lect-terver (1082434), страница 16
Текст из файла (страница 16)
6 P(|ξ| > M ) + P M · |ηn − η| > ε/3 = P(|ξ| > M ) + P |ηn − η| > ε/3M .Îñòàëîñü äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî M > 0 óñòðåìèòü n ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èâ äëÿâåðõíåãî ïðåäåëà îöåíêó lim P(An ) 6 P(|ξ| > M ), ïîñëå ÷åãî ìû ìîæåì óñòðåìèòü ên→∞áåñêîíå÷íîñòè M , ïîëüçóÿñü «õîðîøèì ñâîéñòâîì».Óïðàæíåíèå 25. Âîñïîëíèòü âñå ïðîïóùåííûå ïîäðîáíîñòè â äîêàçàòåëüñòâå.Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, òàê æå êàê è ëþáàÿ äðóãàÿ ñõîäèìîñòü, íå ïîðòèòñÿ ïîääåéñòâèåì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.Ñâîéñòâî 17.ppÅñëè ξn −→ ξ è g — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî g(ξn ) −→ g(ξ).ppÅñëè ξn −→ c è g íåïðåðûâíà â òî÷êå c, òî g(ξn ) −→ g(c).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ïðåäëîæèòü âäâóõ ñëó÷àÿõ (êîòîðûìè ìû è îãðàíè÷èìñÿ, ïðåäîñòàâèâ âñå îñòàëüíîå ÷èòàòåëþ, çíàêîìîìó, íàïðèìåð, ñ òåîðåìîé Åãîðîâà): если ξ = c = const (è òîãäà äîñòàòî÷íî, ÷òîáû71g áûëà íåïðåðûâíà â òî÷êå c) èëè если функция g равномерно непрерывна (а что этозначит? ).È â òîì, è â äðóãîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãîω, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ |ξn (ω) − ξ(ω)| < δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |g(ξn (ω)) −g(ξ(ω))| < ε.Òî åñòü ñîáûòèå |ξn −ξ| < δ âëå÷åò ñîáûòèå |g(ξn (ω))−g(ξ(ω))| < ε .
Ñëåäîâàòåëüíî,âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî íå áîëüøå, ÷åì âåðîÿòíîñòü âòîðîãî. Íî, êàêîå áû íè áûëî δ >0, âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî ñîáûòèÿ ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå ïî îïðåäåëåíèþ ñõîäèìîñòè ïîâåðîÿòíîñòè:1 ←− P |ξn − ξ| < δ 6 P |g(ξn (ω)) − g(ξ(ω))| < ε 6 1.Ñëåäîâàòåëüíî, è âåðîÿòíîñòü âòîðîãî ñîáûòèÿ òàêæå ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå.Ïðåäëàãàþ ïîðàçìûøëÿòü íà òåìó: â êàêîì ìåñòå äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîëèáî g ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà, ëèáî ξ — ïîñòîÿííàÿ.
È íàä òåì, êàê äîêàçûâàòüïåðâóþ ÷àñòü ñâîéñòâà 17 â îáùåì ñëó÷àå.×òîáû äîêàçûâàòü ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, ìîæíî ïðîñòî óìåòü âû÷èñëÿòüP (|ξn − ξ| > ε) ïðè áîëüøèõ n. Íî äëÿ ýòîãî íóæíî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ξn , ÷òî íå âñåãäàâîçìîæíî. Ñêàæåì, ξn ìîæåò áûòü ñóììîé (èëè åùå õóæå :-) íåñêîëüêèõ äðóãèõ ñ.
â.,ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ íå óñòîé÷èâû ïî ñóììèðîâàíèþ, è âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèåèõ ñóììû ïî ôîðìóëå ñâåðòêè èëè êàê-òî åùå áûâàåò ñëèøêîì ñëîæíî.Åñëè áû ìû èìåëè íåðàâåíñòâà, ïîçâîëÿþùèå îöåíèòü P (|ξn − ξ| > ε) ñâåðõó ÷åìëèáî, ÷òî ìû óìååì óñòðåìëÿòü ê íóëþ è ÷òî ïðîùå âû÷èñëÿåòñÿ, òî ñõîäèìîñòü ïîâåðîÿòíîñòè ìû ïîëó÷èëè áû ïî ëåììå î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ: 0 6 P(...) 6 ... → 0. Èòàê,íåðàâåíñòâà Ï. Ë. ×åáûø¸âà.13.2Íåðàâåíñòâà ×åáûø¸âàÂñå íåðàâåíñòâà â ýòîì ïàðàãðàôå ïðèíÿòî îòíîñèòü ê îäíîìó êëàññó, íàçûâàåìîìó «íåðàâåíñòâàìè ×åáûø¸âà».
Ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî ÷àñòî íàçûâàþò ñîáñòâåííîíåðàâåíñòâîì ×åáûø¸âà, õîòÿ â òàêîé ôîðìå îíî ïîÿâèëîñü âïåðâûå, âèäèìî, â ðàáîòàõÀ. À. Ìàðêîâà (íàïðèìåð, Èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé, 1913 ã.).Òåîðåìà 28 (Íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà).Åñëè E |ξ| < ∞, òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî x E |ξ|P |ξ| > x 6.xÄîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξx , íàçûâàåìóþ «ñðåçêîé» ñ.
â.|ξ| íà óðîâíå x:(|ξ|, åñëè |ξ| 6 x,1) ξx 6 |ξ|, è, ñëåäîâàòåëüíî,ξx =Äëÿ íå¸2) E ξx 6 E |ξ|.x,åñëè |ξ| > x.Íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.Îïðåäåëåíèå 50. Ïóñòü A — íåêîòîðîå ñîáûòèå. Íàçîâåì индикатором события Añëó÷àéíóþ âåëè÷èíó I(A), ðàâíóþ åäèíèöå, åñëè ñîáûòèå A ïðîèçîøëî, è íóëþ, åñëè Aíå ïðîèçîøëî.Ïî îïðåäåëåíèþ, I(A) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp ñ ïàðàìåòðîì p = P(I(A) =1) = P(A), è åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî âåðîÿòíîñòè óñïåõà p = P(A).72Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξx ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ξx = |ξ| · I(|ξ| 6 x) + x · I(|ξ| > x)(проверьте!).ÒîãäàE ξx = E |ξ| · I |ξ| 6 x+ E x · I |ξ| > x > E x · I |ξ| > x = x · P |ξ| > x .(21)|{z}íåîòðèöàòåëüíî, îòáðîñèìÂñïîìíèì, ÷òî E |ξ| > E ξx , è îöåíèì E ξx ñíèçó ñîãëàñíî (21):E |ξ| > E ξx > x · P |ξ| > x .Èòàê, x · P |ξ| > x 6 E |ξ|, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü «îáîáùåííûì íåðàâåíñòâîì ×åáûø¸âà».Ñëåäñòâèå 15.
Ïóñòü ôóíêöèÿ g ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è íåîòðèöàòåëüíà íà [0, ∞).Åñëè E g(|ξ|) < ∞, òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî x E g(|ξ|)P |ξ| > x 6.g(x)Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî P |ξ| > x = P g(|ξ|) > g(x) , ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ g ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, è îöåíèì ïîñëåäíþþ âåðîÿòíîñòü ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ìàðêîâà: E g(|ξ|)P g(|ξ|) > g(x) 6.g(x) 1853 ã. È. Áüåíåìå (I. Bienaymé) è â 1866 ã., íåçàâèñèìî îò íåãî, Ï. Ë. ×åáûø¸â ïðÿìûìè ìåòîäàìè äîêàçàëè íåðàâåíñòâî, êîòîðîå íàì áóäåò óäîáíî ïîëó÷èòü â êà÷åñòâåñëåäñòâèÿ èç íåðàâåíñòâà Ìàðêîâà.Ñëåäñòâèå 16 (Íåðàâåíñòâî ×åáûø¸âà-Áüåíåìå).Åñëè E ξ 2 < ∞, òî DξP |ξ − E ξ| > x 6 2 .xÄîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì 15 ñ ôóíêöèåé g(x) = x2 .
E ξ − Eξ 2DξP |ξ − E ξ| > x 6= 2.x2x êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå «ïðàâèëî òðåõ ñèãì», êîòîðîå ôîðìóëèðóþò, íàïðèìåð, òàê: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, ìàëà.
Ðàçóìååòñÿ, äëÿêàæäîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíà ýòîé âåðîÿòíîñòè ñâîÿ: äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0,0027 — ñì. ñâîéñòâî 11. Ìû ïîëó÷èì âåðíóþäëÿ âñåõ ðàñïðåäåëåíèé ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé îöåíêó ñâåðõó äëÿ «âåðîÿòíîñòè ñ. â.îòëè÷àòüñÿ îò ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ áîëåå, ÷åì íà òðè êîðíÿ èç äèñïåðñèè».Ñëåäñòâèå 17. Åñëè E ξ 2 < ∞, òî 1Dξ 6 .9p P |ξ − E ξ| > 3 D ξ 6P |ξ − E ξ| > 3Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 16,pp Óïðàæíåíèå 26.
Íàéòè P |ξ − E ξ| > 3 D ξ , åñëè ñ. â. ξ èìååòà) ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà êàêîì-íèáóäü îòðåçêå;73Dξ1√ 2 = .93 Dξá) ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ êàêèì-íèáóäü ïàðàìåòðîì;â) ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì 1/2.13.3Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåëÎïðåäåëåíèå 51.Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. {ξi }∞i=1 ñ êîíå÷íûìè ïåðâûìè ìîìåíòàìè удовлетворяет закону больших чисел (ÇÁ×), åñëèξ1 + · · · + ξnE ξ1 + · · · + E ξn p−−→ 0 ïðè n → ∞.(22)nnÇàêîíàìè áîëüøèõ ÷èñåë ïðèíÿòî íàçûâàòü óòâåðæäåíèÿ îá óñëîâèÿõ, ïðè êîòîðûõïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â.
«óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë».Âûÿñíèì ñíà÷àëà, ÷òî îçíà÷àåò è êîãäà âûïîëíåí ÇÁ× äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèнезависимых и одинаково распределенных с. в.Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñ. â. îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ óíèõ îäèíàêîâû (è ðàâíû, íàïðèìåð, E ξ1 ), ïîýòîìó ñâîéñòâî (22) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåξ1 + · · · + ξn p−→ E ξ1 .nÈòàê, çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë.Òåîðåìà 29 (ÇÁ× â ôîðìå ×åáûø¸âà).Äëÿ любой ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì E ξ12 < ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü:ξ1 + · · · + ξn p−→ E ξ1 .nÇÁ× óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ñëàãàåìûõ«ñòàáèëèçèðóåòñÿ» ñ ðîñòîì ýòîãî ÷èñëà.
Êàê áû ñèëüíî êàæäàÿ ñ. â. íå îòêëîíÿëàñüîò ñâîåãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, ïðè ñóììèðîâàíèè ýòè îòêëîíåíèÿ «âçàèìíî ãàñÿòñÿ», òàê÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïðèáëèæàåòñÿ ê ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå. äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî òðåáîâàíèå êîíå÷íîñòè âòîðîãî ìîìåíòà (èëè äèñïåðñèè) ñâÿçàíî èñêëþ÷èòåëüíî ñî ñïîñîáîì äîêàçàòåëüñòâà, è ÷òî óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿâåðíûì åñëè òðåáîâàòü ñóùåñòâîâàíèÿ òîëüêî ïåðâîãî ìîìåíòà.Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn = ξ1 + · · · + ξn ñóììó ïåðâûõ n ñ. â., à ÷åðåçSnξ1 + · · · + ξn=— èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Òîãäànn SnE ξ1 + · · · + E ξnn · E ξ1E=== E ξ1 .nnnÏóñòü ε > 0. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûø¸âà (ñëåäñòâèå 16): Sn D SnSn nP −E>ε6=nn ε2íåçàâèñ.D Sn= 2 2n ε=îä.ðàñïðåä.D ξ1 + · · · + D ξnn2 ε 2ïðè n → ∞, ïîñêîëüêó D ξ1 , ïî óñëîâèþ, êîíå÷íà.74=n D ξ1D ξ1=→ 022n εnε2(23)Çàìå÷àíèå 24.
Ìû íå òîëüêî äîêàçàëè ñõîäèìîñòü, íî è ïîëó÷èëè îöåíêó äëÿ âåðîÿòíîñòè ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí îòëè÷àòüñÿ îò E ξ1 áîëåå ÷åì íà çàäàííîå ÷èñëî: ξ1 + · · · + ξnD ξ1P .(24)− E ξ1 > ε 6nnε2Ïðåäëàãàþ, êðîìå òîãî, ÷èòàòåëÿì èçâëå÷ü èç íåðàâåíñòâà (23) â äîêàçàòåëüñòâå ÇÁ××åáûø¸âà äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Ñëåäñòâèå 18.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. {ξi }∞i=1 ñ êîíå÷íûìè âòîðûìè ìîìåíòàìèóäîâëåòâîðÿåò ÇÁ×, òî åñòü SnSnξ1 + · · · + ξnE ξ1 + · · · + E ξn p−E=−−→ 0 ïðè n → ∞nnnnïðè âûïîëíåíèè ëþáîãî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:à) åñëè D Sn = o(n2 ), òî åñòüD Sn→ 0 ïðè n → ∞;n2á) åñëè ξ1 , ξ2 , .
. . íåçàâèñèìû è D Sn = D ξ1 + · · · + D ξn = o(n2 ), òî åñòüD ξ1 + · · · + D ξn→0n2ïðèn → ∞;â) åñëè ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è èìåþò êîíå÷íóþ äèñïåðñèþ (ÇÁ× ×åáûø¸âà).Ñêîðî ìû äîêàæåì (èíûìè ìåòîäàìè, ÷åì À. ß. Õèí÷èí) ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 30 (ÇÁ× â ôîðìå Õèí÷èíà).Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì первым ìîìåíòîì E |ξ1 | < ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü:ξ1 + · · · + ξn p−→ E ξ1 .nÁîëåå òîãî, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 30 èìååò ìåñòî «ïî÷òè íàâåðíîå» ñõîäèìîñòü(ξ1 + · · · + ξn )/n ê E ξ1 . Íî ýòîãî ìû óæå äîêàçûâàòü íå áóäåì.Ïîëó÷èì â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ èç ÇÁ× ×åáûø¸âà çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ß.
Áåðíóëëè(1713).  îòëè÷èå îò äîêàçàííîãî ÷åðåç ïîëòîðà ñòîëåòèÿ ÇÁ× ×åáûø¸âà, îïèñûâàþùåãîïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ñ. â. ñ произвольными ðàñïðåäåëåíèÿìè, ÇÁ× Áåðíóëëè — óòâåðæäåíèå òîëüêî äëÿ схемы Бернулли.Òåîðåìà 31 (ÇÁ× Áåðíóëëè).Ïóñòü A — ñîáûòèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè â ëþáîì èç n íåçàâèñèìûõèñïûòàíèé ñ îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþ P(A). Ïóñòü νn (A) — ÷èñëî îñóνn (A) pùåñòâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Òîãäà−→ P(A). Ïðè ýòîì äëÿnëþáîãî ε > 0 νn (A)P(A)(1 − P(A))P − P(A) > ε 6.nnε275Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî νn (A) åñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
