lect-terver (1082434), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Äîêàçàòü ñâîéñòâî 14, ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâàìè(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ba = a2 + b2 + 2ab = aa + bb + ab + baè ïîëó÷èâ àíàëîãè÷íûå ðàâåíñòâà äëÿ êâàäðàòà ñóììû n ñëàãàåìûõ.Îáñóäèì äîñòîèíñòâà è íåäîñòàòêè êîâàðèàöèè, êàê âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùåéçàâèñèìîñòü äâóõ ñ. â.1. Åñëè êîâàðèàöèÿ cov(ξ, η) îòëè÷íà îò íóëÿ, òî âåëè÷èíû ξ è η зависимы!2. Ñ ãàðàíòèåé î íàëè÷èè çàâèñèìîñòè ìû ìîæåì ñóäèòü, åñëè çíàåì ñîâìåñòíîåðàñïðåäåëåíèå ïàðû ξ è η, è ìîæåì ïðîâåðèòü, ðàâíà ëè (íàïðèìåð) ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòåé.Íî íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòî áûâàåò ñëîæíåå, ÷åì ïîñ÷èòàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ξ è η.
Åñëè íàì ïîâåçåò, è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåïðîèçâåäåíèÿ ξ è η íå áóäåò ðàâíÿòüñÿ ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàò. îæèäàíèé, ìû ñêàæåì,÷òî ξ è η çàâèñèìû не находя èõ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ!Ïðèìåð 43. Ïîêàæåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ êîâàðèàöèè ìîæíî ñóäèòü î çàâèñèìîñòè äàæå êîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåäîñòàòî÷íî äàííûõ.Ïóñòü ξ è η — независимые ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, è äèñïåðñèÿ ξ îòëè÷íà îò íóëÿ (тоесть?).
Äîêàæåì, ÷òî ξ è ξ + η çàâèñèìû.E ξ(ξ + η) = E ξ 2 + E (ξη) = E ξ 2 + E ξ E η; E ξ E (ξ + η) = (E ξ)2 + E ξ E η.(18)63Ïîýòîìó cov(ξ, ξ + η) = E ξ 2 + E ξ E η − (E ξ)2 + E ξ E η = D ξ > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ξ è ξ + ηçàâèñèìû.3. Æàëü, ÷òî âåëè÷èíà cov(ξ, η) íå ÿâëÿåòñÿ «áåçðàçìåðíîé»: åñëè ξ – îáúåì ãàçà âñîñóäå, à η – äàâëåíèå ýòîãî ãàçà, òî êîâàðèàöèÿ èçìåðÿåòñÿ â êóáîìåòðàõ×Ïàñêàëè :).Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè óìíîæåíèè îäíîé èç âåëè÷èí ξ, η íà êàêîå-íèáóäü ÷èñëî êîâàðèàöèÿòîæå óìíîæàåòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Íî óìíîæåíèå íà ÷èñëî íå ñêàçûâàåòñÿ íà «ñòåïåíèçàâèñèìîñòè» âåëè÷èí (îíè îò ýòîãî «áîëåå çàâèñèìûìè» íå ñòàíîâÿòñÿ), òàê ÷òîáîëüøîå çíà÷åíèå êîâàðèàöèè íå îçíà÷àåò áîëåå ñèëüíîé çàâèñèìîñòè.Íóæíî êàê-òî íîðìèðîâàòü êîâàðèàöèþ, ïîëó÷èâ èç íåå «áåçðàçìåðíóþ» âåëè÷èíó,àáñîëþòíîå çíà÷åíèå êîòîðîéà) íå ìåíÿëîñü áû ïðè óìíîæåíèè èëè ñäâèãå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà ÷èñëî;á) ñâèäåòåëüñòâîâàëî áû î «ñèëå çàâèñèìîñòè» ñ. â.Говоря о «силе» зависимости между с. в., мы имеем ввиду следующее. Самаясильная зависимость — функциональная, а из функциональных – линейная зависимость, когда ξ = aη + b п.
н. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так,если по последовательности независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . построить величины ξ = ξ1 + . . . + ξ24 + ξ25 и η = ξ25 + ξ26 + . . . + ξ90 , то эти величинызависимы, но очень «слабо зависимы»: через одно-единственное общее слагаемое ξ25 .
Сильно ли зависимы число гербов в первых 25 подбрасываниях монеты ичисло гербов в той же серии, но в испытаниях с 25-го по 90-е?Èòàê, ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà åñòü âñåãî ëèøü êîâàðèàöèÿ, íîðìèðîâàííàÿ íóæíûìîáðàçîì.12.2Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÎïðåäåëåíèå 44. Коэффициентом корреляции ρ(ξ, η) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η, äèñïåðñèè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò è îòëè÷íû îò íóëÿ, íàçûâàåòñÿ числоcov(ξ, η)ρ(ξ, η) = √ √ .Dξ DηÇàìå÷àíèå 21. ×òîáû ðàçãëÿäåòü «óñòðîéñòâî» êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, ðàñïèøåì ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü:E (ξ − E ξ)(η − E η)ρ(ξ, η) = q2 q2 .E ξ − EξE η − EηЗдесь математикам уместно провести аналогии с «косинусом угла» между двумя элементами гильбертова пространства, образованного случайными величинами с конечнымвторым моментом, снабженного скалярным произведением cov(ξ, η) и «нормой», равнойкорню из дисперсии случайной величины, или корню из скалярного произведения cov(ξ, ξ).Ïðèìåð 44.
Ðàññìîòðèì ïðîäîëæåíèå ïðèìåðà 43, íî ïóñòü ξ è η áóäóò íå òîëüêîíåçàâèñèìûìè, íî è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, è èõ äèñïåðñèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ. Íàéäåì êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âåëè÷èí ξ è ξ + η. Ñîãëàñíîôîðìóëå (18),cov(ξ, ξ + η) = E ξ 2 + E ξ E η − (E ξ)2 + E ξ E η = E ξ 2 − (E ξ)2 = D ξ.ÏîýòîìóDξDξ1cov(ξ, ξ + η)ρ(ξ, ξ + η) = √ p=√ √=√ √=√ .Dξ Dξ + DηD ξ 2D ξ2D ξ D (ξ + η)64Èíà÷å ãîâîðÿ, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âåëè÷èí ξ è ξ + η ðàâåí êîñèíóñó óãëà 45◦ ,îáðàçîâàííîãî «âåêòîðàìè» ξ è ξ + η, ãäå «ξ ⊥ η» è èõ «äëèíà» îäèíàêîâà.Óïðàæíåíèå 21. ×òîáû àíàëîãèÿ íå çàõîäèëà ñëèøêîì äàëåêî, è ó ÷èòàòåëÿ íå âîçíèêëî èñêóøåíèÿ ëþáûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ðèñîâàòü ñòðåëî÷êàìè íà ïëîñêîñòè èâìåñòî ïîäñ÷åòà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé èçìåðÿòü óãëû, ïðåäëàãàþ óáåäèòüñÿ, íàïðèìåð, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âåëè÷èí ξ è ξ 2 ðàâåí:à) íóëþ,√ åñëè ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ñðåäíèì;á) 2/ 5, åñëè ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ëþáûì ïàðàìåòðîì.Îïðåäåëåíèå 45.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþò некоррелированными, åñëècov(ξ, η) = 0 (èëè åñëè ρ(ξ, η) = 0, — â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèñóùåñòâóåò).Çàìå÷àíèå 22. Åñëè îäíà èç âåëè÷èí ξ è η — ïîñòîÿííàÿ, òî ýòè âåëè÷èíû íåçàâèñèìû (проверить по определению! ), è cov(ξ, η) = 0 (проверить по определению! ). Åñòåñòâåííî â ýòîì ñëó÷àå òîæå ïîëàãàòü, ÷òî ξ è η «íåêîððåëèðîâàíû», õîòÿ êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè íå îïðåäåëåí (äèñïåðñèÿ ïîñòîÿííîé ðàâíà 0).Óïðàæíåíèå 22. À ÷òî áóäåò, åñëè äîîïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè íóëåì,åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåëè÷èí — ïîñòîÿííàÿ? Ïðåäëàãàþ ïîäóìàòü, êàêèìè äîñòîèíñòâàìè è íåäîñòàòêàìè îáëàäàåò òàêîå «ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòè òèïà 00 ».12.3 Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèèÂñþäó äàëåå ñïåöèàëüíî íå îãîâàðèâàåòñÿ, íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñóùåñòâóåò.Òåîðåìà 27.Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1.
Åñëè ñ. â. ξ è η íåçàâèñèìû, òî ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) = 0.2. |ρ(ξ, η)| 6 1.3. |ρ(ξ, η)| = 1, åñëè è òîëüêî åñëè ñ. â. ξ è η ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 линейно ñâÿçàíû,ò.å. ñóùåñòâóþò ÷èñëà a 6= 0 è b òàêèå, ÷òî P(η = aξ + b) = 1.Äîêàçàòåëüñòâî.1.Ñâîéñòâî 1 ìû óæå ìíîãî ðàç (сколько? ) óïîìèíàëè è îäèí ðàç äîêàçàëè.2.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 2 íàì ïîíàäîáèòñÿ îäíî ïðåîáðàçîâàíèå, íàçûâàåìîå «стандартизацией» ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ñ åãî ïîìîùüþ èç ñ. â. ñ êîíå÷íûì âòîðûììîìåíòîì (íå ïîñòîÿííîé) ïîëó÷àþò ñ. â. ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì(«центрированную») è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé («нормированную»).Îïðåäåëåíèå 46. Ïóñòü D ξ êîíå÷íà è îòëè÷íà îò íóëÿ. Îïðåäåëèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ˜ òàê:ξ − Eξξ˜ = √.Dξ65Ïðåîáðàçîâàíèå ξ 7→ ξ˜ íàçûâàåòñÿ стандартизацией ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, à ñàìà ñ.
â.ξ˜ íàçûâàåòñÿ стандартизованной, èëè (ñëýíã!) центрированной и нормированной âåðñèåéñ. â. ξ.Óïðàæíåíèå 23. Îáÿñíèòü, áóäåò ëè ðàñïðåäåëåíèå ξ˜à) íîðìàëüíûì, åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó;á) ðàâíîìåðíûì, åñëè ξ èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå;â) áèíîìèàëüíûì, åñëè ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå;ã) ïîêàçàòåëüíûì, åñëè ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå;(è ò.ä.)Ñâîéñòâî 15. Ñòàíäàðòèçîâàííàÿ ñ. â. ξ˜ èìååò íóëåâîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåè åäèíè÷íóþ äèñïåðñèþ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè:ξ − Eξ11˜√Eξ = E=√E (ξ − E ξ) = √(E ξ − E ξ) = 0;DξDξDξD ξ˜ = Dξ − Eξ√Dξ=11D (ξ − E ξ) =D ξ = 1.DξDξНе забудьте у каждого знака равенства написать, в силу какого свойства, утверждения илиопределения это равенство верно!Âîçâðàùàÿñü ê äîêàçàòåëüñòâó 2, çàìåòèì, ÷òî E (ξ − E ξ)(η − E η)(ξ − E ξ)(η − E η)√ √√ √ρ(ξ, η) ==E= E ξ˜ η̃ ,Dξ DηDξ Dηξ − Eξη − Eηãäå ξ˜ = √è η̃ = √— ñòàíäàðòèçîâàííûå âåðñèè ñ. â. ξ è η.DξDη1Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì 0 6 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , èëè ab 6 (a2 + b2 ).2Ïîäñòàâèì ξ˜ âìåñòî a, η̃ âìåñòî b è âîçüìåì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ îò îáåèõ ÷àñòåéíåðàâåíñòâà: 2 1 2 2 112ρ(ξ, η) = E ξ˜ η̃ 6 E ξ˜ + η̃ =D ξ˜ + E ξ˜ + D η̃ + E η̃= · 2 = 1.222(19)1Ïîëüçóÿñü òî÷íî òàê æå íåðàâåíñòâîì 0 6 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , èëè ab > − (a2 + b2 ),2ïîëó÷èì 1 212ρ(ξ, η) = E ξ˜ η̃ > − E ξ˜ + η̃ = − · 2 = −1.(20)22Òàêèì îáðàçîì, |ρ(ξ, η)| 6 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.3.
 îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî:Воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии и доказать, что(1, a > 0;ρ(ξ, aξ + b) =−1, a < 0.√Не забудьте, что a2 = |a|, а не просто a!66Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü: åñëè |ρ(ξ, η)| = 1, òî ñóùåñòâóþò ÷èñëà a 6= 0 è b òàêèå, ÷òîP(η = aξ + b) = 1.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé ρ(ξ, η) = 1. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî åñëè åäèíñòâåííîå 1 22íåðàâåíñòâî â ôîðìóëå (19) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî: E ξ˜ η̃ = E ξ˜ + η̃ , èëè22E ξ˜ − η̃ = 0.Íî ïî ñâîéñòâó E5 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàâåíñòâî íóëþ ìàò. îæèäàíèÿ íåîòðèöàòåëüíîé ñ. â. îçíà÷àåò, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ï.í. ðàâíà íóëþ:√√DηEξξ − Eξη − EηDη˜√√√√+ Eη .==P η=ξ−P ξ − η̃ = 0 = 1 = PDξDξDηDξ{z}| {z } |ab ñëó÷àå ρ(ξ, η) = −1 íóæíî ðàññìîòðåòü åäèíñòâåííîå íåðàâåíñòâî â ôîðìóëå (20)è ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ.
Òåì ñàìûì òåîðåìà 27 äîêàçàíà.Ïîëåçíî çíàòü ñëåäóþùèå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûå òåðìèíû.Îïðåäåëåíèå 47. Ãîâîðÿò, ÷òî âåëè÷èíû ξ è η отрицательно коррелированы, åñëèρ(ξ, η) < 0; ãîâîðÿò, ÷òî âåëè÷èíû ξ è η положительно коррелированы, åñëè ρ(ξ, η) > 0.Ñìûñë çíàêà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè îñîáåííî ÿñåí â ñëó÷àå ρ(ξ, η) = ±1. Òîãäàçíàê ρ ðàâåí çíàêó a â ðàâåíñòâå η = aξ + b ï.í. Òî åñòü ρ(ξ, η) = 1 îçíà÷àåò, ÷òî ÷åìáîëüøå ξ, òåì áîëüøå è η. Íàïðîòèâ, ρ(ξ, η) = −1 îçíà÷àåò, ÷òî ÷åì áîëüøå ξ, òåììåíüøå η.
Ïîõîæèì îáðàçîì ìîæíî òðàêòîâàòü çíàê êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè è âñëó÷àå, êîãäà |ρ(ξ, η)| < 1, ïîìíÿ ïðè ýòîì, ÷òî çàâèñèìîñòü âåëè÷èí ξ è η òåïåðü óæå íåëèíåéíàÿ è, âîçìîæíî, äàæå íå ôóíêöèîíàëüíàÿ.Òàê, âåëè÷èíû ξ è ξ + η â ïðèìåðàõ 43 è 44 ïîëîæèòåëüíî êîððåëèðîâàíû, íî èõçàâèñèìîñòü íå ôóíêöèîíàëüíàÿ.Ïðèìåð 45.Åñëè ñ. â. ξ è η åñòü êîîðäèíàòû òî÷êè, áðîøåííîé íà61Hóäà÷ó â òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè (2, 0), (0, 0) è (0, 1), òî(ξ, η)HHHêîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ(ξ, η) îòðèöàòåëåí. Ýòî ìîæy=H1íî îáúÿñíèòü «íà ïàëüöàõ» òàê: чем больше ξ, тем меньше HH − x/Hу η возможностей быть большой.
:-) Ïðåäëàãàþ óáåäèòüñÿH 2HHH â ýòîì, ïðîâåðèâ ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ âûñêàçûâà2íèé. Âî-ïåðâûõ,((x1 − , 0 6 x 6 2;2 − 2y, 0 6 y 6 1;122Eη = .fξ (x) =Eξ = ;fη (y) =330,èíà÷å ;0,èíà÷å ;Âî-âòîðûõ,совместное распределение координат точки, брошенной наудачу в произвольную (измеримую) область D на плоскости имеет постоянную плотность во всех точках области D.Это связано с понятием «наудачу»: вероятность попасть в любую область A ⊂ D, содной стороны, зависит только от площади A, и не зависит от формы и положения A внутри D, равняясь, с другой стороны, интегралу по области A от плотности совместногораспределения координат точки.67Эти два качества возможно совместить, только если плотность совместного распределения постоянна внутри D.
Более того, эта постоянная, как легко видеть, есть просто1(хотя бы потому, что интеграл от нее по всей области D должен равнятьсяïëîùàäü Dвероятности попасть в D, или единице).Ðàñïðåäåëåíèå òî÷êè, áðîøåííîé íàóäà÷ó â îáëàñòü (âñå ðàâíî ãäå), íàçûâàþòравномерным ðàñïðåäåëåíèåì.Èòàê, ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè íà ïëîñêîñòè— ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ (1/ïëîùàäü îáëàñòè) äëÿ òî÷åê âíóòðè îáëàñòè è íóëþ — âíå.Ïîýòîìó (à òàêæå ïîòîìó, ÷òî ïëîùàäü ýòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 1)1−x/2ZZZZ21E (ξ η) =x · y · 1 dy dx = x · y dy dx = (êàæåòñÿ) .600BÒî åñòü êîâàðèàöèÿ (à ñ íåé è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè) îòðèöàòåëüíà (посчитатьcov(ξ, η)).Óïðàæíåíèå 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
