lect-terver (1082434), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

— ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íîé è íåíóëåâîé äèñïåðñèåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Eξ1 è ÷åðåç σ 2 — äèñïåðñèþ Dξ1 . Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîSn − naξ1 + · · · + ξn − na√√=⇒ N0,1 .σ nσ nξi − aÂâåäåì ñòàíäàðòèçîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ζi =— íåçàâèñèìûå ñ. â. ñ íóσëåâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè è åäèíè÷íûìè äèñïåðñèÿìè. Ïóñòü Zn åñòü èõñóììà Zn = ζ1 + · · · + ζn = (Sn − na)/σ. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîZ√n ⇒ N0,1 .n√Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âåëè÷èíû Zn / n ðàâíànttΦ4Φ3√√√ϕZn / n (t) = ϕZn= ϕ ζ1.nn89(25)Õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñ.

â. ζ1 ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà, â êîýôôèöèåíòàõ êîòîðîãî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå ìîìåíòû Eζ1 = 0, Eζ1 2 = Dζ1 = 1. Ïîëó÷èìt2t2Eζ1 2 + o(t2 ) = 1 − + o(t2 ).22√Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå, âçÿòîå â òî÷êå t/ n, â ðàâåíñòâî (25) è óñòðåìèì n ê áåñêîíå÷íîñòè. Åùå ðàç âîñïîëüçóåìñÿ çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì.n 2 n 2tt2ttϕZn /√n (t) = ϕζ1 √= 1−+o→ exp −ïðè n → ∞.2nn2nΦ6ϕζ1 (t) = 1 + it Eζ1 − ïðåäåëå ïîëó÷èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà.Ïî òåîðåìå î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ñëàáîé ñõîäèìîñòèZS − na√n = n √⇒ N0,1nσ nðàñïðåäåëåíèé ñòàíäàðòèçîâàííûõ ñóìì ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ,÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â ÖÏÒ.Ïîïðîáóéòå òåïåðü ñàìè:Óïðàæíåíèå 31.

Ïóñòü ïðè ëþáîì λ > 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξλ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè, äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûξλ − λ√λñëàáî ñõîäÿòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðè λ → ∞.Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ. â.

ξλ âû÷èñëåíà â ïðèìåðå 54.90Ðàçäåë 16.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÏóàññîíàÍàì îñòàëîñü äîêàçàòü òåîðåìó Ïóàññîíà.  äîêàçàòåëüñòâî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿòîëüêî ñâîéñòâà óñòîé÷èâîñòè áèíîìèàëüíîãî è ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñóììèðîâàíèÿ. Íèêàêèå ðàçäåëû, ñâÿçàííûå ñ ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñ.

â., ñõîäèìîñòÿìè èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, íàì â äîêàçàòåëüñòâåíå ïîíàäîáÿòñÿ.Âñïîìíèì óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ìû ñîáðàëèñü äîêàçûâàòü. Òåïåðü, êîãäà ìûçíàêîìû ñ òåðìèíîì «ðàñïðåäåëåíèå», ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ïóàññîíà òàê:Òåîðåìà Ïóàññîíà ñ îöåíêîé ïîãðåøíîñòèÏóñòü A ⊆ {0, 1, 2, . . .

, n} — ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ÷èñåë, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà νn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn,p ñ ïàðàìåòðàìè n è p, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà µn èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = np. Òîãäà XX λkλ2n−k| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | = Cnk pk (1 − p)−e−λ 6 np2 =.k!nk∈Ak∈AÈíà÷å ãîâîðÿ, òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîsup | P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 np2 .AÄîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì, èñïîëüçóÿ òàê íàçûâàåìûé «ìåòîä îäíîãî âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà». Íàì íóæíî îöåíèòü ñâåðõó ðàçíèöó ìåæäó äâóìÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè, àèìåííî: äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A ⊆ {0, 1, 2, . . . , n} ðàçíèöó ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâî A áèíîìèàëüíîé (ñ ïàðàìåòðàìè n è p) è ïóàññîíîâñêîé(ñ ïàðàìåòðîì np) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî îöåíèòü âåëè÷èíîé np2 .Çàìåòèì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ðàçíîñòü XkXλCnk pk (1 − p)n−k −e−λ | P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | = k!k∈Ak∈Aíèêàê íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì îáðàçîì âåëè÷èíû νn è µn âçàèìîñâÿçàíû è íà êàêîìâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû, åñëè òîëüêî îäíà èç ýòèõ âåëè÷èí èìååò áèíîìèàëüíîå, à âòîðàÿ — ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóæíûìè ïàðàìåòðàìè.

Ñîâìåñòíîåðàñïðåäåëåíèå ýòèõ âåëè÷èí òóò íèêàê íå ó÷àñòâóåò, ïîýòîìó äàííàÿ ðàçíîñòü íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàìåíèòü νn è µn íà другие ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ òåìè æå ðàñïðåäåëåíèÿìè.Ïåðâîå, ÷òî ìû ñäåëàåì — äîêàæåì, ÷òî äëÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η (ãäå óãîäíîçàäàííûõ) «ðàññòîÿíèå ìåæäóòî åñòü supA | P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) |, íå ðàñïðåäåëåíèÿìè»,˜ η̃ ñ äàíáîëüøå, ÷åì âåðîÿòíîñòü P ξ˜ 6= η̃ äâóì произвольным ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì ξ,íûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè íå ñîâïàäàòü. Ïîíÿòíî, ÷òî ýòè íîâûå ñ.

â. äîëæíû áûòü çàäàíûíà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, è íàèëó÷øàÿ îöåíêà ñâåðõó ïîëó÷èòñÿ, åñëè íàì˜óäàñòñÿ так задать на одном вероятностном пространстве с. в. ξ, распределенную какξ, и η̃, распределенную как η, чтобы вероятность P ξ˜ 6= η̃ была наименьшей.91Ëåììà 9 (Íåðàâåíñòâî êàïëèíãà).

Ïóñòü ξ è η — ïðîèçâîëüíûå ñ. â. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ˜ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíà ñ ξ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η̃ îäèíàêîâî ðàñïðåäå˜ η̃ çàäàíû íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäàëåíà ñ η, è âåëè÷èíû ξ,sup | P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) | 6 P ξ˜ 6= η̃ .A⊆RÇàìå÷àíèå 28. Каплингом (coupling) äâóõ ñ. â. ξ è η íàçûâàþò çàäàíèå íà îäíîì˜ ðàñïðåäåëåííîé êàê ξ, è η̃, ðàñïðåâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ,äåëåííîé êàê η.Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà êàïëèíãà. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì P(C) = P(C ∩B)+P(C ∩ B), à òàêæå òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ñîáûòèé íå ïðåâîñõîäèò âåðîÿòíîñòè ëþáîãî èç íèõ. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊆ RP(ξ ∈ A) = P ξ˜ ∈ A = P ξ˜ ∈ A, ξ˜ = η̃ + P ξ˜ ∈ A, ξ˜ 6= η̃ == P η̃ ∈ A, ξ˜ = η̃ + P ξ˜ ∈ A, ξ˜ 6= η̃ 66 P (η̃ ∈ A) + P ξ˜ 6= η̃ = P (η ∈ A) + P ξ˜ 6= η̃ ,òî åñòüP(ξ ∈ A) − P (η ∈ A) 6 P ξ˜ =6 η̃ .Ïîìåíÿåì ìåñòàìè ξ è η è ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊆ R| P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) | 6 P ξ˜ 6= η̃ .Çàéìåìñÿ çàäàíèåì íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå âåëè÷èí ν̃n è µ̃n , ðàñïðåäåëåííûõ êàê νn è µn , ñîîòâåòñòâåííî.Ïóñòü ξ1 , .

. . , ξn — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p. Òîãäà èõ ñóììà ν̃n = ξ1 + . . . + ξn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p, òî åñòü îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíà ñ νn .Ïóñòü η1 , . . . , ηn — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì p. Òîãäà èõ ñóììà µ̃n = η1 + . . . + ηn òàêæå èìååò ðàñïðåäåëåíèåÏóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì, ðàâíûì ñóììå ïàðàìåòðîâ ñëàãàåìûõ, òî åñòü np, è îäèíàêîâîðàñïðåäåëåíà ñ µn . Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè íàáîðû ñ. â. ñðàçó çàäàíû íà îäíîìâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, è ïîçæå ïîñòðîèì èõ.Òîãäà, â ñèëó íåðàâåíñòâà êàïëèíãà,!nnXX| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 P (ν̃n 6= µ̃n ) = Pξi 6=ηi .i=1i=1Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî åñëè äâå ñóììû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ñëàãàåìûìè íå ðàâíû äðóãäðóãó, òî õîòÿ áû îäíî ñëàãàåìîå â ïåðâîé ñóììå îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî â äðóãîé ñóììå (èíà÷å...).

Ïîýòîìó!!nnnnXX[X| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 Pξi 6=ηi 6 P{ξi 6= ηi } 6P (ξi 6= ηi ) . (26)i=1i=1i=1i=1 ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå èñïîëüçîâàíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü îáúåäèíåíèÿ íå ïðåâîñõîäèòñóììû âåðîÿòíîñòåé.Îñòàëîñü òåïåðü òàê çàäàòü íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ξi è ηi , ÷òîáûìèíèìèçèðîâàòü P (ξi 6= ηi ).92Ïóñòü ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω åñòü n-ìåðíûé êóá, ñòîðîíû êîòîðîãî— îòðåçêè [0, 1] íà îñÿõ êîîðäèíàò, âåðîÿòíîñòü åñòü ïðîñòî ìåðà Ëåáåãà, çàäàííàÿ íàσ-àëãåáðå áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ.Вот ровно сейчас тот, кто поленился о них прочитать, должен об этом пожалеть!Òî åñòü ìû íàóäà÷ó âûáèðàåì òî÷êó ω = (ω1 , . .

. , ωn ) â êóáå, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,êàæäóþ èç êîîðäèíàò ωi âûáèðàåì íàóäà÷ó è íåçàâèñèìî îò äðóãèõ íà [0, 1].Ïîñòðîèì äëÿ êàæäîãî i = 1, . . . , n ïî ωi ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi = ξi (ωi ) è ηi = ηi (ωi ) ñíóæíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, ÷òîáû îíè, ê òîìó æå, ñîâïàäàëè ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ.Ïîëîæèì(0, åñëè 0 6 ωi < 1 − p,ξi (ωi ) =1, åñëè 1 − p 6 ωi 6 1.Ýòà ñ. â. èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè: P(ξi = 0) = P(0 6 ωi < 1 − p) = 1 − p,P(ξi = 1) = P(1 − p 6 ωi 6 1) = p.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ηi äîëæíà èìåòü ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì p, òîpk −påñòü pk = P(ηi = k) =eïðè k = 0, 1, 2, . .

. . Ñóììà ýòèõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1,k!ïîýòîìó ìîæíî ðàçáèòü тот же самый îòðåçîê [0, 1] íà îòðåçêè, äëèíà k-ãî èç êîòîðûõðàâíà pk ïðè k = 0, 1, 2, . . . , è ïîëîæèòü ηi = k, åñëè ωi ïðèíàäëåæèò îòðåçêó ñ íîìåðîìk:...6321p2+p1+p0p1+p0p−e=p0 p1−...0,1,ηi2,ηi (ωi ) =...k,ξi. . .-åñëè 0 6 ωi < p0 ,åñëè p0 6 ωi < p0 + p1 ,åñëè p0 + p1 6 ωi < p0 + p1 + p2 ,åñëè p0 + . . . +pk−1 6 ωi < p0 + . . . +pk ,1 ωiÑ î÷åâèäíîñòüþ, ïîëó÷èì ñ.

â. ñ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà:P(ηi = k) = P(p0 + . . . + pk−1 6 ωi < p0 + . . . + pk−1 + pk ) = pk ,k = 0, 1, 2, . . . .61@e−p@1@@−pp0 −pÎòìåòèì, ÷òî p0 =e = e−p . Äîêàæåì, ÷òî0!e−p > 1 − p ïðè p > 0.0@1@Äåéñòâèòåëüíî,à) ïðè p = 0 çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ñîâïàäàþò: e−0 = 1 − 0 = 1;á) ïðîèçâîäíûå â íóëå ó e−p è 1 − p òàêæå ñîâïàäàþò (è ðàâíû −1)â) ïðè p = 1 ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå ïðàâîé: e−1 > 1 − 1 = 0;93-pã) ôóíêöèÿ e−p âûïóêëà (åå ïðîèçâîäíàÿ îòðèöàòåëüíà âñþäó), òàê ÷òî êîñíóâøèñüîäíàæäû ïðÿìîé 1 − p, îíà åå íå ïåðåêàåò íèãäå, îñòàâàÿñü âñåãäà áîëüøå.Ïîñìîòðèì, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñ.

â. ξi è ηi íå ñîâïàäàþò. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè1 − p 6 ωi < e−p — íà ýòîì èíòåðâàëå ξi = 1, à ηi = 0, à òàêæå ïðè ωi > p0 + p1 = e−p + pe−p— íà ýòîì èíòåðâàëå ξi = 1, à ηi > 2. ÏîýòîìóP(ξi 6= ηi ) = P(1 − p 6 ωi < e−p èëè e−p + pe−p 6 ωi 6 1) == e−p − (1 − p) + 1 − e−p + pe−p = p 1 − e−p 6 p2 . ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ìû ñíîâà âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî e−p > 1 − p, èëè 1 − e−p 6 p.Èòàê, ïðè êàæäîì i = 1, . .

. , n ìû ïîñòðîèëè ïàðó ñ. â. ξi , ηi , îòëè÷àþùèõñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ íå áîëåå p2 . Ïðè ðàçíûõ i ýòè ñ. â. íåçàâèñèìû, òàê êàê ïîñòðîåíû ïîíåçàâèñèìûì êîîðäèíàòàì òî÷êè, âûáðàííîé íàóäà÷ó â êóáå. Îêîí÷àòåëüíî, èç íåðàâåíñòâà (26) ïîëó÷èì:| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6nXi=194P (ξi 6= ηi ) 6 np2 .Ïðèëîæåíèå.Çíàêîìüòåñü — ìàêñèìóì èìèíèìóì ýòîì ðàçäåëå, êîòîðûé íèêîãäà íå áóäåò ïðî÷èòàí íà ëåêöèÿõ, õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òîýòà òåìà ïîäðîáíî ðàçáèðàåòñÿ íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ, ìû ïîãîâîðèì î «ìàêñèìóìåè ìèíèìóìå èç n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí».

Âäóì÷èâûé ÷èòàòåëü óæå ñìîã äîãàäàòüñÿ, ÷òî êêëóáó «Ìàêñèìèí» ÝÔ ÍÃÓ äàííàÿ òåìà êàñàòåëüñòâà íå èìååò.Ïóñòü ñ. â. ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . . íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, Fξ1 (x) — èõîáùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå ¹ N. Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ϕn = max{ξ1 , . . . , ξn } íàçîâåì максимумом,à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ψn = min{ξ1 , . . . , ξn } — минимумом èç n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ1 , ξ2 , . . . , ξn .Çàìå÷àíèå ¹ N. Çàìåòèì íà âñÿêèé ñëó÷àé, ÷òî ϕn (ω) = max{ξ1 (ω), .

. . , ξn (ω)}, òàê÷òî ϕn íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì èñõîäå ñîâïàäàåò с одной из ξi , 1 6 i 6 n, íî ни с однойèç íèõ íå ñîâïàäàåò при всех ω (åñëè ñ. â. íåçàâèñèìû).Óïðàæíåíèå ¹ N. Äîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ìàêñèìóìó èç ïåðâûõ n независимыхи одинаково распределенных ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ, ê ïðèìåðó, ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå, ðàâíÿòüñÿ ïåðâîé èç íèõ (èëè ëþáîé äðóãîé), åñòü 1/n:P(max{ξ1 , . . . , ξn } = ξ1 ) =1= P(ξ1 > ξ2 , .

Характеристики

Список файлов лекций