lect-terver (1082434), страница 12
Текст из файла (страница 12)
 ïîëó÷åííîì èíòåãðàëå ìåíÿåì,íàêîíåö, ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ: x ∞Z∞ZZxZFξ1 +ξ2 (x) =fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dt dx1 =fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dx1 dt.−∞−∞−∞−∞|{zfξ1 +ξ2 (t)}RxÈòàê, ìû ïðåäñòàâèëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ1 +ξ2 (x) â âèäåfξ1 +ξ2 (t) dt, ãäå−∞∞∞ZZfξ1 +ξ2 (t) =fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dx1 =fξ1 (u) fξ2 (t − u) du.−∞−∞Âòîðîå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ ëèáî èç ïåðâîãî çàìåíîé ïåðåìåííûõ, ëèáî åñëè âñþäó âäîêàçàòåëüñòâå ïîìåíÿòü ìåñòàìè èíäåêñû 1 è 2 .Ñëåäñòâèå 11 íå òîëüêî ïðåäëàãàåò ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû, íî è óòâåðæäàåò (çàìåòüòå!), ÷òî ñóììà äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè òàêæå èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Äëÿ òåõ, êòî óæå íè÷åìó íå óäèâëÿåòñÿ, óïðàæíåíèå: привестипример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями, таких чтоих сумма имеет вырожденное распределение.52Åñëè äàæå îäíà èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èìååò äèñêðåòíîå, à âòîðàÿ– àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî èõ ñóììà òîæå èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùåå óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå 18. Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ P(ξ = ai ) = pi , ñ.
â. ηèìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fη (x), è ýòèP âåëè÷èíû íåçàâèñèìû. Äîêàçàòü, ÷òî ξ + ηèìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ+η (x) = pi fη (x − ai ).i10.3Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû ñâåðòêèÏðèìåð 27. Ïóñòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Äîêàæåì, ÷òî èõ ñóììà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñïàðàìåòðàìè 0 è 2.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå ñâåðòêè, ïëîòíîñòü ñóììû ðàâíàfξ+η (x) =Z∞1 − 1 u2 − 1 (x−u)2e 2 e 2du =2πZ∞1 − 1 (2u2 +x2 −2xu)e 2du =2π−∞−∞Z∞fξ+η (x) = eZ∞−∞−1 −(u− x )22 du = ee2πx24Z∞x2u2 + 2 −xudu.−∞x22Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò ïî u â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû: u2 +Òîãäàx2− 41 −e2π1 −v21 −e dv = √ e2π2 π−∞x24Z∞− xu = u −x 22+x24 .1 −12√ e−v dv = √ eπ2 πx24−∞Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî ïîñêîëüêó ïîä èíòåãðàëîì ñòîèò ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè 0 è √12 , òàê ÷òî èíòåãðàë ïî âñåé ïðÿìîé ðàâåí 1.Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ïëîòíîñòü ñóììû åñòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñïàðàìåòðàìè 0 è 2.Åñëè ñóììà äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èç îäíîãî è òîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ (âîçìîæíî, ñ ðàçíûìè ïàðàìåòðàìè) èìååò òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå, ãîâîðÿò, ÷òîýòî ðàñïðåäåëåíèå устойчиво îòíîñèòåëüíî ñóììèðîâàíèÿ. ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ, äîêàçàòü êîòîðûå ïðåäëàãàåòñÿ ÷èòàòåëþ, ïåðå÷èñëåíûïðàêòè÷åñêè âñå óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ.
Åùå ñ îäíèì èç íèõ (ðàñïðåäåëåíèåì χ2 )÷èòàòåëü ïîçíàêîìèòñÿ â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.ξ⊂= Πλ èËåììà 4. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûξ+η ⊂= Πλ+µ .η⊂= Πµíåçàâèñèìû.ÒîãäàËåììà 5. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ ⊂= Bn,p è η ⊂= Bm,p íåçàâèñèìû.ξ+η ⊂= Bn+m,p .ÒîãäàËåììà 6. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ ⊂= Na1 ,σ12 è η ⊂= Na2 ,σ22 íåçàâèñèìû.ξ+η ⊂= Na1 +a2 ,σ12 +σ22 .ÒîãäàËåììó 6 ìû äîêàæåì ïîçäíåå, èñïîëüçóÿ àïïàðàò õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, õîòÿïðè íåêîòîðîì òåðïåíèè ìîæíî ïîïðîáîâàòü äîêàçàòü åå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ñâåðòêè,êàê â ïðèìåðå 27.Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íå óñòîé÷èâî ïî ñóììèðîâàíèþ, îäíàêî åãî ìîæíîñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå óæå â íåêîòîðîì ñìûñëå óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ñóììèðîâàíèÿ.53.Îïðåäåëåíèå 38. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò гамма-распределение Γα,λ ñ ïàðàìåòðàìè α > 0, λ > 0, åñëè îíà èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ(0,ïðè x 6 0,fξ (x) =c · xλ−1 e−αx , ïðè x > 0,R∞ãäå ïîñòîÿííàÿ c âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿfξ (x) dx = c−∞c=R∞xλ−1 e−αx dx = 1, òî åñòü0αλ.Γ(λ)Здесь Γ(λ) =R∞xλ−1 e−x dx = (λ − 1)Γ(λ − 1) — гамма-функция Эйлера;0при k целых Γ(k) = (k − 1)! и Γ(1) = 1.Çàìåòèì, ÷òî ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Eα åñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Γα,1 .Ëåììà 7.
Ïóñòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn èìåþò ïîêàçàòåëüíîåðàñïðåäåëåíèå Eα = Γα,1 . Òîãäà ξ1 + · · · + ξn ⊂= Γα,n .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå ïî èíäóêöèè. Ïðè n = 1 îíî âåðíî â ñèëóðàâåíñòâà Eα = Γα,1 . Ïóñòü óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k − 1. Äîêàæåì,÷òî îíî âåðíî è äëÿ n = k.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè Sk−1 = ξ1 + · · · + ξk−1 ⊂= Γα,k−1 ,òî åñòü èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿïðè x 6 0,0,k−1fSk−1 (x) =α· xk−2 e−αx , ïðè x > 0.(k − 2)!Òîãäà ïî ôîðìóëå ñâåðòêè ïëîòíîñòü ñóììû Sk = ξ1 + · · · + ξk ðàâíàfSk (x) =Z∞−∞fSk−1 (u)fξk (x − u) du =Z∞0αk−1· uk−2 e−αu fξk (x − u) du.(k − 2)!Òàê êàê fξk (x − u) = 0 ïðè x − u < 0, òî åñòü ïðè u > x, òî ïëîòíîñòü ïîä èíòåãðàëîìîòëè÷íà îò íóëÿ, åñëè ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ 0 6 u 6 x.ÏîýòîìófSk (x) =Zx0αk−1· uk−2 e−αu · αe−α(x−u) du = e−αx(k − 2)!Òî åñòü Sk ⊂= Γα,k , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.54Zx0αkαk· uk−2 du =· xk−2 e−αx .(k − 2)!(k − 1)!«Åñëè ÿ èìåþ îäèíàêîâûå øàíñû íà ïîëó÷åíèå a èëè b, òî öåíà ìîåìó îæèäàíèþ ðàâíà (a+b)/2».Õ ð è ñ ò è à í à þ é ã å í ñ,Î ðàñ÷åòàõ â àçàðòíîé èãðå (1657)Ðàçäåë 11.
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí11.1Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 39. Математическим ожиданием E ξ (ñðåäíèì çíà÷åíèåì, ïåðâûì ìîìåíòîì) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì, çàäàâàåìûì òàáëèöåéP(ξ = ai ) = pi , i ∈ Z, íàçûâàåòñÿ ÷èñëîXXEξ =ai pi =ai P(ξ = ai ),åñëè óêàçàííûé ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.iÅñëè æåPi|ai |pi = ∞, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå не существует.iÎïðåäåëåíèå 40. Математическим ожиданием E ξ (ñðåäíèì çíà÷åíèåì, ïåðâûì ìîìåíòîì) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x), íàçûâàåòñÿ ÷èñëîEξ =Z∞xfξ (x) dx,åñëè óêàçàííûé èíòåãðàë àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.−∞Åñëè æåR∞|x|fξ (x) dx = ∞, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå не существует.−∞Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: åñëè íà ïðÿìîé ðàçìåñòèòü åäèíè÷íóþ ìàññó, ïîìåñòèâ â òî÷êè ai ìàññó pi (äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ),èëè «ðàçìàçàâ» åå ñ ïëîòíîñòüþ fξ (x) (äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ), òîòî÷êà E ξ åñòü êîîðäèíàòà «öåíòðà òÿæåñòè» ïðÿìîé.Ïðèìåð 28.
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíà ÷èñëó î÷êîâ, âûïàäàþùèõ ïðè îäíîì6X1ïîäáðàñûâàíèè êóáèêà. Òîãäà E ξ =k · = 3.5: в среднем при одном подбрасывании6k=1кубика выпадает 3.5 очка!Ïðèìåð 29. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ — êîîðäèíàòà òî÷êè, áðîøåííîé íàóäà÷óZb1a+bíà îòðåçîê [a, b]. Òîãäà E ξ =x·dx =: центр тяжести равномерногоb−a2aраспределения на отрезке есть середина отрезка!11.2Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿÂî âñåõ ñâîéñòâàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿñóùåñòâóþò.E0.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû åñòü ×ÈÑËÎ!55E1.Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g : R → R Xg(ak )P(ξ = ak ),åñëè ðàñïðåäåëåíèå ξ äèñêðåòíî; kZ∞E g(ξ) =g(x)fξ (x) dx,åñëè ðàñïðåäåëåíèå ξ àáñîëþòíî íåïðåðûâíî.−∞Äîêàçàòåëüñòâî.
Ìû äîêàæåì ýòî ñâîéñòâî (êàê è ïî÷òè âñå äàëüíåéøèå) òîëüêî äëÿäèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü g(ξ) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ c1 , c2 , . . . ñ âåðîÿòíîñòÿìèXP(g(ξ) = cm ) =P(ξ = ak ). Òîãäàk:g(ak )=cmE g(ξ) =Xcm P(g(ξ) = cm ) =mXcm=XmXP(ξ = ak ) =k:g(ak )=cmXg(ak )P(ξ = ak ) =m k:g(ak )=cmXg(ak )P(ξ = ak ).kE2.Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: E c = c.E3.Постоянную можно вынести за знак математического ожидания: E (cξ) = cE ξ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäóåò èç ñâîéñòâà E1 ïðè g(x) = cx.E4.Математическое ожидание суммы любых случайных величин ξ и η равно сумме ихматематических ожиданий:E (ξ + η) = E ξ + E η.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âåëè÷èí ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì: ïóñòü xk è yn — çíà÷åíèÿ ξ è η, ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ôóíêöèè g : R2 → R ìîæíî äîêàçàòü ñâîéñòâî, àíàëîãè÷íîå E1 (сделать это! ). Ïîëüçóÿñü ýòèì ñâîéñòâîì äëÿ g(x, y) = x + y, çàïèøåì:XXXE (ξ + η) =(xk + yn )P(ξ = xk , η = yn ) =xkP(ξ = xk , η = yn ) +k,nnk|+{zXXynnP(ξ = xk , η = yn ) = E ξ + E η.k|E5.}P(ξ=xk ){zP(η=yn )}• Åñëè ξ > 0 ï.í.
(«почти наверное», то есть с вероятностью 1: P(ξ > 0) = 1),òî E ξ > 0;• Åñëè ξ > 0 ï.í., è ïðè ýòîì E ξ = 0, òî ξ = 0 ï.í., òî åñòü P(ξ = 0) = 1.Упражнение. Доказать для дискретного распределения!Ñëåäñòâèå 12.• Åñëè ξ 6 η ï.í., òî E ξ 6 E η.• Åñëè ξ 6 η ï.í., è ïðè ýòîì E ξ = E η, òî ξ = η ï.í.E6.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òîE (ξη) = E ξ E η.56Äîêàçàòåëüñòâî.XX XE (ξη) =(xk yn )P(ξ = xk , η = yn ) =xkyn P(ξ = xk )P(η = yn ) = E ξ E η.k,nknÇàìå÷àíèå 19.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ê ñâîéñòâó E6 íåâåðíî:E (ξη) = E ξ E η не следует íåçàâèñèìîñòü âåëè÷èí ξ è η.èç ðàâåíñòâàÏðèìåð 30. Ïóñòü ϕ ⊂= U0,2π , ξ = cos ϕ, η = sin ϕ — çàâåäîìî çàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû (доказать!). Íî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èõ ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: ïî ñâîéñòâó E1Z 2πZ 2π11Eξ =cos x dx = 0, E η =sin x dx = 0,2π2π00E ξη =Z011.32π1cos x sin x dx = 0 = E ξE η.2πÌîìåíòû ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
