lect-terver (1082434), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñëó÷àéíûì íàçûâàþò ýêñïåðèìåíò, ðåçóëüòàò êîòîðîãî íåëüçÿïðåäñêàçàòü çàðàíåå. Íåâîçìîæíîñòü ïðåäñêàçàòü çàðàíåå — îñíîâíîå, ÷òî îòëè÷àåòслучайное ÿâëåíèå îò детерминированного.Íå âñå ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ (ýêñïåðèìåíòû) ìîæíî èçó÷àòü ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à ëèøü òå, êîòîðûå ìîãóò áûòü âîñïðîèçâåäåíû â îäíèõ è òåõ æå óñëîâèÿõ èîáëàäàþò (íåïîíÿòíî êàê ïðîâåðÿåìûì çàðàíåå) ñâîéñòâîì «ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè»: åñëè A — íåêîòîðîå ñîáûòèå, ìîãóùåå ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòåýêñïåðèìåíòà, òî äîëÿ n(A)/n ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ, â êîòîðûõ äàííîå ñîáûòèå ïðîèçîøëî, èìååò òåíäåíöèþ ñòàáèëèçèðîâàòüñÿ ñ ðîñòîì îáùåãî ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ n,ïðèáëèæàÿñü ê íåêîòîðîìó ÷èñëó P(A). Ýòî ÷èñëî ñëóæèò îáúåêòèâíîé õàðàêòåðèñòèêîé «ñòåïåíè âîçìîæíîñòè» ñîáûòèþ A ïðîèçîéòè. äàëüíåéøåì ìû áóäåì ãîâîðèòü ëèøü î ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòàõ, îáëàäàþùèõäàííûìè ñâîéñòâàìè, à ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äîêàæåì â óòâåðæäåíèè,èçâåñòíîì êàê çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ß.
Áåðíóëëè.Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìèÎïðåäåëåíèå 1. Пространством элементарных исходов Ω («î́ìåãà») íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå âîçìîæíûå ðåçóëüòàòû äàííîãî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, èçêîòîðûõ â ýêñïåðèìåíòå ïðîèñõîäèò ðîâíî îäèí. Ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþòэлементарными исходами è îáîçíà÷àþò áóêâîé ω («î́ìåãà») ñ èíäåêñàìè èëè áåç.Îïðåäåëåíèå 2. Событиями ìû áóäåì íàçûâàòü ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà Ω. Ãîâîðÿò, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà произошло событие A ⊆ Ω, åñëè â ýêñïåðèìåíòåïðîèçîøåë îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî A.Çàìå÷àíèå 2.
Âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî íàçâàòü ñîáûòèÿìè íå îáÿçàòåëüíî âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà Ω, à ëèøü ìíîæåñòâà èç íåêîòîðîãî íàáîðà ïîäìíîæåñòâ. Îñìûñëå òàêîãî îãðàíè÷åíèÿ ìû ïîãîâîðèì ïîçäíåå.Ïðèìåð 1. Îäèí ðàç ïîäáðàñûâàåòñÿ îäíà èãðàëüíàÿ êîñòü (êóáèê). Ñàìûé ðàçóìíûé ñïîñîá çàäàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ òàêîâ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ýëåìåíòàðíûå èñõîäû çäåñü ñîîòâåòñòâóþò ÷èñëó âûïàâøèõ î÷êîâ.Ïðèìåðû ñîáûòèé: A = {1, 2} — âûïàëî îäíî èëè äâà î÷êà; A = {1, 3, 5} — âûïàëîíå÷åòíîå ÷èñëî î÷êîâ.Ïðèìåð 2.
Äâà ðàçà ïîäáðàñûâàåòñÿ îäíà èãðàëüíàÿ êîñòü (êóáèê). Èëè, ÷òî òî æåñàìîå, îäèí ðàç ïîäáðàñûâàþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Êàê ìû óâèäèì â äàëüíåéøåì,çäåñü ñàìûé ðàçóìíûé ñïîñîá çàäàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ — ñ÷èòàòüðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ÷èñåë (i, j), â êîòîðîé 1 6 i, j 6 6 è i (j)åñòü ÷èñëî î÷êîâ, âûïàâøèõ ïðè ïåðâîì (âòîðîì) ïîäáðàñûâàíèè: Ω = {(i, j), ãäå 1 6i, j 6 6}.Ïðèìåðû ñîáûòèé:A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} — ïðè ïåðâîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàëî îäíî î÷êî;A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} — ïðè äâóõ ïîäáðàñûâàíèÿõ âûïàëî îäèíàêîâîå÷èñëî î÷êîâ.Ïðèìåð 3. Íà ïîâåðõíîñòü ñòîëà áðîñàåòñÿ ìîíåòà. Ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ñ÷èòàòü êîîðäèíàòó öåíòðà ìîíåòû (à åñëè íàì íå áåçðàçëè÷åí óãîë ïîâîðîòà ìîíåòû, òî ìîæíî äîáàâèòü è âåëè÷èíó ýòîãî óãëà).
Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ —5ìíîæåñòâî òî÷åê ñòîëà (â âòîðîì ñëó÷àå — ìíîæåñòâî ïàð {(x, ϕ)}, ãäå x ∈ R2 — òî÷êàñòîëà è ϕ ∈ [0, 2π) — óãîë ïîâîðîòà). ×èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ òàêîãî ýêñïåðèìåíòàíåñ÷åòíî.Ïðèìåð 4. Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò ââåðõ ãåðáîì. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî, íî ñ÷åòíîãî ÷èñëà èñõîäîâ:Ω = {ã, ðã, ððã, ðððã, ððððã, ðððððã, . .
. , }, ãäå ð è ã îáîçíà÷àþò âûïàäåíèå ðåøêè èãåðáà ïðè îäíîì ïîäáðàñûâàíèè, ñîîòâåòñòâåííî.Îïðåäåëåíèå 3.1.Достоверным íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, êîòîðîå îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòåýêñïåðèìåíòà, òî åñòü åäèíñòâåííîå ñîáûòèå, âêëþ÷àþùåå âñå áåç èñêëþ÷åíèÿýëåìåíòàðíûå èñõîäû — ñîáûòèå Ω.2.Невозможным íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, êîòîðîå íå ìîæåò ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòåýêñïåðèìåíòà, òî åñòü ñîáûòèå, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà(«ïóñòîå ìíîæåñòâî» ∅).
Çàìåòèì, ÷òî âñåãäà ∅ ⊂ Ω.Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü A è B — ñîáûòèÿ.1.Объединением A ∪ B ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òîïðîèçîøëî ëèáî A, ëèáî B, ëèáî îáà ñîáûòèÿ îäíîâðåìåííî. Íà ÿçûêå òåîðèèìíîæåñòâ A ∪ B åñòü ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå êàê ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, âõîäÿùèåâ A, òàê è ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, âõîäÿùèå â B.2.Пересечением A ∩ B ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òîïðîèçîøëè îáà ñîáûòèÿ A è B îäíîâðåìåííî. Òî åñòü A ∩ B åñòü ìíîæåñòâî,ñîäåðæàùåå ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, âõîäÿùèå îäíîâðåìåííî â A è â B.3.Дополнением A\B ñîáûòèÿ B äî A íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå A, íî íå ïðîèçîøëî B.
Òî åñòü A\B åñòü ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååýëåìåíòàðíûå èñõîäû, âõîäÿùèå â A, íî íå âõîäÿùèå â B.4.Противоположным (èëè дополнительным) ê ñîáûòèþ A íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå A = Ω\A,ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñîáûòèå A â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà íå ïðîèçîøëî. Èíà÷åãîâîðÿ, A åñòü ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, íå âõîäÿùèå â A.Îïðåäåëåíèå 5.1.Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ несовместными, åñëè A ∩ B = ∅.2.Ñîáûòèÿ A1 , .
. . , An íàçûâàþòñÿ попарно несовместными, åñëè äëÿ ëþáûõ i 6= j,1 6 i, j 6 n, ñîáûòèÿ Ai è Aj íåñîâìåñòíû.3.Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáûòèå A влечет ñîáûòèå B, è ïèøóò A ⊆ B, åñëè âñåãäà, êàê òîëüêî ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A, ïðîèñõîäèò è ñîáûòèå B. Íà ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ýëåìåíòàðíûé èñõîä, âõîäÿùèé â A, îäíîâðåìåííî âõîäèòè â ñîáûòèå B.Âåðîÿòíîñòü íà äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâÏðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ дискретным ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, òî åñòü ïðîñòðàíñòâîì, ñîñòîÿùèì èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ:Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn , .
. . }.6Îïðåäåëåíèå 6. Ïîñòàâèì êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ωi ∈ Ω â ñîîòâåòñòâèå÷èñëî p(ωi ) ∈ [0, 1] òàê, ÷òîXp(ωi ) = 1.ωi ∈ΩÍàçîâåì ÷èñëî p(ωi ) вероятностью ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ωi . Вероятностью ñîáûòèÿA ⊆ Ω íàçûâàåòñÿ ÷èñëîXP(A) =p(ωi ),ωi ∈Aðàâíîå ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî A.Çàìå÷àíèå 3. Ïîçäíåå, ïîçíàêîìèâøèñü ñ àêñèîìàòèêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìûçàäàäèì âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé íåïîñðåäñòâåííî, à íå ÷åðåç âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ.
Òåì áîëåå, ÷òî ñëîæåíèåì âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (èíà÷å ñàìî ïîíÿòèå ñóììèðîâàíèÿ íå îïðåäåëåíî). Íî íà äèñêðåòíîìïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé òàê, êàê ýòî ñäåëàíî â îïðåäåëåíèè 6, âñåãäà âîçìîæíî.Ïåðå÷èñëèì î÷åâèäíûå â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, êîòîðûå ìû ñêîðî äîêàæåì ñðàçó â îáùåì ñëó÷àå.1.0 6 P(A) 6 1;5.åñëè A è B íåñîâìåñòíû, òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B);6.â îáùåì æå ñëó÷àå P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);7.åñëè A ⊆ B, òî P(A) 6 P(B).2.P(Ω) = 1;P(∅) = 0;3.4.P(A) = 1 − P(A);Óïðàæíåíèå 3.
Äîêàçàòü ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñâîéñòâà, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì 6.Êàê âèäíî, âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü íàçâàíà ñîâåðøåííî àáñòðàêòíàÿ ôóíêöèÿ,óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåñêîëüêèì íåîáðåìåíèòåëüíûì òðåáîâàíèÿì. Îäíàêî î íåîáõîäèìîñòè «ñîîòâåòñòâèÿ òåîðèè ïðàêòèêå» òîæå íàäî ïîäóìàòü.Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòèÏðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ñîñòîÿùèì èç êîíå÷íîãî ÷èñëà N ýëåìåíòîâ: Ω = {ω1 , ω2 , .
. . , ωN }. Áîëåå òîãî, ïðåäïîëîæèì,÷òî èç êàêèõ-ëèáî ñîîáðàæåíèé ìû ìîæåì ñ÷èòàòü ýëåìåíòàðíûå èñõîäû равновозможными. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ëþáîãî èç íèõ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé 1/N .Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ÷àùå âñåãî íå èìåþò îòíîøåíèÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è îñíîâàíû íà êàêîé-ëèáî ñèììåòðèè â ýêñïåðèìåíòå (ñèììåòðè÷íàÿ ìîíåòà, õîðîøî ïåðåìåøàííàÿ êîëîäà êàðò, ïðàâèëüíàÿ êîñòü). Ëèáî ìû ìîæåì çàðàíåå ñ÷èòàòü èñõîäûýêñïåðèìåíòà ðàâíîâîçìîæíûìè, íî òîãäà ðàíî èëè ïîçäíî âñå ðàâíî âîçíèêíåò âîïðîñ î ñîîòâåòñòâèè òàêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðåàëüíîìó ýêñïåðèìåíòó.Åñëè ñîáûòèå A = {ωi1 , . . .
, ωik } ñîñòîèò èç k ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, òî âåðîÿòíîñòüýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíÿåòñÿ îòíîøåíèþ k/N :P(A) = p(ωi1 ) + . . . + p(ωik ) = k ·|A|1=,N|Ω|ãäå ñèìâîëîì |A| îáîçíà÷åíî ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A.7Îïðåäåëåíèå 7.Ãîâîðÿò, ÷òî ýêñïåðèìåíò óäîâëåòâîðÿåò классическому определению вероятности (èëè êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòíîé ñõåìå), åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà |Ω| = N ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåP(A) =|A|,|Ω|íàçûâàåìîé классическим определением вероятности. Ýòà ôîðìóëà ÷èòàåòñÿòàê: «âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà èñõîäîâ, благоприятствующих ñîáûòèþ A, ê îáùåìó ÷èñëó èñõîäîâ».Çàìå÷àíèå 4. Ïîëåçíî ïîìíèòü êëàññè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó ßêîáà Áåðíóëëè: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целого»(Ars Conjectandi, 1713 ã.)Çàìå÷àíèå 5.
Ìû âèäèì òåïåðü, ÷òî ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòè â êëàññè÷åñêîé ñõåìå ñâîäèòñÿ ê ïîäñ÷åòó ÷èñëà «øàíñîâ» (ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ), áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ êàêîìóëèáî ñîáûòèþ, è îáùåãî ÷èñëà øàíñîâ. Êàê ïðàâèëî, ýòî äåëàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëêîìáèíàòîðèêè.Ðàññìîòðèì îïèñàííûå â ïàðàãðàôå 1.1 óðíîâûå ñõåìû. Íàïîìíèì, ÷òî ðå÷ü èäåòîá èçâëå÷åíèè k øàðèêîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé n øàðèêîâ. Ïðè ýòîì òðè ñõåìû: ñâîçâðàùåíèåì è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà, áåç âîçâðàùåíèÿ è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà, à òàêæå áåçâîçâðàùåíèÿ è áåç ó÷åòà ïîðÿäêà óäîâëåòâîðÿþò êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè. Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â ýòèõ ñõåìàõ ïîäñ÷èòàíî â òåîðåìàõ 4, 2,3 è ðàâíî, ñîîòâåòñòâåííî, nk , Akn , Cnk .×åòâåðòàÿ æå ñõåìà — ñõåìà âûáîðà ñ âîçâðàùåíèåì è áåç ó÷åòà ïîðÿäêà — èìååòçàâåäîìî неравновозможные èñõîäû.Ïðèìåð 5.
Ðàññìîòðèì, ñêàæåì, âûáîð äâóõ øàðèêîâ èç äâóõ èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,äâàæäû ïîäáðîñèì ìîíåòó. Åñëè ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê, òî èñõîäîâ ïîëó÷èòñÿ 4, è âñå îíèðàâíîâîçìîæíû, òî åñòü èìåþò âåðîÿòíîñòü ïî 1/4:(ãåðá,ãåðá), (ðåøêà,ðåøêà), (ðåøêà,ãåðá), (ãåðá,ðåøêà).Åñëè ïîðÿäîê íå ó÷èòûâàòü, òî ñëåäóåò îáúÿâèòü äâà ïîñëåäíèõ èñõîäà îäíèì è òåìæå ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà, è ïîëó÷èòü òðè èñõîäà âìåñòî ÷åòûðåõ: âûïàëîäâà ãåðáà, ëèáî äâå ðåøêè, ëèáî îäèí ãåðá è îäíà ðåøêà.Ïðè ýòîì ïåðâûå äâà èñõîäà èìåþò âåðîÿòíîñòü 1/4, à ïîñëåäíèé — âåðîÿòíîñòü1/4+1/4=1/2.Óïðàæíåíèå 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
