lect-terver (1082434), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ôóíêöèÿ ξ : Ω → R íàçûâàåòñÿ случайной величиной, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ R ìíîæåñòâî {ξ < x} = {ω : ξ(ω) < x} ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì, òî åñòü ïðèíàäëåæèòσ-àëãåáðå ñîáûòèé F.Çàìå÷àíèå 9. ×èòàòåëü, íå æåëàþùèé çàáèâàòü ñåáå ãîëîâó àáñòðàêöèÿìè, ñâÿçàííûìè ñ σ-àëãåáðàìè ñîáûòèé è ñ èçìåðèìîñòüþ, ìîæåò ñìåëî ñ÷èòàòü, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åñòü ñîáûòèå, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà åñòüпроизвольная ôóíêöèÿ èç Ω â R. Íèêàêèõ íåïðèÿòíîñòåé íà ïðàêòèêå ýòî îáû÷íî íåâëå÷åò, òàê ÷òî âñå äàëüíåéøåå â ýòîì ïàðàãðàôå ìîæíî ïðîïóñòèòü.
Ïîëåçíî, òåì íåìåíåå, ïîìíèòü: êàæäàÿ òàêàÿ «óñòóïêà» ñåáå ñóùåñòâåííî ñíèæàåò âàøè àäàïòèâíûåñïîñîáíîñòè ê æèçíè.Îïðåäåëåíèå 25. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ξ : Ω → R ÿâëÿåòñÿ F-измеримой, åñëè{ω : ξ(ω) < x} ïðèíàäëåæèò F äëÿ ëþáîãî x ∈ R.Èòàê, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà åñòü F-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ∈ Ω ÷èñëî ξ(ω) ∈ R.Ïðèìåð 23. Ïîäáðàñûâàåì 1 ðàç êóáèê. Ïóñòü Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, è äâå ôóíêöèè èçΩ â R çàäàíû òàê: ξ(ω) = ω, η(ω) = ω 2 .• Åñëè F åñòü ìíîæåñòâî всех ïîäìíîæåñòâ Ω, òî ξ è η ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ïîñêîëüêó ëþáîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ïðèíàäëåæèò F, â òîì÷èñëå è {ω : ξ(ω) < x} èëè {ω : η(ω) < x}.
Ìîæíî çàïèñàòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäóçíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η è âåðîÿòíîñòÿìè ïðèíèìàòü ýòè çíà÷åíèÿ ââèäå «òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé» èëè, êîðîòêî, «òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ»:ξPÇäåñü16123456161616161616ηP149162536161616161616= P(ξ = 1) = . . .
= P(ξ = 6) = P(η = 1) = . . . = P(η = 36).• Ïóñòü σ-àëãåáðà ñîáûòèé F ñîñòîèò âñåãî èç ÷åòûðåõ ìíîæåñòâ:F = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} ,òî åñòü ñîáûòèåì ÿâëÿåòñÿ, êðîìå äîñòîâåðíîãî è íåâîçìîæíîãî ñîáûòèé, âûïàäåíèå ÷åòíîãî (ñîîòâåòñòâåííî, íå÷åòíîãî) ÷èñëà î÷êîâ. Óáåäèìñÿ, ÷òî ïðè òàêîé «áåäíîé» σ-àëãåáðå íè ξ, íè η íå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, òàêêàê ýòè ôóíêöèè íå F-èçìåðèìû. Âîçüìåì (íàïðèìåð) x = 3,967.
Âèäèì, ÷òî{ω ∈ Ω : ξ(ω) < 3,967} = {1, 2, 3} 6∈ F è {ω ∈ Ω : η(ω) < 3,967} = {1} 6∈ F.Упражнение.Описать классвсех функций, измеримых относительно σ-алгебрыF = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} .32• Ïóñòü σ-àëãåáðà ñîáûòèé F åñòü òðèâèàëüíàÿ σ-àëãåáðà : F = {Ω, ∅}.Доказать, что ξ и η не являются случайными величинами, так как эти функции неF-измеримы.Доказать, что измеримы относительно тривиальной σ-алгебры только функции видаξ(ω) = c (постоянные).Òåïåðü ïîïðîáóåì ïîíÿòü, çà÷åì íóæíà F-èçìåðèìîñòü è ïî÷åìó òðåáóåòñÿ, ÷òîáû{ω : ξ(ω) < x} ÿâëÿëîñü ñîáûòèåì.Åñëè çàäàíà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ, íàì ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòèòèïà P(ξ = 5) = P{ω : ξ(ω) = 5}, P(ξ ∈ [−3, 7]), P(ξ > 3,2), P(ξ < 0) (è âîîáùå ñàìûå ðàçíûå âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà íà ïðÿìîé).
Ýòî âîçìîæíî òîëüêîåñëè ìíîæåñòâà, ñòîÿùèå ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè, ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè (íàïîìíþ, ÷òîâåðîÿòíîñòü åñòü ôóíêöèÿ èç σ-àëãåáðû ñîáûòèé â [0,1]).Íî åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû Ax = {ω : ξ(ω) < x} áûëî ñîáûòèåì ïðè ëþáîì x, òî ìûèç ñâîéñòâ σ-àëãåáðû ñðàçó ïîëó÷èì, ÷òîAx = {ω : ξ(ω) > x} — ñîáûòèå, è {ω : x1 6 ξ(ω) < x2 } = Ax2 \Ax1 — ñîáûòèå,∞\Bx = {ω : ξ(ω) 6 x} =Ax+ 1 — ñîáûòèå,èè{ω : ξ(ω) = x} =èn=1Bx \Ax —nñîáûòèå,(10)è ò.ä., è ò.ï. (îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ, îáúåäèíåíèÿ, äîïîëíåíèÿ ñîáûòèé íå âûâîäÿò èçêëàññà ñîáûòèé).Ìîæíî ïîòðåáîâàòü â îïðåäåëåíèè 24 ÷åãî-íèáóäü äðóãîãî. Íàïðèìåð, ÷òîáû ñîáûòèåì áûëî ïîïàäàíèå â ëþáîé èíòåðâàë: {ω : ξ(ω) ∈ (a, b)} ∈ F äëÿ ëþáûõ a < b.Èëè ÷òîáû {ω : ξ(ω) > x} áûëî ñîáûòèåì äëÿ ëþáîãî x. Ëþáîå òàêîå îïðåäåëåíèåýêâèâàëåíòíî èñõîäíîìó.Çàìå÷àíèå 10. Òå, êòî íå ïîëåíèëñÿ ïðî÷åñòü ïðî áîðåëåâñêóþ σ-àëãåáðó â ðàçäåëå3.3, ìîãóò ñôîðìóëèðîâàòü âñå íàøè ïîòðåáíîñòè òàê: ìû õîòèì, ÷òîáû ïîïàäàíèå ξ âëþáîå áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî ÿâëÿëîñü ñîáûòèåì.
Ìû ìîãëè ýòî ïîòðåáîâàòü â îïðåäåëåíèè, íî îãðàíè÷èëèñü ýêâèâàëåíòíûì óñëîâèåì, ÷òîáû ïîïàäàíèå â ëþáîé îòêðûòûéèíòåðâàë (−∞, x) áûëî ñîáûòèåì. Ýòè óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû, ïîñêîëüêó áîðåëåâñêàÿσ-àëãåáðà ïîðîæäàåòñÿ èíòåðâàëàìè, ÷òî ìû åùå ðàç ïîêàçàëè â ôîðìóëàõ (10).Îïèøåì ðàçëè÷íûå òèïû ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîä распределениемñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìû áóäåì ïîíèìàòü ñîîòâåòñòâèå«çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ↔ âåðîÿòíîñòü ïðèíèìàòü ýòî çíà÷åíèå»,ëèáî (÷àùå)«ìíîæåñòâî íà ïðÿìîé ↔ âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïîïàñòü âýòî ìíîæåñòâî».6.2Äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿÎïðåäåëåíèå 26.
Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò дискретное ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé íàáîð ÷èñåë {a1 , a2 , . . . } òàêîé, ÷òî:∞Pà) pi = P(ξ = ai ) > 0 äëÿ âñåõ i;á)pi = 1.i=1Òî åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè îíà ïðèíèìàåò íåáîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé.Îïðåäåëåíèå 27. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, íàçîâåì таблицей распределения ñîîòâåòñòâèå ai ↔ pi , êîòîðîå ÷àùå âñåãî ðèñóþò òàê:33ξPa1p1a2p2a3p3......Ïðèìåðû äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèéÂûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì a, è ïèøóò ξ ⊂= Ia , åñëè ξ ïðèíèìàåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå a ñ âåðîÿòíîñòüþξa1, òî åñòü P(ξ = a) = 1.
Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèäP1Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîìp, è ïèøóò ξ ⊂= Bp , åñëè ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è 1 −p, ñîîòâåòñòâåííî. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ñ òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì ðàâíà числууспехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p (0 óñïåõîâξ01èëè 1 óñïåõ). Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèäP1−p pÁèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p, ãäå 0 6 p 6 1, è ïèøóò ξ ⊂= Bn,p , åñëè ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0, 1, .
. . , n ñkkâåðîÿòíîñòÿìè P(ξ = k) = Cn p (1 − p)n−k . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ñ òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì èìååò ñìûñë числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностьюуспеха p.Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèäξ01...k...nP(1 − p)nnp(1 − p)n−1...Cnk pk (1 − p)n−k...pnÃåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ èìååò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p, ãäå 0 6 p 6 1, è ïèøóò τ ⊂= Gp , åñëè τ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, . . .k−1ñ âåðîÿòíîñòÿìè P(τ = k) = p(1 − p) . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ ñ òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì èìååò ñìûñë номера первого успешного испытания в схеме Бернулли свероятностью успеха p.Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ τ èìååò âèäτP1p2p(1 − p)......kp(1 −p)k−1......Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ,ãäå λ > 0, è ïèøóò ξ ⊂= Πλ , åñëè ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, .
. . ñ âåðîÿòíîñòÿìèkλ −λP(ξ = k) =e .k!ξ01...k...kÒàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèäλ −λPe−λ λe−λ . . .e...k!Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå.Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñïàðàìåòðàìè n, N è K, ãäå K6N , n6N , åñëè ξ ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ îòC k C n−kmax{0, N −K−n} äî min{n, K} ñ âåðîÿòíîñòÿìè P(ξ = k) = K nN −K . Ñëó÷àéíàÿCNâåëè÷èíà ξ ñ òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì èìååò ñìûñë числа белых шаров среди n шаров,34выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N − Kне белых.Òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ ξ ÷èòàòåëü ìîæåò íàðèñîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.Çàìåòüòå, ÷òî ñî âñåìè ýòèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ìû óæå õîðîøî çíàêîìû.Íî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äàëåêî íå èñ÷åðïûâàþòñÿ äèñêðåòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.
Òàê, íàïðèìåð, åñëè òî÷êà áðîñàåòñÿ íàóäà÷ó íà îòðåçîê [0,1], òî ìîæíîçàäàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ êîîðäèíàòå ýòîé òî÷êè. Íî ÷èñëî çíà÷åíèé ýòîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ñ÷åòíî, òàê ÷òî åå ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíûì íå ÿâëÿåòñÿ. Äàè âåðîÿòíîñòü ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïðèíÿòü êàæäîå èç ñâîèõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé(ïîïàñòü â òî÷êó) ðàâíà íóëþ. Òàê ÷òî íå òîëüêî òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ íå ñóùåñòâóåò,íî è ñîîòâåòñòâèå «çíà÷åíèå âåëè÷èíû ↔ âåðîÿòíîñòü åãî ïðèíÿòü» íè÷åãî íå ãîâîðèòî ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Êàêèìè æå õàðàêòåðèñòèêàìè åùå ìîæíî îïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå?35Ðàçäåë 7.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿÇàìåòèì, ÷òî íà òîì æå îòðåçêå [0,1] âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíîé ìåðû ñîâñåì íå íóëåâûå.
È òåðìèí «íàóäà÷ó» ìû êîãäà-òî îïèñûâàëè êàê ðàçâ òåðìèíàõ âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâà.Ìîæåò áûòü, ðàçóìíî îïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâ äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü çíà÷åíèÿ èç ýòîãî ìíîæåñòâà? Ýòî äåéñòâèòåëüíîïîëíàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, íî óæ î÷åíü òðóäíî ñ íåé ðàáîòàòü — ñëèøêîììíîãî ìíîæåñòâ íà ïðÿìîé.Íåëüçÿ ëè îáîéòèñü çàäàíèåì âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ â êàêîé-íèáóäü ìåíüøèé íàáîð ìíîæåñòâ íà ïðÿìîé? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî âåðîÿòíîñòÿìèïîïàäàíèÿ â èíòåðâàëû (−∞, x) äëÿ âñåõ x ∈ R, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî áóäåò îïðåäåëèòü è âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ëþáîå äðóãîå ìíîæåñòâî.Çàìå÷àíèå 11. Ìîæíî ñ òàêèì æå óñïåõîì îãðàíè÷èòüñÿ íàáîðîì âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ â èíòåðâàëû (−∞, x], èëè â (x, ∞), èëè â [x, ∞), èëè â (x1 , x2 ).
Âïðî÷åì, ïîñëåäíèõ óæå ñëèøêîì ìíîãî.Îïðåäåëåíèå 28.Функцией распределенияñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿFξ (x) : R → [0, 1], ïðè êàæäîì x ∈ R ðàâíàÿFξ (x) = P(ξ < x) = P{ω : ξ(ω) < x}.ôóíêöèÿÏðèìåð 24. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ic . Òîãäà6Fξ (x)1q(0, x 6 c;Fξ (x) = P(ξ < x) = P(c < x) =1, x > c.brcxÏðèìåð 25. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp . Òîãäàx 6 0;0,Fξ (x) = P(ξ < x) = 1 − p, 0 < x 6 11,x > 1.6Fξ (x)1−p bbrrx1Ïðèìåð 26. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b] è ïèñàòü ξ ⊂= Ua,b (“uniform”), åñëè ξ — êîîðäèíàòà òî÷êè, áðîøåííîé íàóäà÷ó íà îòðåçîê [a, b] ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
