lect-terver (1082434), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî çàäàòü èñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:6Fξ (x)0,x < a;1x − a, a6x6bFξ (x) = P(ξ < x) =b−a1,x > b.abxÓïðàæíåíèå 8. Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, áèíîìèàëüíîãî è ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.367.1Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿÒåîðåìà 18.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:F1) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) íå óáûâàåò: åñëè x1 < x2 , òî Fξ (x1 ) 6 Fξ (x2 );F2) Ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim Fξ (x) = 0 è lim Fξ (x) = 1.x→∞x→−∞Fξ (x)F3) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿlimx→x0 −0 Fξ (x) = Fξ (x0 ).íåïðåðûâíàñëåâà:Fξ (x0 −0)=Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà (F1).Åñëè x1 < x2 , òî {ξ < x1 } ⊆ {ξ < x2 }.
Ïîýòîìó Fξ (x1 ) = P{ξ < x1 } 6 P{ξ < x2 } = Fξ (x2 ).Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà (F2).Çàìå÷àíèå 12. Åñëè ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ ai , ñõîäèò∞nPPdefñÿ, òî åñòü ñóùåñòâóåòai =limai < ∞, òî «õâîñò» ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:lim∞Pn→∞ i=ni=1n→∞i=1ai = 0.Çàìå÷àíèå 13. Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ â ñâîéñòâàõ (F2), (F3) âûòåêàåò èç ìîíîòîííîñòè è îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè Fξ (x).Òàê ÷òî îñòàåòñÿ äîêàçàòü ðàâåíñòâàlim Fξ (x) = 0, lim Fξ (x) = 1 è lim Fξ (x) = Fξ (x0 ).x→−∞x→x0 −0x→∞Çàìå÷àíèå 14. Åñëè ñóùåñòâóåò lim f (x), òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèx→a{xn } òàêîé, ÷òî xn → a èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî lim f (x) = lim f (xn ).x→∞Ïî çàìå÷àíèþ 14, äëÿ äîêàçàòåëüñòâàn→∞lim Fξ (x) = 0x→−∞äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òîFξ (−n) → 0 ïðè n → ∞.Ïðåäñòàâèì ñîáûòèå {ξ < −17} (íàïðèìåð) êàê ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ñîáûòèé:{ξ < −17} = .
. . ∪ {−20 6 ξ < −19} ∪ {−19 6 ξ < −18} ∪ {−18 6 ξ < −17} =∞[={−i−1 6 ξ < −i}.i=17Èñïîëüçóÿ σ-àääèòèâíîñòü âåðîÿòíîñòè, è ïîìíÿ, ÷òî P{ξ < −17} 6 1, ïîëó÷èì:P{ξ < −17} =∞XP{−i − 1 6 ξ < −i} 6 1, è, ïî çàìå÷àíèþ 12,i=17Íî∞XP{−i−1 6 ξ < −i} → 0.i=n∞XP{−i−1 6 ξ < −i} = P{ξ < −n} = Fξ (−n),i=nè ñõîäèìîñòü Fξ (x) ê íóëþ ïðè x → −∞ äîêàçàíà.Èòîãî: есть ряд, составленный из вероятностей, сумма которого тоже есть вероятность и, следовательно, конечна. А из того, что ряд сходится, по замечанию 12 вытекаетсходимость «хвоста» ряда к нулю. Осталось посмотреть на этот хвост и убедиться,37что он равен как раз той вероятности, сходимость к нулю которой нам нужно доказать.Точно так же докажем и остальные свойства.Ïî çàìå÷àíèþ 14, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà lim Fξ (x) = 1 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî Fξ (n) →x→∞1 ïðè n → ∞, èëè ÷òî 1 − Fξ (n) = P(ξ > n) → 0.Ïðåäñòàâèì ñîáûòèå {ξ > 11} (íàïðèìåð :-) êàê ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ñîáûòèé:{ξ > 11} = {11 6 ξ < 12} ∪ {12 6 ξ < 13} ∪ {13 6 ξ < 14} ∪ .
. . =∞[{i 6 ξ < i + 1}.i=11 ñèëó σ-àääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè,P{ξ > 11} =∞X∞XP{i 6 ξ < i + 1} 6 1, è, ïî çàìå÷àíèþ 12,i=11ÍîP{i 6 ξ < i + 1} → 0.i=n∞XP{i 6 ξ < i + 1} = P{ξ > n} = 1 − Fξ (n),i=nè ñõîäèìîñòü Fξ (x) ê åäèíèöå ïðè x → ∞ äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà (F3).Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 14, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî Fξ1x0 −n→ Fξ (x0 ) ïðè n → ∞. Èëè,÷òî òî æå ñàìîå, äîêàçàòü, ÷òî111Fξ (x0 ) − Fξ x0 −= P(ξ < x0 ) − P ξ < x0 −= P x0 − 6 ξ < x0 → 0.nnn(11)Ïðåäñòàâèì ñîáûòèå {ξ < x0 } êàê ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ñîáûòèé:{ξ < x0 } = 11111= {ξ < x0 −1}∪ x0 −1 6 ξ < x0 −∪ x0 − 6 ξ < x0 −∪ x0 − 6 ξ < x0 −∪. . .
=22334∞ [11= {ξ < x0 −1} ∪x0 − 6 ξ < x0 −.ii+1i=1 ñèëó σ-àääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè,∞X11P{ξ < x0 } = P{ξ < x0 −1} +P x0 − 6 ξ < x0 −6 1,ii+1i=1ïîýòîìó ñíîâà∞X11P x0 − 6 ξ < x0 −→ 0.ii+1i=n∞P111ÍîP x0 − 6 ξ < x0 −= P x0 − 6 ξ < x0 , è ýòà âåðîÿòíîñòü, êàê ìûii+1ni=nòîëüêî ÷òî âèäåëè, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì n. Òîãäà, ïî (11), Fξ (x) → Fξ (x0 ) ïðèx → x0 −0 (íåïðåðûâíîñòü ñëåâà).Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ãîâîðèò î òîì, ÷òî òðè äîêàçàííûõ ñâîéñòâà ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò êëàññ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Òî, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìè îáëàäàåò,38ìû ñ âàìè äîêàçàëè, à òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ñ òàêèìè ñâîéñòâàìèåñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.Òåîðåìà 19. Åñëè ôóíêöèÿ F : R → [0, 1] óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì (F1)–(F3), òî Fåñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, òî åñòü íàéäåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî hΩ, F, Pi è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå, ÷òîF (x) ≡ Fξ (x).Эту теорему мы доказывать не станем.
Хотя ее можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (проще всего отрезок Ω = [0, 1] с σ-алгебройборелевских множеств и мерой Лебега :-) и ту случайную величину, о существовании которыхидет речь. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдетли ξ(ω) = sup{x : F (x) < ω}.Ïðî÷èå ïîëåçíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿF4)  ëþáîé òî÷êå x0 ðàçíèöà Fξ (x0 +0) − Fξ (x0 ) ðàâíà P(ξ = x0 ):Fξ (x0 +0) − Fξ (x0 ) =Fξ (x0 +0) =lim Fξ (x) − Fξ (x0 ) = P(ξ = x0 ),x→x0 +0èëè, èíà÷å,lim Fξ (x) = Fξ (x0 ) + P(ξ = x0 ) = P(ξ 6 x0 ).x→x0 +0Óïðàæíåíèå 9.
Äîêàæèòå ñàìè (òî÷íî òàê æå, êàê ìû äîêàçûâàëè (F2) è (F3)).Çàìåòèì, ÷òî ðàçíèöà Fξ (x0 +0) − Fξ (x0 ) ìåæäó ïðåäåëîì ïðè ñòðåìëåíèè ê x0 ñïðàâàè çíà÷åíèåì â òî÷êå x0 åñòü âåëè÷èíà ñêà÷êà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, è ðàâíà íóëþ,åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà (ñïðàâà) â òî÷êå x0 . Ñëåâà, íàïîìíþ, ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà âñåãäà.Ñëåäñòâèå 4.
Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , òîP(ξ = x0 ) = 0.F5) Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî P(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a).Åñëè æå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) íåïðåðûâíà (äëÿ ëþáîãî x, èëè òîëüêî âòî÷êàõ a è b), òîP(a 6 ξ < b) = P(a < ξ < b) = P(a 6 ξ 6 b) = P(a < ξ 6 b) = Fξ (b) − Fξ (a).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçûâàòü íóæíî òîëüêî ðàâåíñòâî P(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a),ïîñêîëüêó âñå îñòàëüíûå ðàâåíñòâà ñëåäóþò èç íåãî ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ 4. Íàïîìíþ,÷òî ýòèì ðàâåíñòâîì ìû óæå ìíîãî ðàç ïîëüçîâàëèñü, äîêàçûâàÿ ñâîéñòâà (F2), (F3).Çàìåòèì, ÷òî {ξ < a} ∪ {a 6 ξ < b} = {ξ < b}, è ïåðâûå äâà ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû.ÏîýòîìóP{ξ < a} + P{a 6 ξ < b} = P{ξ < b},èëè Fξ (a) + P{a 6 ξ < b} = Fξ (b), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿÌû óæå âèäåëè, êàê âûãëÿäÿò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Èç ñâîéñòâ (F4), (F5) ñëåäóåò39Ñâîéñòâî 6.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ — ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ξ — òî÷êè ai ñêà÷êîâ Fξ , è pi = P(ξ = ai ) = Fξ (ai +0) − Fξ (ai ) — âåëè÷èíûñêà÷êîâ.Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чем счетное число точек разрыва (или «скачков»). Óêàçàíèå. Ñêîëüêî ñêà÷êîâ âåëè÷èíîé áîëåå1/2 ìîæåò èìåòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ? À âåëè÷èíîé áîëåå 1/3? Áîëåå 1/4? ñëåäóþùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿêîòîðûõ íå óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó 6 õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî îíè âîâñå íå èìåþò ðàçðûâîâ.
Áîëåå òîãî, ìû âûäåëèì êëàññ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå «âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî ñâîåé ïðîèçâîäíîé» ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ (òàê íàçûâàåìûå абсолютнонепрерывные функции).40Ðàçäåë 8.Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿÎïðåäåëåíèå 29.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò абсолютно непрерывное ðàñïðåäåëåíèå, åñëèñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ fξ (x) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Rôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) ïðåäñòàâèìà â âèäåZxÏðè ýòîì ôóíêöèÿ fξ (x) íàçûâàåòñÿ плотностью расFξ (x) =fξ (t) dt.пределения ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.−∞Òåîðåìà 20.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:R∞(f1) fξ (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x; (f2)fξ (t) dt = 1.−∞Z∞−∞Äîêàçàòåëüñòâî.
(f1) âûïîëíåíî ïî îïðåäåëåíèþ ïëîòíîñòè. Äîêàæåì (f2).Zxdeffξ (t) dt = limfξ (t) dt = lim Fξ (x) = 1 ïî ñâîéñòâó (F2) ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.x→∞−∞x→∞Ýòè äâà ñâîéñòâà ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóþò êëàññ ïëîòíîñòåé:Ëåììà 3. Åñëè ôóíêöèÿ f îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (f1) è (f2), òî ñóùåñòâóåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íà íåì, äëÿ êîòîðîé f ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Ω åñòü îáëàñòü, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó îñüþ àáñöèññ è ãðàôèêîìôóíêöèè f («ïîäãðàôèê» ôóíêöèè f ). Ïëîùàäü îáëàñòè Ω ðàâíà 1 ïî ñâîéñòâó (f2). Èïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ åñòü àáñöèññà òî÷êè, íàóäà÷ó áðîøåííîé â ýòó îáëàñòü.Òîãäà (вспомнить геометрическую вероятность) äëÿ ëþáîãî x ∈ Rïëîùàäü DxFξ (x) = P(ξ < x) = P(òî÷êà ïîïàëà â îáëàñòü Dx ) ==ïëîùàäü ΩZxf (t) dt,−∞òî åñòü f ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.Ñâîéñòâà ïëîòíîñòåé(f3) Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ååôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âñþäó íåïðåðûâíà.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ýòîò ôàêò ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèÿ Fξ (x) =Rx−∞íîñòè èíòåãðàëà êàê ôóíêöèè âåðõíåãî ïðåäåëà.41fξ (t) dt è íåïðåðûâ-Ñëåäñòâèå 5. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî P(ξ = x) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ R.(f4) Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åådôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìà ïî÷òè âñþäó, è fξ (x) = Fξ0 (x) =Fξ (x)dxäëÿ ïî÷òè âñåõ x.Çàìå÷àíèå 15.
Òåðìèí äëÿ «ïî÷òè âñåõ» îçíà÷àåò «äëÿ âñåõ, êðîìå (âîçìîæíî) x èçíåêîòîðîãî ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû (äëèíû)». Çàìåòüòå, ÷òî ñòîÿùóþ ïîä èíòåãðàëîìôóíêöèþ ìîæíî èçìåíèòü â îäíîé òî÷êå (èëè íà ìíîæåñòâå íóëåâîé äëèíû), è èíòåãðàë(«ïëîùàäü ïîäãðàôèêà») îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ.(f5) Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òîP(a < ξ < b) = P(a 6 ξ < b) = P(a < ξ 6 b) = P(a 6 ξ 6 b) =Zbfξ (t) dt.aÄîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
