lect-terver (1082434), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Åñòü 3 çàâîäà, ïðîèçâîäÿùèõ îäíó è òó æå ïðîäóêöèþ. Ïðè ýòîì 1-é çàâîä ïðîèçâîäèò 25%, 2-é çàâîä — 35% è 3-é çàâîä — 40% âñåé ïðîèçâîäèìîé ïðîäóêöèè.Áðàê ñîñòàâëÿåò 5% îò ïðîäóêöèè 1-ãî çàâîäà, 3% îò ïðîäóêöèè 2-ãî è 4% îò ïðîäóêöèè3-ãî çàâîäà.Âñÿ ïðîäóêöèÿ ñìåøèâàåòñÿ è ïîñòóïàåò â ïðîäàæó. Íàéòè à) âåðîÿòíîñòü êóïèòüáðàêîâàííîå èçäåëèå; á) óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êóïëåííîå èçäåëèå èçãîòîâëåíî 1-ì çàâîäîì, åñëè ýòî èçäåëèå áðàêîâàííîå.Ïåðâàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà äîëå áðàêîâàííûõ èçäåëèé â îáúåìå âñåé ïðîäóêöèè, òîåñòü 0.05·0.25 + 0.03·0.35 + 0.04·0.4. Âòîðàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà äîëå áðàêà 1-ãî çàâîäà ñðåäèâñåãî áðàêà, òî åñòü0.05·0.25.0.05·0.25 + 0.03·0.35 + 0.04·0.4Îïðåäåëåíèå 18.
Íàáîð ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé H1 , H2 , . . . òàêèõ, ÷òî∞SP(Hi ) > 0 äëÿ âñåõ i èHi = Ω, íàçûâàåòñÿ полной группой событий èëè разбиi=1ением пространства Ω.Ñîáûòèÿ H1 , H2 , . . . , îáðàçóþùèå ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé, ÷àñòî íàçûâàþò гипотезами. Ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ãèïîòåçäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ A ìîãóò áûòü ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî âû÷èñëåíû P(AHi ) (âåðîÿòíîñòü ñîáûòèþ A ïðîèçîéòè ïðè âûïîëíåíèè«ãèïîòåçû» Hi ) è ñîáñòâåííî P(Hi ) (âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ «ãèïîòåçû» Hi ). Êàê, èñïîëüçóÿ ýòè äàííûå, ïîñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A?Òåîðåìà 8 (Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè).Ïóñòü H1 , H2 , . . .
— ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå:P(A) =∞Xi=1P(Hi )P(AHi ).Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî A = A ∩ Ω = A ∩∞SHii=1=∞Si=1A ∩ Hi , è ñîáûòèÿA ∩ H1 , A ∩ H2 , . . . ïîïàðíî íåñîâìåñòíû. Ïîýòîìó (èñïîëüçóåì â ïåðâîì ðàâåíñòâå σàääèòèâíîñòü âåðîÿòíîñòíîé ìåðû (а что это? ), à âî âòîðîì — òåîðåìó óìíîæåíèÿ)P(A) =∞Xi=1P(A ∩ Hi ) =∞Xi=123P(Hi )P(AHi ).4.4Ôîðìóëà ÁàéåñàÒåîðåìà 9 (Ôîðìóëà Áàéåñà).Ïóñòü H1 , H2 , . . . — ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé è A — íåêîòîðîå ñîáûòèå ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè.
Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èìåëî ìåñòîñîáûòèå Hk , åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà íàáëþäàëîñü ñîáûòèå A, ìîæåòáûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå: Hk )P(H)P(AkP(Hk A) = P∞.i=1 P(Hi )P(A Hi )Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè,P(Hk )P(AHk )P(Hk ∩ A)P(Hk A) == P∞.P(A)i=1 P(Hi )P(A Hi )Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìû óìíîæåíèÿ è ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.Ïðèìåð 19. Âåðíåìñÿ ê ïðèìåðó 18.
Èçäåëèå âûáèðàåòñÿ íàóäà÷ó èç âñåé ïðîèçâåäåííîé ïðîäóêöèè. Ðàññìîòðèì òðè ãèïîòåçû: Hi = {èçäåëèå èçãîòîâëåíî i-ì çàâîäîì},i = 1, 2, 3. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé äàíû: P(H1 ) = 0.25, P(H2 ) = 0.35, P(H3 ) = 0.4. ÏóñòüA = {èçäåëèåîêàçàëîñü áðàêîâàííûì}. Äàíû òàêæå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè P (AH1 ) =0.05, P (AH2 ) = 0.03, P (AH3 ) = 0.04.Убедиться, что полученные нами вероятности в (а) и (б) совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и формуле Байеса.Ïðèìåð 20.
Äâà ñòðåëêà ïîäáðàñûâàþò ìîíåòêó è âûáèðàþò, êòî èç íèõ ñòðåëÿåò ïîìèøåíè (îäíîé ïóëåé). Ïåðâûé ñòðåëîê ïîïàäàåò ïî ìèøåíè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, âòîðîéñòðåëîê — ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.00001. Ìîæíî ñäåëàòü äâà ïðåäïîëîæåíèÿ îá ýêñïåðèìåíòå: H1 = {ñòðåëÿåò 1-é ñòðåëîê} è H2 = {ñòðåëÿåò 2-é ñòðåëîê}. Àïðèîðíûå (a’priori —«äî îïûòà») âåðîÿòíîñòè ýòèõ ãèïîòåç îäèíàêîâû: P(H1 ) = P(H2 ) = 1/2.Ðàññìîòðèì ñîáûòèå A = {ïóëÿ ïîïàëà â ìèøåíü}.
Èçâåñòíî, ÷òîP(AH1 ) = 1, P(AH2 ) = 0.00001.Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïóëå ïîïàñòü â ìèøåíü P(A) = 1/2 · 1 + 1/2 · 0.00001. Ïðåäïîëîæèì,÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî. Êàêîâà òåïåðü àïîñòåðèîðíàÿ (a’posteriori — «ïîñëå îïûòà») âåðîÿòíîñòü êàæäîé èç ãèïîòåç Hi ? Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâàÿ èç ýòèõ ãèïîòåç ìíîãîâåðîÿòíåå âòîðîé (à èìåííî, â 100000 ðàç). Äåéñòâèòåëüíî,P(H1 A) =1/2·11=;1/2·1 + 1/2·0.000011 + 0.00001P(H2 A) =241/2·0.000010.00001=.1/2·1 + 1/2·0.000011 + 0.00001Ðàçäåë 5.5.1Ñõåìà ÁåðíóëëèÐàñïðåäåëåíèå ÷èñëà óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõÎïðåäåëåíèå 19. Схемой Бернулли íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíû ëèøü äâà èñõîäà — «óñïåõ» è «íåóäà÷à», ïðèýòîì «óñïåõ» â îäíîì èñïûòàíèè ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ p ∈ [0, 1], «íåóäà÷à» — ñâåðîÿòíîñòüþ q = 1 − p.Òåîðåìà 10 (Ôîðìóëà Áåðíóëëè).Îáîçíà÷èì ÷åðåç νn ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè.
Òîãäà äëÿëþáîãî k = 0, 1, . . . , nP(νn = k) = Cnk pk (1 − p)n−k = Cnk pk q n−k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîáûòèå A = {νn = k} îçíà÷àåò, ÷òî â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ïðîèçîøëî ðîâíî k óñïåõîâ. Ðàññìîòðèì îäèí èç áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþA ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ: (ó, ó, . . . , ó , í, . . . , í). Çäåñü áóêâàìè «ó» è «í» îáîçíà÷åíû,{z} | {z }|kn−kñîîòâåòñòâåííî, óñïåøíûé è íåóäà÷íûé ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé. Ïîñêîëüêó èñïûòàíèÿíåçàâèñèìû, âåðîÿòíîñòü òàêîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà (ïåðâûå k èñïûòàíèé çàâåðøèëèñü óñïåõîì, îñòàëüíûå íåóäà÷åé) ðàâíà pk (1 − p)n−k .Äðóãèå áëàãîïðèÿòñòâóþùèå ñîáûòèþ A ýëåìåíòàðíûå èñõîäû îòëè÷àþòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå ëèøü ðàñïîëîæåíèåì k óñïåõîâ íà n ìåñòàõ.
Åñòü ðîâíî Cnk ñïîñîáîâðàñïîëîæèòü k óñïåõîâ íà n ìåñòàõ. Ïîýòîìó ñîáûòèå A ñîñòîèò èç Cnk ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ, âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà pk (1 − p)n−k .Îïðåäåëåíèå 20. Íàáîð ÷èñåë Cnk pk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n íàçûâàåòñÿ биномиальным распределением вероятностей è îáîçíà÷àåòñÿ Bn,p èëè B(n, p).5.2Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâÏî ôîðìóëå Áåðíóëëè, ñîáûòèå «ïðîèçîøëî 0 óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ» èìååò âåðîÿòíîñòü q n , 1 óñïåõ — âåðîÿòíîñòü n p q n−1 è ò.ä. Êàêîå æå ÷èñëî óñïåõîâ наиболеевероятно? Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè êàêîì k äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì P(νn = k)?×òîáû âûÿñíèòü ýòî, ñðàâíèì îòíîøåíèå P(νn = k) è P(νn = k − 1) ñ åäèíèöåé.(k − 1)!(n − k + 1)! pk q n−kP(νn = k)n!==P(νn = k − 1)k!(n − k)!n!pk−1 q n−k+1(n − k + 1)p(n − k + 1)pnp + p − k==1+−1=1+.kqkqkqÂèäèì, ÷òî(a)P(νn = k) > P(νn = k − 1) ïðè np + p − k > 0, òî åñòü ïðè k < np + p;(b)P(νn = k) < P(νn = k − 1) ïðè np + p − k < 0, òî åñòü ïðè k > np + p;(c)P(νn = k) = P(νn = k − 1) ïðè np + p − k = 0, ÷òî âîçìîæíî ëèøü åñëè np + p — öåëîå÷èñëî.25Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: np + p ∈ Z è np + p 6∈ Z.
 ïåðâîì ñëó÷àå ïóñòü k0 = np + p.Èç ïîëó÷åííûõ âûøå íåðàâåíñòâ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî(a)(b)(c). . . < P(νn = k0 − 2) < P(νn = k0 − 1) = P(νn = k0 ) > P(νn = k0 + 1) > . . .Âî âòîðîì ñëó÷àå ïóñòü k0 = [np + p] (öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà np + p, òî åñòü íàèáîëüøåå öåëîå÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå np + p). Èç íåðàâåíñòâ (a),(b) ñëåäóåò, ÷òî(a)(a)(b). . . < P(νn = k0 − 2) < P(νn = k0 − 1) < P(νn = k0 ) > P(νn = k0 + 1) > . . .Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî P(νn = k0 ) > P(νn = k0 + 1), íàïðèìåð, ñëåäóåò èç (b), ïðèìåíåííîãî äëÿ k = k0 + 1 > np + p.Âèäèì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî np + p öåëûì èëè íåò, èìååòñÿ ëèáîäâà ðàâíîâåðîÿòíûõ «íàèáîëåå âåðîÿòíûõ» ÷èñëà óñïåõîâ k0 = np + p è k0 − 1 = np + p − 1,ëèáî îäíî «íàèáîëåå âåðîÿòíîå» ÷èñëî óñïåõîâ k0 = [np + p].Ñôîðìóëèðóåì óæå äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå â âèäå òåîðåìû.Òåîðåìà 11. n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p íàèáîëååâåðîÿòíûì ÷èñëîì óñïåõîâ ÿâëÿåòñÿa) åäèíñòâåííîå ÷èñëî k0 = [np + p], åñëè ÷èñëî np + p íå öåëîå;á) äâà ÷èñëà k0 = np + p è k0 − 1 = np + p − 1, åñëè ÷èñëî np + p öåëîå.Óïðàæíåíèå 5.
Ðàññìîòðåòü ãðàôèê âåðîÿòíîñòåé áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èóâèäåòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû íà ãðàôèêå.Íàïðèìåð, äëÿ n = 30 è p = 0.2 âåðîÿòíîñòè íàðèñîâàíû ñëåâà.Ïðèìåð 21. Åñëè p = q = 1/2, òî ïðè ÷åòíîì ÷èñëå èñïûòàíèé n ÷èñëî np + p = n/2 +1/2 6∈ Z — íå öåëîå, òàê ÷òî íàèáîëåå âåðîÿòíûì ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîå ÷èñëî óñïåõîâ[n/2+1/2] = n/2. ×òî ñîâåðøåííî ïîíÿòíî, òàê êàê åñòü íå÷åòíîå ÷èñëî âîçìîæíîñòåé —ïîëó÷èòü 0, 1, . . .
, n óñïåõîâ, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èòü k è n − k óñïåõîâ îäèíàêîâû.Ïðè íå÷åòíîì æå ÷èñëå èñïûòàíèé n ÷èñëî np + p = n/2 + 1/2 ∈ Z — öåëîå, òàê ÷òîíàèáîëåå âåðîÿòíûìè (è îäèíàêîâî âåðîÿòíûìè) ÿâëÿþòñÿ äâà ÷èñëà óñïåõîâ n/2 + 1/2è n/2 − 1/2.5.3Íîìåð ïåðâîãî óñïåøíîãî èñïûòàíèÿÐàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p â îäíîì èñïûòàíèè. Èñïûòàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äî ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî óñïåõà. Ââåäåì âåëè÷èíó τ , ïðèíèìàþùóþçíà÷åíèÿ èç {1, 2, 3, . . . }, ðàâíóþ номеру первого успешного испытания.26Òåîðåìà 12.
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé óñïåõ ïðîèçîéäåò â èñïûòàíèè ñ íîìåðîì k ∈ N = {1, 2, 3, . . . }, ðàâíà P(τ = k) = p q k−1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, P(τ = k) = P(í, í, . . . , í, ó) = p q k−1 .|{z}k−1Îïðåäåëåíèå 21. Íàáîð ÷èñåë {p q k−1 , k = 1, 2, 3, . . . } íàçûâàåòñÿ геометрическимраспределением вероятностей è îáîçíà÷àåòñÿ Gp èëè G(p).Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé îáëàäàåò èíòåðåñíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå ìîæíî íàçâàòü ñâîéñòâîì «íåñòàðåíèÿ». Ïóñòü âåëè÷èíà τ îáîçíà÷àåò, ñêàæåì,âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû (èçìåðÿåìîå öåëûì ÷èñëîì ÷àñîâ) íåêîòîðîãî óñòðîéñòâà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âåëè÷èíû τ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü ëþáîå ñâîå çíà÷åíèå k â òî÷íîñòè ðàâíà p q k−1 .
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 13. Ïóñòü P(τ = k) = p q k−1 äëÿ ëþáîãî k ∈ N. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõn, k > 0P(τ > n + k τ > n) = P(τ > k).Äàííîìó ðàâåíñòâó ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùåå çâó÷àíèå: если известно, что устройство уже проработало без отказа n часов, то вероятность ему работать еще не менееk часов точно такая же, как вероятность проработать не менее k часов для новогоустройства.Ìîæíî ïðî÷åñòü ýòó ôîðìóëó è òàê: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчетвремени, или от того, сколько уже работает устройство :-).Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
