lect-terver (1082434), страница 15
Текст из файла (страница 15)
À âåðíî ëè, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè â ïðèìåðå 45 ñóùåñòâóåò? Êàêèå ñâîéñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ãàðàíòèðóþò êîíå÷íîñòü âòîðîãî ìîìåíòà? Àèç ограниченности ñ. â. ñëåäóåò ëè ñóùåñòâîâàíèå êàêèõ-íèáóäü ìîìåíòîâ? Êàêèõ èïî÷åìó?Ïðèìåð 46.Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó ÷èñëîì âûïàäåíèé åäèíèöû è ÷èñëîì âûïàäåíèé øåñòåðêè ïðè n ïîäáðàñûâàíèÿõ ñèììåòðè÷íîãî êóáèêà.Р е ш е н и е.
Îáîçíà÷èì äëÿ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ÷åðåç ξi ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ÷èñëó âûïàäåíèé ãðàíè ñ i î÷êàìè ïðè n ïîäáðàñûâàíèÿõ êóáèêà. Ïîñ÷èòàåì cov(ξ1 , ξ6 ).Êàæäàÿ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìèn è 1/6, ïîýòîìó E ξi = n/6, D ξi = 5n/36.Çàìåòèì, ÷òî ñóììà ξ1 + · · · + ξ6 ýòèõ âåëè÷èí ðàâíà n.  ñèëó ñèììåòðèè êóáèêà, âñå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ E ξ1 ξ2 , E ξ1 ξ3 , . . . , E ξ1 ξ6 îäèíàêîâû (íî, ñêîðåå âñåãî,îòëè÷àþòñÿ îò E ξ1 ξ1 = E ξ12 = D ξ1 + (E ξ1 )2 = 5n/36 + n2 /36).Ïîñ÷èòàåì E ξ1 (ξ1 + · · · + ξ6 ).
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ðàâíîE ξ1 (ξ1 + · · · + ξ6 ) = E ξ1 · n = n2 /6,ñ äðóãîé ñòîðîíû,E ξ1 (ξ1 + · · · + ξ6 ) = E ξ12 + 5E ξ1 ξ6 = 5n/36 + n2 /36 + 5E ξ1 ξ6 .Îòñþäà 5E ξ1 ξ6 = n2 /6 − 5n/36 − n2 /36, òî åñòü E ξ1 ξ6 = (n2 − n)/36.Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ðàâåíρ(ξ1 , ξ6 ) =1E ξ1 ξ6 − E ξ1 E ξ6(n2 − n)/36 − n2 /36√==− .5n/365D ξ1 D ξ6Èíòåðåñíî, ÷òî ïîëó÷åííûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè íå çàâèñèò îò n.Почему коэффициент корреляции ρ(ξ1 , ξ6 ) отрицателен?68... Îòêóäà, íàêîíåö, âûòåêàåò òî óäèâèòåëüíîå, ïî-âèäèìîìó, ñëåäñòâèå, ÷òî,åñëè áû íàáëþäåíèÿ íàä âñåìè ñîáûòèÿìè ïðîäîëæàòü âñþ âå÷íîñòü, ïðè÷åìâåðîÿòíîñòü, íàêîíåö, ïåðåøëà áû â ïîëíóþ äîñòîâåðíîñòü, òî áûëî áû çàìå÷åíî, ÷òî â ìèðå âñå óïðàâëÿåòñÿ òî÷íûìè îòíîøåíèÿìè è ïîñòîÿííûì çàêîíîìèçìåíåíèé, òàê ÷òî äàæå â âåùàõ, â âûñøåé ñòåïåíè ñëó÷àéíûõ, ìû ïðèíóæäåíû áûëè áû ïðèçíàòü êàê áû íåêîòîðóþ íåîáõîäèìîñòü è, ñêàæó ÿ, ðîê.ß ê î á Á å ð í ó ë ë è, Ars conjectandi (1713)Ðàçäåë 13.13.1Êóäà è êàê ñõîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÑõîäèìîñòü «ïî÷òè íàâåðíîå» è «ïî âåðîÿòíîñòè»Íàïîìíþ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà åñòü (èçìåðèìàÿ) ôóíêöèÿ èç íåêîòîðîãî àáñòðàêòíîãî ìíîæåñòâà Ω â ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí åñòü, òåì ñàìûì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (îïðåäåëåííûõ íà îäíîìè òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω). È åñëè ìû õîòèì ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξn }∞n=1 , íå áóäåì çàáûâàòü, ÷òî ìû èìååìäåëî íå ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷èñåë, à ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ функций.
Ñóùåñòâóþòðàçíûå âèäû ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé. Âñÿêèé ðàç äàâàòü îïðåäåëåíèåêàêîé-ëèáî ñõîäèìîñòè ìû áóäåì, îïèðàÿñü íà сходимость числовых последовательностей êàê íà óæå èçâåñòíîå îñíîâíîå ïîíÿòèå. ÷àñòíîñòè, ïðè êàæäîì íîâîì ω ∈ Ω ìû èìååì íîâóþ числовую ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{ξn (ω)}∞n=1 . Ïîýòîìó, âî-ïåðâûõ, ìîæíî ãîâîðèòü î çíàêîìîé èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (ïî÷òè) ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôóíêöèé: î ñõîäèìîñòè «ïî÷òèâñþäó», êîòîðóþ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàçûâàþò ñõîäèìîñòüþ «ïî÷òè íàâåðíîå».Îïðåäåëåíèå 48.
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. {ξn } сходится почти наверное ê ñ. â. ξ ïðè n → ∞, è ïèøóò: ξn → ξ ï. í., åñëè P {ω : ξn (ω) → ξ(ω) ïðè n → ∞} = 1.Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè ξn (ω) → ξ(ω) ïðè n → ∞ äëÿ âñåõ ω ∈ Ω, êðîìå, âîçìîæíî, ω ∈ A, ãäåìíîæåñòâî (ñîáûòèå) A èìååò íóëåâóþ âåðîÿòíîñòü.Çàìåòèì ñðàçó: ÷òîáû ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè «ïî÷òè íàâåðíîå», òðåáóåòñÿ (ïî êðàéíåé ìåðå, ïî îïðåäåëåíèþ) çíàòü, êàê óñòðîåíû îòîáðàæåíèÿ ω 7→ ξn (ω).  çàäà÷àõæå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êàê ïðàâèëî, èçâåñòíû не сами случайные величины, а лишь ихраспределения.
Èçâåñòíî, òî åñòü, êàêîâà âåðîÿòíîñòü òåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ω, äëÿêîòîðûõ ξn (ω) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â çàäàííîì ìíîæåñòâå.Ìîæåì ëè ìû, îáëàäàÿ òîëüêî èíôîðìàöèåé î ðàñïðåäåëåíèÿõ, ãîâîðèòü î êàêîéëèáî ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξn } ê ñ. â. ξ?Ìîæíî, íàïðèìåð, ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âåðîÿòíîñòü («äîëÿ») òåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ω, äëÿ êîòîðûõ ξn (ω) íå ïîïàäàåò â «ε-îêðåñòíîñòü» ÷èñëà ξ(ω), óìåíüøàëàñü äî íóëÿñ ðîñòîì n. Òàêàÿ ñõîäèìîñòü â ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå íàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüþ «ïîìåðå», à â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé — ñõîäèìîñòüþ «ïî âåðîÿòíîñòè».Îïðåäåëåíèå 49.
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. {ξn } сходится по вероятноpсти ê ñ. â. ξ ïðè n → ∞, è ïèøóò: ξn −→ ξ, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0P (|ξn − ξ| > ε) → 0 ïðè n → ∞èëèP (|ξn − ξ| 6 ε) → 1 ïðè n → ∞.Ïðèìåð 47. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . , â êîòîðîé âñå âåëè÷èíûèìåþò разныеðàñïðåäåëåíèÿ: ñ. â. ξn , n > 1, ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è n7 ñ âåðîÿòíîñòÿìèP ξn = n7 = 1/n = 1 − P(ξn = 0). Äîêàæåì, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ïîâåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, ðàâíîé íóëþ ï. í. (ê íóëþ, ïðîùå ãîâîðÿ).69Äåéñòâèòåëüíî, çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.
Äëÿ âñåõ n íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãîn0 òàêîãî, ÷òî n70 > ε, âåðíî ðàâåíñòâî (∗) íèæå (∗)1→ 0 ïðè n → ∞.P ξn > ε = P ξn = n7 =nÈòàê, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξn ñ ðîñòîì n ìîãóò ïðèíèìàòü âñå áî́ëüøèå è áî́ëüøèåçíà÷åíèÿ, íî ñî âñå ìåíüøåé è ìåíüøåé âåðîÿòíîñòüþ.P |ξn − 0| > εξn >0=А сходится ли данная последовательность к нулю «почти наверное»? Вопрос не слишкомкорректный, поскольку заданы не случайные величины, а лишь их распределения, и ответна него, как правило, зависит от того, как сами величины взаимосвязаны. Если, скажем,ξn (ω) = 0 для ω ∈ [0, 1−1/n] и ξn (ω) = n7 для ω ∈ (1−1/n, 1], то сходимость «почтинаверное» имеет место, так как для всякого ω начиная с некоторого n0 все ξn (ω) равнынулю.Попробуйте задать случайные величины ξn на [0, 1] так, чтобы сходимость «почти наверное» не имела место. Для этого нужно заставить отрезок длины 1/n, на которомξn (ω) = n7 , «бегать» по отрезку [0, 1], чтобы любая точка ω ∈ [0, 1] попадала внутрьэтого отрезка бесконечное число раз.
Воспользуйтесь тем, что гармонический ряд расходится. Если вам мешают концы отрезка, их можно склеить в окружность :)Заметим однако, что если вероятности P(ξn = n7 ) сходятся к нулю достаточно быстро(например, равны 1/n2 ), то сходимость к нулю п. н. всегда имеет место (см., например,теорему 2 §1 гл. 6 на стр. 134 учебника А.А.Боровкова «Теория вероятностей»).Çàìå÷àíèå 23. Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè íå îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ ñõîäèpìîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé èëè ìîìåíòîâ äðóãèõ ïîðÿäêîâ: èç ξn −→ ξ не следует, ÷òî E ξn → E ξ.pÄåéñòâèòåëüíî, â ïðèìåðå 47 èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ξn −→ ξ = 0, íî E ξn = n6 6→E ξ = 0.Åñëè âìåñòî çíà÷åíèÿ n7 âçÿòü, ñêàæåì, n (ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ 1/n), ïîëó÷èìE ξn = 1 6→ E ξ = 0.√À åñëè ξn ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è n ñ òåìè æå âåðîÿòíîñòÿìè, ÷òî è â ïðèìåðå 47,√òî E ξn = 1/ n → E ξ = 0, íî óæå âòîðûå ìîìåíòû ñõîäèòüñÿ êî âòîðîìó ìîìåíòó ξ íåáóäóò: E ξn2 = 1 6→ E ξ 2 = 0.Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè îáëàäàåò îáû÷íûìè äëÿ ñõîäèìîñòåé ñâîéñòâàìè.
Íàïðèìåð, òàêèìè.ppÑâîéñòâî 16. Åñëè ξn −→ ξ è ηn −→ η, òîp1. ξn + ηn −→ ξ + η;p2. ξn · ηn −→ ξ · η.Äîêàçàòåëüñòâî ïðè ïåðâîì ïðî÷òåíèè ìîæíî ïðîïóñòèòü.1. äîêàçàòåëüñòâå ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ åñòåñòâåííûì ñâîéñòâîì âåðîÿòíîñòè:åñëè èç ñîáûòèÿ A ñëåäóåò ñîáûòèå B (всегда, когда выполнено A, выполнено и B),òî âåðîÿòíîñòü A íå ïðåâîñõîäèò âåðîÿòíîñòè B:åñëèA ⊆ B,òîP(A) 6 P(B).Çäåñü ÿ êàòåãîðè÷åñêè òðåáóþ îñòàíîâèòüñÿ è îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå «ãëóïûå âîïðîñû»:– верно ли, что модуль суммы не превосходит суммы модулей?– верно ли, что если a > b, и c > a, то c > b?– верно ли, что если a + b > 2, то хоть одно из чисел a, b больше единицы?– верно ли, что вероятность объединения двух событий не превосходит суммы ихвероятностей?– верно ли, что вероятность пересечения двух событий не превосходит вероятностилюбого из них?70Åñëè íà âñå âîïðîñû âû îòâåòèëè «äà», ìîæíî äâèãàòüñÿ äàëüøå.
Åñëè íå íà âñå —âàø êîíòðïðèìåð îøèáî÷åí. Åñëè âû âîîáùå íå ïîíÿëè, î ÷åì ýòî, ëó÷øå âåðíóòüñÿñþäà ...Ïóñòü ε > 0. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî P(|ξn + ηn − ξ − η| > ε) → 0 ïðè n → ∞. Íîa) |ξn + ηn − ξ − η| 6 |ξn − ξ| + |ηn − η|, ïîýòîìóá) åñëè |ξn + ηn − ξ − η| > ε, òî è |ξn − ξ| + |ηn − η| > ε, è âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî ñîáûòèÿíå áîëüøå âåðîÿòíîñòè âòîðîãî.
Äàëåå,â) åñëè |ξn − ξ| + |ηn − η| > ε, òî õîòÿ áû îäíî èç ñëàãàåìûõ áîëüøå, ÷åì ε/2.Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó íåðàâåíñòâ:P(|ξn + ηn − ξ − η| > ε) 6 P(|ξn − ξ| + |ηn − η| > ε) 6 P |ξn − ξ| > ε/2 èëè |ηn − η| > ε/2 66 P(|ξn − ξ| > ε/2) + P(|ηn − η| > ε/2) → 0ppïðè n → ∞, òàê êàê ξn −→ ξ è ηn −→ η.2.Íàì ïîíàäîáèòñÿ «õîðîøåå ñâîéñòâî»: äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ, ïðîñòîïî ñâîéñòâàì ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, P(|ζ| > M ) → 0 ïðè M → ∞.Ïðåäñòàâèì |ξn ηn −ξη| êàê |(ηn −η)(ξn −ξ)+ξ(ηn −η)+η(ξn −ξ)|. Çàòåì, êàê â 1, ïîëó÷èìP(|ξn ηn − ξη| > ε) 6 P(|ηn − η| · |ξn − ξ| > ε/3) + P(|ξ| · |ηn − η| > ε/3) + P(|η| · |ξn − ξ| > ε/3).Ïîäóìàéòå, ÷òî äåëàòü ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè, à ìû ïîêà ðàññìîòðèìâòîðîå ñëàãàåìîå (òðåòüå òàêîå æå).
Îáîçíà÷èì çà An = {|ξ| · |ηn − η| > ε/3} ñîáûòèå ïîäçíàêîì âåðîÿòíîñòè. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå M > 0 è ðàçîáüåì ñîáûòèå An ïî ïîëíîéãðóïïå ñîáûòèé {|ξ| > M } è {|ξ| 6 M }.P(An ) = P(|ξ| · |ηn − η| > ε/3) = P An ∩ {|ξ| > M } + P An ∩ {|ξ| 6 M } 6 ...Первую вероятность оцениваем в соответствии с последним «глупым вопросом», вторую — пользуясь тем, что из |ξ| · |ηn − η| > ε/3 и |ξ| 6 M следует, что M · |ηn − η| > ε/3....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
