lect-terver (1082434), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ÄèñïåðñèÿÎïðåäåëåíèå 41. Åñëè E |ξ|k < ∞, òî ÷èñëîE ξ k íàçûâàåòñÿ моментом порядка k (k-ì ìîìåíòîì) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ;E |ξ|k íàçûâàåòñÿ абсолютным моментом порядка k (àáñîëþòíûì k-ì ìîìåíòîì)ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ;E (ξ − E ξ)k íàçûâàåòñÿ центральным моментом порядка k (öåíòðàëüíûì k-ì ìîìåíòîì) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ;E |ξ − E ξ|k íàçûâàåòñÿ абсолютным центральным моментом порядка k (àáñîëþòíûìöåíòðàëüíûì k-ì ìîìåíòîì) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.×èñëî D ξ = E (ξ − E ξ)2 (öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà 2) íàçûâàåòñÿ дисперсиейñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξÏðèìåð 31.
Ïóñòü, ñêàæåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − 10−5 , è çíà÷åíèå 100 ñ âåðîÿòíîñòüþ 10−5 . Ïîñìîòðèì, êàê ìîìåíòû ðàçíûõïîðÿäêîâ ðåàãèðóþò íà áîëüøèå, íî ìàëîâåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.E ξ = 0 · (1 − 10−5 ) + 100 · 10−5 = 10−3 ;E ξ 4 = 04 · (1 − 10−5 ) + 1004 · 10−5 = 1000;E ξ 2 = 02 · (1 − 10−5 ) + 1002 · 10−5 = 10−1 ;E ξ 6 = 06 · (1 − 10−5 ) + 1006 · 10−5 = 10000000.Ïðèìåð 32. Äèñïåðñèÿ D ξ = E (ξ −E ξ)2 åñòü «ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îò ñâîåãî ñðåäíåãî».
Ïîñìîòðèì, çà ÷òî ýòà âåëè÷èíà îòâå÷àåò.Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ±1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η — çíà÷åíèÿ ±10 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Òîãäà E ξ = E η = 0, ïîýòîìóD ξ = E ξ 2 = 1, D η = E η 2 = 100. Ãîâîðÿò, ÷òî äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàçáðîñàçíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âîêðóã åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этогостержня, закрепленного в центре тяжести.57Îïðåäåëåíèå 42. Åñëè äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ξ êîíå÷íà, òî ÷èñëî σ =среднеквадратическим отклонением ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.√D ξ íàçûâàþò×òîáû ïðîÿñíèòü ñâÿçü ìîìåíòîâ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ, äîêàæåì íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ.Òåîðåìà 26 (Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà).Ïóñòü ôóíêöèÿ g : R → R âûïóêëà (âíèç :-)) ).âåëè÷èíû ξ ñ êîíå÷íûì ïåðâûì ìîìåíòîìÒîãäà äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîéE g(ξ) > g(E ξ).Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî âûïóêëûõ ôóíêöèé (òî åñòü òàêèõ, ÷òî äëÿëþáûõ a < b ïðè âñÿêîì α ∈ [0, 1] âåðíî αg(a) + (1 − α)g(b) > g(αa + (1 − α)b)):Ëåììà 8.
Ïóñòü ôóíêöèÿ g : R → R âûïóêëà. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî y íàéäåòñÿ ÷èñëîc(y) òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ xg(x) > g(y) + c(y)(x − y).Äîêàçàòåëüñòâî (ïðåäëîæåíî Äåáåëîâûì Àëåêñååì, ãð.871).g(x) − g(y)> −∞. Òîãäà g(x) − g(y) > c(y)(x − y) ïðè x > y.x−yÄîêàæåì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî è ïðè x < y, è çàîäíî ïîêàæåì, ÷òî c(y) êîíå÷íî.Ïóñòü x1 < y.
Òîãäà y ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [x1 ; x2 ] äëÿ ëþáîãî x2 > y, òî åñòüñóùåñòâóåò α ∈ [0, 1] òàêîå, ÷òîÏîëîæèì c(y) = inf x>yy = α · x1 + (1 − α) · x2 ,èëèx2 =y − αx1.1−α(14)Íî â ñèëó âûïóêëîñòè ôóíêöèè gg(y) 6 α · g(x1 ) + (1 − α) · g(x2 ),èëèg(x2 ) >g(y) − α · g(x1 ).1−α(15)g(x2 ) − g(y)è ïîäñòàâèì âìåñòî g(x2 ) è x2 âûðàæåíèÿ,x2 − yñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóë (15) è (14), ñîîòâåòñòâåííî:Âñïîìíèì, ÷òî c(y) = inf x2 >yg(x2 ) − g(y)c(y) = inf>x2 >yx2 − yg(y) − αg(x1 )− g(y)g(y) − g(x1 )1−α=.y − αx1y − x1−y1−αÏîñëåäíåå âûðàæåíèå çàâåäîìî êîíå÷íî, òî åñòü c(y) > −∞.
Áîëåå òîãî, ìû ïîëó÷èëè,÷òî òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî è äëÿ x < y:c(y) >g(y) − g(x1 )äëÿ ëþáûõ x1 < y, òî åñòü g(x1 ) > g(y) + c(y)(x1 − y).y − x1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 26.Âîçüìåì â óñëîâèÿõ ëåììû y = E ξ, x = ξ. Òîãäà g(ξ) >g(E ξ) + c(E ξ)(ξ − E ξ). Âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà.Òàê êàê E (ξ − E ξ) = 0, è íåðàâåíñòâî ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ñîõðàíÿåòñÿïî ñëåäñòâèþ 12, òî E g(ξ) > g(E ξ).Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ ìîìåíòîâ áîëüøèõ ïîðÿäêîâñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìîìåíòîâ ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ.58Ñëåäñòâèå 13. Åñëè E |ξ|t < ∞, òî äëÿ ëþáîãî 0 < s < ts(E |ξ|s )t 6 (E |ξ|t )Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó 0 < s < t, òî g(x) = |x|t/s — âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ. Ïîíåðàâåíñòâó Éåíñåíà äëÿ η = |ξ|s ,g(E η) = (E η)t/s = (E |ξ|s )t/s 6 E g(η) = E |η|t/s = E |ξ|s·t/s = E |ξ|t .Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà â ñòåïåíü s, ïîëó÷èì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî. ÷àñòíîñòè, êîíå÷íîñòü âòîðîãî ìîìåíòà (èëè äèñïåðñèè) âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèåìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.kÑëåäñòâèå 14.
Åñëè E |ξ| < ∞ ïðè íåêîòîðîì k > 1, òî E |ξ| 6qkE |ξ|k .11.4 Ñâîéñòâà äèñïåðñèèÂñå ñâîéñòâà äèñïåðñèè ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ.D1.D ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 .Äåéñòâèòåëüíî,D ξ = E (ξ − E ξ)2 = E ξ 2 − 2ξE ξ + (E ξ)2 = E ξ 2 − 2E ξE ξ + (E ξ)2 = E ξ 2 − (E ξ)2 .D2.D (cξ) = c2 D ξ.D3.• D ξ > 0;Доказать!• D ξ = 0 åñëè è òîëüêî åñëè ξ = const ï.í.Äîêàçàòåëüñòâî. Äèñïåðñèÿ åñòü âñåãî-íàâñåãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ï.í.íåîòðèöàòåëüíîé ñ.â.: D ξ = E (ξ − E ξ)2 , è íåîòðèöàòåëüíîñòü äèñïåðñèè ñëåäóåò èç ñâîéñòâà E5.Ïî òîìó æå ñâîéñòâó, D ξ = 0 åñëè è òîëüêî åñëè (ξ − E ξ)2 = 0 ï.í., òî åñòü ξ = ξ ï.í.D4.Äèñïåðñèÿ íå ìåíÿåòñÿ îò ñäâèãà ñ.â. íà ïîñòîÿííóþ: D (ξ + c) = D ξ.D5.Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî D (ξ + η) = D ξ + D η.Доказать!Äåéñòâèòåëüíî,D (ξ + η) = E (ξ + η)2 − (E (ξ + η))2 = E ξ 2 + E η 2 + 2E (ξη) − (E ξ)2 − (E η)2 −2E ξE η = D ξ + D η,òàê êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñ.â.
ðàâíî ïðîèçâåäåíèþèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Çàìå÷àíèå 20. Ñì. çàìå÷àíèå 19.D6.Ìèíèìóì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îò òî÷åê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé åñòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ξ îò ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: D ξ = E (ξ − E ξ)2 = min E (ξ − a)2 .aНаименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения — центр тяжести стержня, а не любая другая точка.59Äîêàçàòåëüñòâî.2E (ξ − a)2 = E (ξ − E ξ) + (E ξ − a) =22= D ξ + E ξ − a + 2 E (ξ − E ξ) E ξ − a = D ξ + E ξ − a > D ξ,| {z }0ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî äëÿ a = E ξ.11.5Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèéÏðèìåð 33.
Распределение Бернулли BpD ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 = p − p2 = pq.E ξ 2 = 12 · p + 02 · q = p;E ξ = 1 · p + 0 · q = p;Ïðèìåð 34. Биномиальное распределение Bn,pÂîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîñóììèðîâàíèÿ — ëåììîé 5. Âîçüìåì n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn , èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp = B1,p .Òîãäà èõ ñóììà Sn = ξ1 + . . . + ξn èìååò ðàñïðåäåëåíèå Bn,p .nXE Sn =E ξi = nE ξ1 = np,i=1òàê êàê âñå ξi îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è èõ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî p;D Sn =nXD ξi = nD ξ1 = npq,i=1ïîñêîëüêó ξi íåçàâèñèìû è äèñïåðñèÿ êàæäîé ðàâíà pq.Ïðèìåð 35. Геометрическое распределение GpÏðè p ∈ (0, 1)∞∞∞XXX(q k )0 = p ·kq k−1 = p ·Eξ =k · pq k−1 = p ·k=1k=1∞Xk=1∞X∗= p·qk!0∗=k=1qk!0=p·k=011−q0=p1(1 − q)21= .pРавенство (*) появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, начинающейся не с 1, а с q. Заметьте, что производная у добавленных слагаемыхравна 0, так что производные от этих двух сумм равны.Eξ2=∞X2k · pqk−1=p·∞Xk(k − 1)qk−1+p·k=1k=1∞X∂2 k= pq ·q + E ξ = pq ·∂q 2k=1∂2= pq · 2∂q11−q∞Xkqk−1k=1∞X∂2 k(q )∂q 2!+ Eξ =+ Eξ == pq ·∞Xk=1k=0+ E ξ = 2pq1(1 − q)3602q 1+ .p2pk(k − 1)q k−2 + E ξ =12q − 1 + pq2q 1+ − 2 == 2.p2p pp2pÏîýòîìó D ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 =Ïðèìåð 36.
Распределение Пуассона ΠλEξ =∞Xk·k=0∞∞k=1k=1XX λkλkλk −λe = e−λk·= e−λ=k!k!(k − 1)!= λe−λ∞∞XXλk−1λj= λe−λ= λe−λ eλ = λ.(k − 1)!j!j=0k=1Доказать, что E ξ 2 = λ2 + λ,D ξ = λ.так чтоÏðèìåð 37. Равномерное распределение Ua,bEξ =Z∞xfξ (x) dx =−∞2Eξ =Z∞2x fξ (x) dx =−∞Zbax2Zbax1a+bdx =;b−a21b3 − a3a2 + ab + b2dx ==;b−a3(b − a)3D ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 =(b − a)2.12Ïðèìåð 38.
Стандартное нормальное распределение N0,1Eξ =Z∞xfξ (x) dx =−∞Z∞−∞12x √ e−x /2 dx = 0,2πïîñêîëüêó ïîä èíòåãðàëîì ñòîèò íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, è ñàì èíòåãðàë àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ2(çà ñ÷åò áûñòðî óáûâàþùåé e−x /2 ).2Eξ =Z∞−∞12x √ e−x /2 dx = 22π2Z∞12x √ e−x /2 dx = −22π20Z∞12x √ de−x /2 =2π0Z∞1 −x2 /2 ∞12= − 2x √ e+ 2 √ e−x /2 dx = 1.2π2π0|{z} |0{z}0Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî 2R∞0ïî âñåé ïðÿìîé îò ïëîòíîñòè любого√12πe−x2 /21dx =R∞−∞√12πe−x2 /2dx, à èíòåãðàëðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí 1.
ÏîýòîìóD ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 = 1 − 0 = 1.Ïðèìåð 39. Нормальное распределение Na,σ2Ìû çíàåì, ÷òî åñëè ξ ⊂= Na,σ2 , òî η =ξ−a⊂= N0,1 , è E η = 0, D η = 1. ÏîýòîìóσD ξ = D (ση + a) = σ 2 D η = σ 2 .E ξ = E (ση + a) = σE η + a = a;61(16)Какими свойствами математического ожидания и дисперсии мы воспользовалисьв формуле (16)?Ïðèìåð 40. Показательное (экспоненциальное) распределение EαÍàéäåì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k ∈ N ìîìåíò ïîðÿäêà k.kEξ =Z∞kx fξ (x) dx =−∞Z∞−αxkx αe1dx = kαZ∞k!(αx)k e−αx d(αx) = k .α00 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ãàììà-ôóíêöèåé Ýéëåðà:R∞Γ(k + 1) = uk e−u du = k! Ñîîòâåòñòâåííî,0Eξ =1,α2,α2E ξ2 =D ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 =1.α2Ïðèìåð 41.
Стандартное распределение Коши C0,1Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè. Ãîâîðÿò, ÷òî ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè a, σ 2 ,ãäå a ∈ R, σ > 0, è ïèøóò (ïî êðàéíåé ìåðå ìû òàê áóäåì ïèñàòü) ξ ⊂= Ca,σ2 , åñëèfξ (x) =π(σ 2σ+ (x − a)2 )äëÿ âñåõx ∈ R.Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè èìååò, íàïðèìåð, àáñöèññà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à, ïîñëàííîãî èç òî÷êè (a, σ) ïîä íàóäà÷ó âûáðàííûì óãëîì ϕ ⊂= U−π/2,π/2 , ñ îñüþ OX.
Этополезно доказать!Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè íå ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêóE |ξ| =Z∞|x|1dxπ(1 + x2 )−∞ðàñõîäèòñÿ (ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ âåäåò ñåáÿ íà áåñêîíå÷íîñòè êàê 1/x).Ïðèìåð 42. Распределение ПаретоÐàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî. Ãîâîðÿò, ÷òî ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè x0 ,s, ãäå x0 > 0, s > 0, åñëè s1 − x0 s , x > x ;s x0 , x > x ;00xFξ (x) =èëè fξ (x) =.xs+10,x < x0 .0,x < x0 .Ó ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñóùåñòâóþò òîëüêî ìîìåíòû ïîðÿäêà u < s, ïîñêîëüêóE |ξ|u =Z∞xu sxs0dxxs+1x0ñõîäèòñÿ ïðè u < s, òî åñòü êîãäà ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè áåñêîíå÷íî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ 1/x.Посчитать момент порядка u < s распределения Парето.
При каких s у этого распределения существует дисперсия?62Ðàçäåë 12.12.1×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí×åì îòëè÷àåòñÿ äèñïåðñèÿ ñóììû îò ñóììû äèñïåðñèé?Ìû çíàåì, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñ. â. ñ êîíå÷íûìè âòîðûìè ìîìåíòàìè äèñïåðñèÿ èõñóììû ðàâíà ñóììå èõ äèñïåðñèé. ×åìó ðàâíà äèñïåðñèÿ ñóììû â îáùåì ñëó÷àå?222D (ξ + η) = E (ξ + η)2 − E (ξ + η) = E ξ 2 + η 2 + 2ξη − E ξ − E η − 2E ξE η == D ξ + D η + 2 E (ξη) − E ξE η .(17)Âåëè÷èíà E (ξη) − E ξE η ðàâíÿåòñÿ íóëþ, åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû (ñâîéñòâî E6 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâà åå íóëþâîâñå íå ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü, êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð 30. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòó âåëè÷èíó ÷àñòî èñïîëüçóþò êàê «èíäèêàòîð íàëè÷èÿ çàâèñèìîñòè» ïàðû ñ.
â.Îïðåäåëåíèå 43. Ковариацией cov(ξ, η) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η íàçûâàåòñÿ числоcov(ξ, η) = E (ξ − E ξ)(η − E η) .Ñâîéñòâî 12. cov(ξ, η) = E (ξ − E ξ)(η − E η) = E (ξη) − E ξE η.Óïðàæíåíèå 19. Äîêàçàòü ñâîéñòâî 12, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.Ñâîéñòâî 13. a) cov(ξ, ξ) = D ξ;á) cov(ξ, η) = cov(η, ξ).Ñâîéñòâî 14. Äèñïåðñèÿ ñóììû íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âû÷èñëÿåòñÿ ïî ëþáîéèç ñëåäóþùèõ ôîðìóë:D (ξ1 + . . . + ξn ) =nXi=1D ξi +Xcov(ξi , ξj ) =nXi=1i6=jD ξi + 2Xcov(ξi , ξj ) =i<jXcov(ξi , ξj ).i,jÓïðàæíåíèå 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
