lect-terver (1082434), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Äåéñòâèòåëüíî,P(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) =Zbfξ (t) dt −−∞Zafξ (t) dt.−∞Îñòàëüíûå ðàâåíñòâà âûòåêàþò èç ñëåäñòâèÿ 5.8.1Ïðèìåðû àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèéÐàâíîìåðíîå. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå íàì óæå çíàêîìî. Ãîâîðÿò, ÷òî ξ èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b], è ïèøóò ξ ⊂= Ua,b , åñëè0,x < a;0,x < a;x − a 1, a6x6bFξ (x) = P(ξ < x) =fξ (x) =, a6x6bb−ab−a1,x > b,0,x > b.Çàìåòüòå, ÷òî â òî÷êàõ a è b ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìà, è ïëîòíîñòü ìîæíî çàäàòü êàê óãîäíî.Ïîêàçàòåëüíîå. Ãîâîðÿò, ÷òî ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α,α > 0 è ïèøóò ξ ⊂= Eα , åñëè((0,x < 0;0,x < 0;Fξ (x) = P(ξ < x) =fξ (x) =−αx−αx1−e, x > 0,αe, x > 0.Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ñâîéñòâî «íåñòàðåíèÿ» (è â ýòîì ñìûñëå îíîÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì àíàëîãîì äèñêðåòíîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).Òåîðåìà 21.
Свойство «нестарения». Ïóñòü ξ ⊂= Eα . Òîãäà äëÿ ëþáûõ x, y > 0P(ξ > x + y ξ > x) = P(ξ > y).Óïðàæíåíèå 10. Äîêàçàòü «свойство нестарения».42Óïðàæíåíèå 11. ∗ Äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååòàáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå è îáëàäàåò ñâîéñòâîì «íåñòàðåíèÿ», òî åñòü äëÿëþáûõ x, y > 0P(ξ > x + y ξ > x) = P(ξ > y),òî îíà èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåêîòîðûì ïàðàìåòðîì α.Íîðìàëüíîå. Ãîâîðÿò, ÷òî ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 , ãäåa ∈ R, σ > 0, è ïèøóò ξ ⊂= Na,σ2 , åñëè ξ èìååò ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:−1fξ (x) = √eσ 2π(x−a)22σ 2x ∈ R.äëÿ ëþáîãîÓáåäèìñÿ, ÷òî fξ (x) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òàê êàê fξ (x) >0 äëÿ âñåõ x ∈ R, òî ñâîéñòâî (f1) âûïîëíåíî. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå (f2). Èñïîëüçóåìòàáëè÷íûé èíòåãðàë (èíòåãðàë Ïóàññîíà)Z∞e−x2 /2dx =√2π.−∞Этот интеграл вычисляется так:R∞2e−x/2dx−∞R∞e−y2/2dy =−∞R∞ R∞2e−(x+y 2 )/2dx dy =−∞ −∞(цилиндрическая замена переменных x = r cos φ, y = r sin φ, dx dy = r dr dφ) =2π2πR R∞ −r2 /2R R∞ −r2 /2redr dφ =ed(r2 /2) dφ = 2π.0 0Z∞−∞fξ (x) dx =0 0Z∞−∞−1√eσ 2π(x−a)22σ 2dx ="=замена переменныхx−at=, dx = σ dtσZ∞−∞2 /2−t1√eσ 2π#=1σ dt = √2πZ∞2 /2e−tdt = 1.−∞Íîðìàëüíîå (èíà÷å íàçûâàåìîå ãàóññîâñêèì ïî èìåíè Êàðëà Ãàóññà, ñì.
ãðàôèêïëîòíîñòè íà êóïþðå 10 DM) ðàñïðåäåëåíèå èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïîýòîìó ìû î÷åíü ïîäðîáíî èçó÷èì âñå ñâîéñòâà ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.8.2 Ñâîéñòâà íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿÍîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ, êàê ìû âèäèì, ñ ïîìîùüþ ïëîòíîñòè ðàñïðå2äåëåíèÿ. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì, ÷òî íåëüçÿ âûïèñàòü ïåðâîîáðàçíóþ îò ôóíêöèè e−x èíà÷åêàê â âèäå èíòåãðàëà, ïîýòîìó ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîãî çàêîíà ìîæíî çàïèñàòüëèøü â òàêîì âèäå:Fξ (x) = Φa,σ2 (x) =Zx−∞−1√eσ 2π(t−a)22σ 2dt.Ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Φa,σ2 (x) äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 .43Èñêëþ÷èòåëüíî ïîëåçíî íàðèñîâàòü ãðàôèê ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(îòìåòèâ òî÷êè ýêñòðåìóìà, ïåðåãèáîâ, ïîñ÷èòàâ çíà÷åíèå â òî÷êå ìàêñèìóìà ïëîòíîñòèè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ïåðåãèáîâ).
Ãðàôèê ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî òàêæå ïîñìîòðåòü çäåñü:http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/PlotDist.html.Ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåÍîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Na,σ2 ïðè a = 0 è σ 2 = 1 íàçûâàåòñÿ стандартным нормальным распределением. Ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìå12e−x /2 ïðè ëþáîì x ∈ R, à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Φ0,1 (x) =åò âèä fξ (x) = √2πZx12√e−t /2 dt òàáóëèðîâàíà (òî åñòü åå çíà÷åíèÿ âû÷èñëåíû ïðè ìíîãèõ x) ïî÷òè2π−∞âî âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïðàâî÷íèêàõ.
Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó Φa,σ2 è Φ0,1 .Ñâîéñòâî 7.Äëÿ ëþáîãî x ∈ R ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Φa,σ2 (x) = Φ0,1x−a.σÄîêàçàòåëüñòâî.Φa,σ2 (x) =Zx−∞(t−a)2−2σ 21√eσ 2π замена переменных y = t − a , dt = σ dydt = σx−at = x 7→ y =σx−aZσ=−∞−y1√e2π= Φ0,12 /2dy =x−aσ.Òî æå ñàìîå íà ÿçûêå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Ñëåäñòâèå 6. Åñëè ξ ⊂= Na,σ2 , òî η =ξ−a⊂= N0,1 .σÄîêàçàòåëüñòâî.Fη (x) = P(η < x) = Pξ−a< x = P(ξ < σx + a) = Φa,σ2 (σx + a) =σσx + a − a= Φ0,1= Φ0,1 (x).σÑëåäñòâèå 7.
Åñëè ξ ⊂= Na,σ2 , òîP(x1 < ξ < x2 ) = Φa,σ2 (x2 ) − Φa,σ2 (x1 ) = Φ0,1x2 − aσ− Φ0,1x1 − aσ.Êàê ìû âèäèì, âû÷èñëåíèå ëþáûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Φ0,1 . Åå ñâîéñòâà(íàðèñîâàòü èõ íà ãðàôèêå плотности ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ!!):Ñâîéñòâî 8.Φ0,1 (0) = 0.5.Ñâîéñòâî 9.Φ0,1 (−x) = 1 − Φ0,1 (x).44Åñëè ξ ⊂= N0,1 , òî P(|ξ| < x) = 1 − 2Φ0,1 (−x) = 2Φ0,1 (x) − 1.Ñâîéñòâî 10.Äîêàçàòåëüñòâî. P(|ξ| < x) = P(−x < ξ < x) = Φ0,1 (x) − Φ0,1 (−x) = (ïî ñâîéñòâó 9)= 1 − 2Φ0,1 (−x) = 2Φ0,1 (x) − 1.Ñâîéñòâî 11 («Ïðàâèëî òðåõ ñèãì»).Åñëè ξ ⊂= Na,σ2 , òîP(|ξ − a| > 3σ) = 0.0027(ìàëî, â îáùåì :).Äîêàçàòåëüñòâî.ξ − aP(|ξ − a| > 3σ) = 1 − P(|ξ − a| < 3σ) = 1 − P <3 .σ ξ−aèìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, è ìîæíî èñïîëüσçîâàòü ñâîéñòâî 10: 1 − P(|η| < 3) = 1 − (1 − 2Φ0,1 (−3)) = 2Φ0,1 (−3) = 2 · 0.00135 = 0.0027(íàéòè â òàáëèöå!).Íî âåëè÷èíà η =Ñìûñëà â çàïîìèíàíèè ÷èñëà 0.0027 íåò íèêàêîãî, à âîò ïîìíèòü, ÷òî ïî÷òè âñÿ ìàññàíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñðåäîòî÷åíà â ãðàíèöàõ [a − 3σ, a + 3σ], âñåãäà ïîëåçíî.45Ðàçäåë 9.Ñëó÷àéíûå âåêòîðà è èõ ðàñïðåäåëåíèÿÎïðåäåëåíèå 30.
Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn çàäàíû íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, òî âåêòîð (ξ1 , . . . , ξn ) ìû áóäåì íàçûâàòü случайным вектором.Îïðåäåëåíèå 31. Ôóíêöèÿ Fξ1 ,...,ξn (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn ) íàçûâàåòñÿфункцией распределения ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ1 , . . . , ξn ) èëè функцией совместного распределения ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn .9.1Ñâîéñòâà ôóíêöèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿÄëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé âñå äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ è ôîðìóëèðîâêè ïðèâîäÿòñÿ â ñëó÷àå n = 2 äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ1 , ξ2 ).F0) 0 6 Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) 6 1.F1) Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) íå óáûâàåò ïî êàæäîé êîîðäèíàòå âåêòîðà (x1 , x2 ).F2) Äëÿ ëþáîãî i = 1, 2 ñóùåñòâóåòlim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = 0;xi →−∞Äëÿ ëþáîãî i = 1, 2 ñóùåñòâóåò lim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ).
Ïðè ýòîìxi →∞defdefFξ1 ,ξ2 (∞, x2 ) = lim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ2 (x2 ), Fξ1 ,ξ2 (x1 , ∞) = lim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ1 (x1 ).x1 →∞x2 →∞F3) Ôóíêöèÿ Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) ïî êàæäîé êîîðäèíàòå âåêòîðà (x1 , x2 ) íåïðåðûâíà ñëåâà.Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñâîéñòâ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ.Òîëüêî òåïåðü ýòèõ ñâîéñòâ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî äëÿ îïèñàíèÿ êëàññà ôóíêöèéñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíà÷å ãîâîðÿ, âûïîëíåíèå ýòèõ ñâîéñòâ äëÿ íåêîòîðîéôóíêöèè F : R2 → R âîâñå íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.Óïðàæíåíèå 12. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ(0, x1 6 0 èëè x2 6 0 èëè x1 + x2 6 1;F (x1 , x2 ) =1, èíà÷å, òî åñòü êîãäà îäíîâðåìåííî x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1.a) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì (F0)-(F3);á) íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íèêàêîãî âåêòîðà (ξ1 , ξ2 ) õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî,íàéäèñü òàêîé âåêòîð, íàéäåòñÿ è ïðÿìîóãîëüíèê [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ], âåðîÿòíîñòü ïîïàñòüâ êîòîðûé (âû÷èñëåííàÿ ñ ïîìîùüþ ýòîé «ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ») îòðèöàòåëüíà:P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) < 0!Êàê æå ñâÿçàíà âåðîÿòíîñòü âåêòîðó ïîïàñòü â ïðÿìîóãîëüíèê ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîãî âåêòîðà?Óïðàæíåíèå 13.
Äîêàçàòü, ÷òîP(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) = Fξ1 ,ξ2 (b1 , b2 ) − Fξ1 ,ξ2 (a1 , b2 ) − Fξ1 ,ξ2 (b1 , a2 ) + Fξ1 ,ξ2 (a1 , a2 ). (12)Îêàçûâàåòñÿ, åñëè ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî îò ôóíêöèè F , ÷òîáû äëÿ âñÿêîãîïðÿìîóãîëüíèêà [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] âåðîÿòíîñòü P (a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ), ñâÿçàííàÿ ñôóíêöèåé F ðàâåíñòâîì (12), áûëà íåîòðèöàòåëüíà, òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿýòèì ñâîéñòâîì è ñâîéñòâàìè (F0)-(F3), óæå áóäåò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãîñëó÷àéíîãî âåêòîðà.46На самом деле существо свойства (F2) в той его части, что касается предела на бесконечности, весьма туманно. Утверждает это свойство гораздо больше, чем просто«предел функции совместного распределения при стремлении одной координаты к бесконечности есть тоже функция распределения». Но как в общем случае проверить,что это не просто «некая функция распределения», но функция распределения оставшейся координаты вектора (ξ1 , ξ2 )? Если, не лукавя, рассмотреть в упражнении 12F1 (x1 ) = limx2 →∞ F (x1 , x2 ) и F2 (x2 ) = limx1 →∞ F (x1 , x2 ), то обе эти функции являютсяфункциями распределения (вырожденного закона, т.е.
случайных величин ξ1 = 0 и ξ2 = 0п.н.). Но две вырожденные случайные величины независимы, и их функция совместногораспределения равна 1 в первом квадранте (не включая его границу) и нулю в остальныхквадрантах, но никак не равна F . Оставляю на суд читателя вопрос о том, выполненоли все-таки условие (F2) для F из упражнения 12.9.2Òèïû ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèéÎãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî äâóõ ñëó÷àåâ, êîãäà ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèåêîîðäèíàò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ1 , ξ2 ) ëèáî дискретно, ëèáî абсолютно непрерывно.Äèñêðåòíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèå 32.
Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 èìåþò дискретное ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé íàáîð {ai , bj } òàêîé,÷òî∞ X∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = 1.i=1 j=1Òàáëèöó, íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà êîòîðîé (èëè íàîáîðîò) ñòîèò ÷èñëîP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ), íàçûâàþò таблицей совместного распределения ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ1 è ξ2 .Çàìå÷àíèå 16.
Íàïîìíþ, ÷òî òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ1 , ξ2 â îòäåëüíîñòè (òàáëèöû ÷àñòíûõ, èëè маргинальных ðàñïðåäåëåíèé) âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî òàáëèöå совместного ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíûõ ôîðìóë:∞X∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = P(ξ1 = ai ),j=1P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = P(ξ2 = bj ).i=1Åñëè ýòè ôîðìóëû âàì íå ïðåäñòàâëÿþòñÿ î÷åâèäíûìè, íåîáõîäèìî âåðíóòüñÿ ê ðàçäåëó4 è ïåðå÷èòàòü îïðåäåëåíèå 18 ïîëíîé ãðóïïû ñîáûòèé, îáðàòèâ òàêæå âíèìàíèå íàäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8 (ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè).Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèå 33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
