lect-terver (1082434), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â ïðèìåðå 2 (ïðè ïîäáðàñûâàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé). Êàêèì ñòàíåò ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,åñëè ïîðÿäîê êîñòåé íå ó÷èòûâàòü? Ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â òàêîìïðîñòðàíñòâå (ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 5 èëè ïðÿìûì ïîäñ÷åòîì). Óáåäèòüñÿ, ÷òî èõ ðîâíîC72 = 21. Ðàâíîâîçìîæíû ëè ýòè èñõîäû? Ïîñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èñõîäà.8Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèåÏðèìåð 6.Èç óðíû, â êîòîðîé n1 áåëûõ è n − n1 ÷åðíûõ øàðîâ, íàóäà÷ó, áåçâîçâðàùåíèÿ âûíèìàþò k øàðîâ, k 6 n. Òåðìèí «íàóäà÷ó» îçíà÷àåò, ÷òî ïîÿâëåíèå ëþáîãî íàáîðà èç k øàðîâ ðàâíîâîçìîæíî. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäåò âûáðàíî ðîâíî k1 áåëûõ è k − k1 ÷åðíûõøàðîâ.n1k1| n − n1⇓| k − k1Р е ш е н и е.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè k1 > n1 èëè k − k1 > n − n1 èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòüðàâíà 0, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèå íåâîçìîæíî. Ïóñòü k1 6 n1 è k − k1 6 n − n1 .Ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç k øàðîâ. Ïðè ýòîì ìîæíî íå ó÷èòûâàòü èëè ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ øàðîâ.1. Âûáîð áåç ó÷åòà ïîðÿäêà. Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åñòü ÷èñëî kýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, òî åñòü |Ω| = Cnk (ïîòåîðåìå 3).Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî òðåáóåòñÿ íàéòè. Ñîáûòèþ Aáëàãîïðèÿòñòâóåò ïîÿâëåíèå ëþáîãî íàáîðà, ñîäåðæàùåãî k1 áåëûõ øàðîâ è k − k1 ÷åðíûõ.
×èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ (ïî òåîðåìå 1) ÷èñëà ñïîñîáîââûáðàòü k1 áåëûõ øàðîâ èç n1 è ÷èñëà ñïîñîáîâ âûáðàòü k − k1 ÷åðíûõ øàðîâ èç n − n1 :k−k1|A| = Cnk11 · Cn−n. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà1P(A) =k−k1Cnk11 · Cn−n1.Cnk(1)2. Âûáîð ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà. Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åñòü ÷èñëî ñïîñîáîâðàçìåñòèòü n ýëåìåíòîâ íà k ìåñòàõ: |Ω| = Akn = n(n − 1) .
. . (n − k + 1) (ïî òåîðåìå 2).Ïðè ïîäñ÷åòå ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ íóæíî ó÷åñòü êàê ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòü íóæíîå ÷èñëî øàðîâ, òàê è ÷èñëî ñïîñîáîâ ðàñïîëîæèòü ýòè øàðû ñðåäè k. Ìîæíî, ñêàæåì, ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòü k1 ìåñò ñðåäè k (ðàâíîå Ckk1 ), çàòåì ÷èñëîñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü íà ýòèõ k1 ìåñòàõ n1 áåëûõ øàðîâ (ðàâíîå Akn11 — íå çàáûâàéòå ïðîó÷åò ïîðÿäêà!), è çàòåì ÷èñëî ñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü íà îñòàâøèõñÿ k − k1 ìåñòàõ n − n11÷åðíûõ øàðîâ (ðàâíîå Ak−kn−n1 ).
Ïåðåìíîæèâ (ïî÷åìó?) ýòè ÷èñëà, ïîëó÷èì1|A| = Ckk1 · Akn11 · Ak−kn−n1 ,P(A) =k−k11Ckk1 · Akn11 · Ak−kCnk11 · Cn−nn−n11=.AknCnk ðàññìîòðåííîé çàäà÷å ìû ñîïîñòàâèëè êàæäîìó íàáîðó èç k1 áåëûõ è k −k1 ÷åðíûõøàðîâ âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ýòîò íàáîð ïðè âûáîðå k øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé n1áåëûõ è n − n1 ÷åðíûõ øàðîâ:P(A) =Îïðåäåëåíèå 8. Ñîîòâåòñòâèåk−k1Cnk11 · Cn−n1.Cnkk1 7→ P(A) =âåðîÿòíîñòåé(k−k1Cnk11 · Cn−n1,Cnkãäåk−k1Cnk11 · Cn−n1,Cnk0 6 k1 6 min(k, n1 ),íàçûâàåòñÿ гипергеометрическим распределением.9èëè ñëåäóþùèé íàáîðk − k1 6 n − n1)Ðàçäåë 2.2.1Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü×òî ýòî òàêîåqÐàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü îáëàñòü Ω â Rm (íà ïðÿìîé, íà'$ïëîñêîñòè, â ïðîñòðàíñòâå). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî «ìåðà» Ω (äëè- íà, ïëîùàäü, îáúåì, ñîîòâåòñòâåííî) êîíå÷íà. Ïóñòü ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû íàóäà÷ó áðîñàåì â%ýòó îáëàñòü òî÷êó. Òåðìèí «íàóäà÷ó» çäåñü îçíà÷àåò,÷òîΩA&âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â ëþáóþ ÷àñòü A ⊂ Ω íå çàâèñèò îò ôîðìû èëè ðàñïîëîæåíèÿ A âíóòðè Ω, à çàâèñèò ëèøü îò «ìåðû» îáëàñòè A (åñëè A èçìåðèìî, ñì.
çàìå÷àíèå6).Îïðåäåëåíèå 9. Ýêñïåðèìåíò óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì «ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè», åñëè åãî èñõîäû можно èçîáðàçèòü òî÷êàìè íåêîòîðîé îáëàñòè Ω âRm òàê, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â ëþáóþ ÷àñòü A ⊂ Ω íå çàâèñèò îò ôîðìûèëè ðàñïîëîæåíèÿ A âíóòðè Ω, à çàâèñèò ëèøü îò ìåðû îáëàñòè A (è, ñëåäîâàòåëüíî,ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé ìåðå):P(· ∈ A) =µ(A),µ(Ω)ãäåµ(A) îáîçíà÷àåò ìåðó îáëàñòè A.«Ìåðîé» ìû ïîêà áóäåì íàçûâàòü äëèíó, ïëîùàäü, îáúåì è ò.ä.Åñëè äëÿ òî÷êè, áðîøåííîé â îáëàñòü Ω, âûïîëíåíû óñëîâèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, òî ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà равномерно распределена в области Ω.Ïðèìåð 7.
Òî÷êà íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ íà îòðåçîê [0,1]. Âåðîÿòíîñòü òî÷êå ïîïàñòüâ òî÷êó {0.5} ðàâíà íóëþ, òàê êàê ìåðà ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç îäíîé òî÷êè («äëèíà òî÷êè»), åñòü 0. Âìåñòå ñ òåì ïîïàäàíèå â òî÷êó {0.5} íå ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíûìñîáûòèåì — ýòî îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà.2.2Çàäà÷à î âñòðå÷åÏðèìåð 8. Äâà ëèöà X è Y óñëîâèëèñü âñòðåòèòüñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå ìåæäóäâóìÿ è òðåìÿ ÷àñàìè äíÿ.
Ïðèøåäøèé ïåðâûì æäåò äðóãîãî â òå÷åíèè 10 ìèíóò, ïîñëå÷åãî óõîäèò. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è ýòèõ ëèö, åñëè êàæäûé èç íèõ ìîæåòïðèéòè â ëþáîå âðåìÿ â òå÷åíèå óêàçàííîãî ÷àñà íåçàâèñèìî îò äðóãîãî?Р е ш е н и е. Áóäåì ñ÷èòàòü èíòåðâàë ñ 14 äî 15 ÷àñîâ äíÿ îòðåçêîì [0,1] äëèíîé1 ÷àñ. Ïóñòü ξ («êñè») è η («ý́òà») — ìîìåíòû ïðèõîäà X è Y (òî÷êè îòðåçêà [0,1]).Âñå âîçìîæíûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà — ìíîæåñòâî òî÷åê êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1:Ω = {(ξ, η) : 0 6 ξ 6 1, 0 6 η 6 1} = [0, 1] × [0, 1].η 6-1/61ξÌîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýêñïåðèìåíò ñâîäèòñÿ ê áðîñàíèþ òî÷êèíàóäà÷ó â êâàäðàò.
Ïðè ýòîì áëàãîïðèÿòíûìè èñõîäàìèÿâëÿþòñÿ òî÷êè ìíîæåñòâà A = {(ξ, η) : |ξ − η| 6 1/6} (10ìèíóò = 1/6 ÷àñà). Òî åñòü ïîïàäàíèå â ìíîæåñòâî A íàóäà÷óáðîøåííîé â êâàäðàò òî÷êè îçíà÷àåò, ÷òî X è Y âñòðåòÿòñÿ.Òîãäà âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è ðàâíà21 − 56µ(A)11P(A) === .µ(Ω)1362.3 Çàäà÷à ÁþôôîíàÏðèìåð 9. Íà ïëîñêîñòè íà÷åð÷åíû ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íàõîäÿùèåñÿ äðóã îòäðóãà íà ðàññòîÿíèè 2a. Íà ïëîñêîñòü íàóäà÷ó áðîøåíà èãëà äëèíû 2l < 2a. Êàêîâà10âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èãëà ïåðåñå÷åò îäíó èç ïðÿìûõ?Р е ш е н и е.
Ïîéìåì, ÷òî îçíà÷àåò çäåñü «íàóäà÷ó áðîøåíà èãëà». Âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ èãëû (îòðåçêà) íà ïëîñêîñòè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ïîëîæåíèåì ñåðåäèíûèãëû è óãëîì ïîâîðîòà èãëû îòíîñèòåëüíî êàêîãî-ëèáî íàïðàâëåíèÿ. Ïðè÷åì äâå ýòèïåðåìåííûå (ïîëîæåíèå öåíòðà è óãîë ïîâîðîòà) ìåíÿþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç x ∈ [0, a] ðàññòîÿíèå îò ñåðåäèíûèãëû äî áëèæàéøåé ïðÿìîé, à ÷åðåç ϕ ∈ [0, π] —óãîë ìåæäó êàêèì-òî íàïðàâëåíèåì ïðÿìûõ è èãëîé.Ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïîëîæåíèé èãëû öåëèêîìîïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì íàóäà÷ó òî÷êè èç ïðÿìîóãîëüíèêà Ω = [0, π] × [0, a].Èãëà ïåðåñåêàåò áëèæàéøóþ ïðÿìóþ, åñëè êîîðäèíàòû âûáðàííîé íàóäà÷ó òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó: x 6 l · sin ϕ.Ïëîùàäü îáëàñòè A ⊂ Ω, òî÷êè êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò òàêîìó íåðàâåíñòâó, ðàâíàπZ πµ(A) =l · sin ϕ dϕ = −l · cos ϕ = 2l.6lϕl2ax? -xa 6x = l · sin ϕ0-π02.4ϕ0È òàê êàê µ(Ω) = aπ, òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà2l.P(A) =aπÏàðàäîêñ ÁåðòðàíàÏðèìåð 10 ( Josef Bertrand, “Calcul des Probabilites", 1888). êðóãå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ õîðäà.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ååäëèíà áóäåò áîëüøå, ÷åì äëèíà ñòîðîíû âïèñàííîãî â êðóã ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà?«Р е ш е н и е». Åñòü ïî êðàéíåé ìåðå òðè ñïîñîáà «âûáðàòü íàóäà÷ó õîðäó â êðóãå».s LEA E LAs E LA E LA E LA E LA E LA EE LrTTT r TT T T1. Çàôèêñèðóåì îäíó òî÷êó (êîíåö õîðäû) íà îêðóæíîñòèè âûáåðåì íàóäà÷ó íà îêðóæíîñòè äðóãóþ òî÷êó (âòîðîéêîíåö õîðäû). Çäåñü Ω = [0, 2π], à áëàãîïðèÿòíûìè ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿ âòîðîé òî÷êè íà èíòåðâàëå [2π/3, 4π/3](õîðäû, ïîìå÷åííûå íà ðèñóíêå êðàñíûì öâåòîì). Âå1ðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü «äëèííóþ» õîðäó ðàâíà .32.
Ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà õîðäà, äëÿ êîòîðîé äàííàÿ òî÷êà â êðóãå ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé1 . Ìîæíî ïîýòîìó âûáèðàòü íàóäà÷ó õîðäó, áðîñàÿ íàóäà÷ó òî÷êó (ñåðåäèíóõîðäû) â êðóã. Çäåñü Ω — êðóã ðàäèóñà 1, µ(Ω) = π, àáëàãîïðèÿòíûìè ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿ ñåðåäèíû õîðäûâíóòðè âïèñàííîãî â òðåóãîëüíèê êðóãà (ðàäèóñîì 1/2).Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü «äëèííóþ» õîðäó ðàâíà îòíîøå1íèþ ïëîùàäåé êðóãîâ, òî åñòü .41Êðîìå òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà áðîøåííàÿ íàóäà÷ó òî÷êà ïîïàäåò â öåíòð êðóãà. Íî ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòüýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà íóëþ, òî ó÷åò èëè íåó÷åò òàêîãî ñîáûòèÿ íå âëèÿåò íà èòîãîâóþ âåðîÿòíîñòü11bbbbbtbb"""""""3. Íàêîíåö, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêîõîðä, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êàêîìó-ëèáî äèàìåòðó (îñòàëüíûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïîâîðîòîì).
Òî åñòü ýêñïåðèìåíò ìîæåò ñîñòîÿòü â âûáîðå ñåðåäèíû õîðäû íàóäà÷óíà äèàìåòðå êðóãà — îòðåçêå äëèíîé 2. Áëàãîïðèÿòíûìèÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿ ñåðåäèíû õîðäû íà îòðåçêå äëèíîé1. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ òàêîãî ýêñïåðèìåíòà ðàâíà1.2 ÷åì ïðè÷èíà ðàçíèöû â îòâåòàõ íà, êàçàëîñü áû, îäèí è òîò æå âîïðîñ? Íàñàìîì äåëå ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è íå êîððåêòíà ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. «Âûáîðíàóäà÷ó õîðäû â êðóãå» ìîæåò áûòü ïî-ðàçíîìó îïèñàí ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîãîîïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè (÷òî ìû è ñäåëàëè). Òî åñòü ýòîò «ýêñïåðèìåíò» ìîæíî ïîðàçíîìó îïèñàòü ñ ïîìîùüþ âûáîðà íàóäà÷ó òî÷êè â íåêîòîðîé îáëàñòè.Ñëîâî «ýêñïåðèìåíò» âçÿòî â êàâû÷êè íå íàïðàñíî: ñêàçàâ «â êðóãå íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ õîðäà», ìû åùå íå îïèñàëè ôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà.
Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìóèç òðåõ ïðåäëîæåííûõ ñïîñîáîâ âûáîðà õîðä ìîæíî ñîïîñòàâèòü êîíêðåòíûé ôèçè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò (âñÿêèé ðàç äðóãîé).Òàê ÷òî ïàðàäîêñ èñ÷åçàåò ñðàçó, êàê òîëüêî ïîëó÷åí îòâåò íà âîïðîñ: ÷òî çíà÷èò «âêðóãå íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ õîðäà»?Çàêàí÷èâàÿ îáñóæäåíèå ïîíÿòèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, ñäåëàåì î÷åíü âàæíîåäëÿ äàëüíåéøåãî çàìå÷àíèå.Çàìå÷àíèå 6. Åñëè äàæå ýêñïåðèìåíò óäîâëåòâîðÿåò ãåîìåòðè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþâåðîÿòíîñòè, äàëåêî íå äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ A ⊂ Ω âåðîÿòíîñòü ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà êàêîòíîøåíèå ìåðû A ê ìåðå Ω.
Ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìûõ«íåèçìåðèìûõ» ìíîæåñòâ, òî åñòü ìíîæåñòâ, ìåðà êîòîðûõ íå ñóùåñòâóåò.À åñëè íå äëÿ âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω ìû ìîæåì îïðåäåëèòü èõ âåðîÿòíîñòè, ñëåäóåò ñóçèòü êëàññ ìíîæåñòâ, íàçûâàåìûõ «ñîáûòèÿìè», îñòàâèâ â ýòîì êëàññå òîëüêî òåìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü. ñëåäóþùåé ãëàâå ìû çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì (âñëåä çà Àíäðååì Íèêîëàåâè÷åì Êîëìîãîðîâûì) àêñèîìàòèêè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïîíÿòèÿìè σ-àëãåáðû(èëè ïîëÿ) ñîáûòèé, âåðîÿòíîñòíîé ìåðû, âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, à òàêæå äîêàæåì ñôîðìóëèðîâàííûå â ïàðàãðàôå 1.2 ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè.12Ðàçäåë 3.3.1Àêñèîìàòèêà òåîðèè âåðîÿòíîñòåéσ-àëãåáðà ñîáûòèéÏóñòü Ω — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà (òî åñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû).
Ìû ñîáèðàåìñÿîïðåäåëèòü íàáîð ïîäìíîæåñòâ Ω, êîòîðûå áóäóò íàçûâàòüñÿ ñîáûòèÿìè, è çàòåì çàäàòüâåðîÿòíîñòü êàê ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ òîëüêî íà ìíîæåñòâå ñîáûòèé.Òî åñòü ñîáûòèÿìè ìû áóäåì íàçûâàòü íå ëþáûå ïîäìíîæåñòâà Ω, à ëèøü ïîäìíîæåñòâà èç íåêîòîðîãî «ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ» F. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîçàáîòèòüñÿ,÷òîáû ýòî ìíîæåñòâî F ïîäìíîæåñòâ Ω áûëî «çàìêíóòî» îòíîñèòåëüíî ââåäåííûõ âïàðàãðàôå 1.2 îïåðàöèé íàä ñîáûòèÿìè, òî åñòü ÷òîáû îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, äîïîëíåíèå ñîáûòèé (òî åñòü ýëåìåíòîâ F) ñíîâà äàâàëî ñîáûòèå (òî åñòü ýëåìåíò F).Îïðåäåëåíèå 10.Ìíîæåñòâî F, ñîñòîÿùåå èç ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω (íå îáÿçàòåëüíî âñåõ!) íàçûâàåòñÿ σ-алгеброй событий, èëè σ-алгеброй подмножеств Ω, åñëèâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(A1)(A2)(A3)Ω∈F(σ-àëãåáðà ñîáûòèé ñîäåðæèò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå);åñëè A ∈ F, òî A ∈ Fïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå);åñëè A1 , A2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
