ϕa (t) = E eita = eita .SnÍàéäåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñ.
â.. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè Ô3 è Ô4, ïîëón÷èì nt Φ4tΦ3ϕSn /n (t) = ϕSn= ϕ ξ1.nnÂñïîìíèì, ÷òî ïåðâûé ìîìåíò ξ1 ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ñâîéñòâî Ô6 ïîçâîëÿåò ðàçëîæèòüϕξ1 (t) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íóëÿ ϕξ1 (t) = 1 + it E ξ1 + o(|t|) = 1 + ita + o(|t|).
 òî÷êåt/n, ñîîòâåòñòâåííî, n ntttitatitaϕ ξ1= 1++o ,ϕSn /n (t) = ϕξ1= 1++ o .nnnnnnx nÏðè n → ∞, ïîëüçóÿñü «çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì» 1 +→ ex , ïîëó÷èìn ntitaϕSn /n (t) = 1 ++ o → eita ,nn÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.15.4Äîêàçàòåëüñòâî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìûÏóñòü ξ1 , ξ2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
