XX Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций (1081437), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Задача о минимизации дисбаланса на автоматической линии. Фармацевтическая фабрика освоила производство нового бальзама, запустив автоматическую линию, на которой д.З. Задачи, приводящие к задачам линейного программирования 73 ;специальным образом обрабатывается смесь равных частей экстрактов календулы, мяты и зверобоя. Эти экстракты 'поставляют две фирмы, использующие различные технологии оборудование. Производительность этих фирм по выпуску каждого из экстрактов и максимальный суммарный ресурс ;времени, которым располагает в течение недели каждая из них для производства этих экстрактов, приведены в табл.
2.2. Фабрика заинтересована в максимально возможном увели'чении выпуска своей продукции, что фактически эквивалентно ~яннимизации дисбаланса автоматической линии вследствие не- атки одного или двух видов экстрактов. Необходимо опреде- нть еженедельные затраты времени (в часах) на производство 1яаждого из трех видов экстрактов на каждой фирме, обеспечийаюшие максимально возможный объем производства бальзама удовлетворяющие ограничениям по использованию времен41ых ресурсов этих фирм. Пусть х; — недельный фонд времени (в часах), выделенный а фирме г = 1, 2 для производства экстракта З' = 1, 2, 3, где ачение 2' = 1 сответствует экстракту календулы, 2' = 2— стракту мяты и З = 3 — экстракту зверобоя.
Тогда, согласно иным, представленным в табл. 2.2, объемы производства для ждого из экстрактов будут равны: экстракт календулы (З'= 1): фы+бхм, экстРакт мЯты (2 = 2): 5х1з+ 12хзз; экстракт зверобоя () = 3): 10х1з+4хзз. 75 74 г. ОснОВы линейнОГО пРОГРАммиРОВАниЯ Вопросы и задачи Смесь, поступающая на автоматическую линию, должна состоять из равных частей трех экстрактов. Поэтому объем производства бальзама лимитируется тем экстрактом, объем производства которого минимален, и определяется следующим образом: ппп18хп + бхгг,. 5х|г + 12хгг; 10х1з+ 4хгз) С учетом ограничений на максимальный суммарный ресурс времени для каждой из фирм, производяших экстракты, хм+ хгг+х1з < 100, хг1+хгг+хгз < 80 и естественных ограничений, связанных с условием неотрицательности управляемых переменных, хИ >О, г = 1, 2, у = 1, 2, 3, приходим к математической модели ппп18хп + бхг1, 5х1г+ 12хгг, 10х1з+ 4хгз) -+ шах; хп+х1г+хгз < 100, *гг+хгг+хгз (80, хб ~) О, 1 = 1, 2, 1 = 1, 3, которая формально не имеет отношения к задачам линейного программирования из-за характера целевой функции.
Для преобразования рассматриваемой задачи к задаче линейного программирования доста~очно целевую функцию заменить другой, введя дополнительное переменное х и дополнительные ограничения: х — ~ шах; 8х11+бхг1 — х ) О, 5хгг+ 12хгг — х > О, 10х1з+4хгз — х > О, х > О. Н результате получим следующую задачу линейного програм- мирования: х-+ шах; хы+х1г+х1з(100, хгг+хгг+хгз(80, 5хгг+12хгг — х > О, 10хьз+4хгз — х > О, х;.
> О, 1= 1, 2, г'= 1, 3, х > О. бхы+бхг1 — х > О, Итак, задача о минимизации дисбаланса на автоматической линии может быть сформулирована как задача линейного программирования. Задачи, рассмотренные в этом параграфе, дают представление о возможных сферах применения методов линейного программирования.
Каждая задача в определенном смысле |вляется задачей распределительного типа и, кроме того, согагггической задачей исследования операций. Построение математических моделей этих задач имеет специфические особенности, связанные с выбором управляемых переменных, а также с формированием целевой функции и системы ограничений. Вопросы и задачи 2.1.
Можно ли утверждать, что любая задача линейного программирования является задачей распределительного типа? ответ аргументируйте. 2.2. Какие допущения используют для представления задаЪи исследования операций как задачи линейного программиро' ния? Какое из этих допущений будет нарушено, если в 12.3) = сь(хь)? 2.3. Пусть для некоторой задачи исследования операций по1строена математическая модель вида 12.1). Почему необходим 1анализ этой математической модели на чувствительность для: 1а) разработчика этой модели; б) „лица, принимающего решемия"? Вопросы и задачи Таблица 2.3 ?6 г. ОснОВы линейнОГО ПРОГРАммиРОВАпиЯ 2.4..Изменится ли оптимальное решение задачи линейного программирования (2.1), если во всех ограничениях, за исключением требований неотрицательности управляемых переменных, знаки „ >" и „<" заменить знаком „= ? 2.5. Возможны ли случаи неединственности решения задачи линейного программирования? Если такие случаи возможны, то различаются ли значения целевой функции, соответствующие различным оптимальным решениям? 2.6.
В чем заключается принципиальное различие между активными и пассивными ограничениями задачи линейного программирования? 2.7. Всегда ли применение геометрического метода решения задачи линейного программирования предполагает представление этой задачи в стандартной форме? 2.8. В каких случаях переход от задачи линейного программирования в стандартной форме (2.5) к задаче общего вида (2.1) не является однозначным? 2.9. В условиях примера 2.1 формализуйте следующие ограничения: а) суточный расход исходного продукта А не может превышать 6 т и быть меньше 3 т; б) спрос на лак для наружных работ не может быть меньше, чем спрос на лак для внутренних работ.
Ответ: а) хг+ 2хг < 6 и х1+2хг > 3; б) хг — хг > О. 2.10. Для задачи из примера 2.1 проверьте, являются ли т т допустимыми следующие решения: а) Х =(1 4); б) Х =(2 2); в) Х = (10,/3 4/3); г) Х = (2 — 1) Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет. 2.11. Используя множество допустимых решений с, изображенное на рис.
2.3, найдите оптимальное решение при следу- юШих целевых фУнкциях: а) 1 = Зхг+хг, б) 1 = Зхг+1,5хг; в) г =хг+2хг. Ответ: а) Х* = (4 0); б) Х' = (4 — 0,5Л Л), Л Р [0,4(з! в)Х*=(2 2) . 2.12. Пусть в задаче линейного программирования заданы ограничения 2хг+4хг < 16, — 4хг+2хг <8, х1+Зхг >О, х > О, х >О т и целевая функция г(Х) = хг+хг, где Х = (х1 хг) . Найдите такие векторы Х* н Х", что 1(Х") = шахД(Х) и 1(Х *) = ХЕС = ппп 1(Х). ХЕО Ответ: Х"=(6 1);Х'"=(О 3) . 2.13. Предприятие имеет возможность реализовать не более четырех технологических процессов одновременно, причем технологические процессы Пг и Пг используются для производства продукта А, а технологические процессы Пз и П4 — для производства продукта В.
Расходы, связанные с реализацией каждого технологического процесса, определяются трудозатратами (в человеко-неделях), а также количествами (в килограммах) материалов М и 1т', потребляемых в течение недели. Основные производственно-экономические показатели приведены в табл. 2.3, где доходы от производства 1 кг продукта выражены в условных денежных единицах и зависят как от вида продукта, так и от используемого технологического процесса. 79 Вопросы и задачи Ответ: х -+ днах; Таблица х.л 4 6 2 12 78 г. ОснОВы линейнОГО НРОГРА ммиРОВАниЯ Постройте математическую модель задачи о планировании производства с целью получения наибольшего дохода.
Ответ: 4хд + 5хг + 9хз + 11х4 -+ шах; хд+ хг+ хз+ х4 < 15, 7хд + 5хг+ Зхз+ 2х4 ( 120, Зх д + 5хг + 10хз + 15х4 ( 100, хь>0, дс=1,4, где хд и хг — объемы производства продукта А с использова- нием технологических процессов П, и Пг соответственно; хз и х4 — объемы производства продукта В с использованием тех- нологических процессов Пз и П4 соответственно. 2.14. Птицеводческая фабрика имеет воэможность закупать до трех ингредиентов, используемых для приготовления кормовой смеси, расход которой составляет не менее 20000кг в неделю. По используемой технологии выращивания цыплят эта смесь должна содержать: а) не менее 0,8%, но и не более 1,2% кальция; б) не менее 22% белка; в) не более 5% клетчатки. Постройте математическую модель задачи минимизации недельных затрат на закупки ингредиентов для приготовления кормовой смеси, соответствующей используемому технологическому процессу.
Данные, характеризующие стоимость 1 кг каждого ингредиента (в условных денежных единицах) и содержание в нем (по весу в 1 кг) питательных веществ (кальций, белок, клетчатка), представлены в табл. 2.4. 480хд + 1800хг+ 4800хз -+ ппп; хд + хг + хз ) 20000, 0,372хд — 0,007хг — 0,006хз ) О, 0,368хд — 0,011хг — 0,01хз ( О, 0,22хд + 0,13хг — 0,27хз ( О, 0,05хд+0,03хг — 0,03хз) 0 хь > О, 7с = 1, 3. где хя — объем закупок известняка (й = 1), зерна (дс = 2) и соевых бобов (й = 3) в неделю, кг. 2.15.
Постройте математическую модель задачи о минимизации дисбаланса на автоматической линии (см. 2.3), если в ее условиях смесь должна состоять из одной части экстракта календулы, двух частей экстракта мяты и четырех частей экстракта зверобоя. Ответ: хдд + хдг+ хдз ( 100, хгд+ хгг+ хгз < 80, 8хы+бхгд — х > О, 5хдг+12хгг — 2х > О, 10хдз+4хгз — 4х > О, хб > О, д = 1, 2, д = 1, 3, х > О.
2.16. На хлебокомбинатах с номерами д = 1, 2, 3 производится 110, 190 и 90 т муки соответственно. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами с номерами д = 1, 2, 3, 4, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80т муки. Стоимость перевозки 1т муки (в условных единицах) определяется матрицей, в которой элемент д-й строки ~-го 'столбца равен стоимости перевозки с д-го хлебокомбината на у-й хлебозавод: 81 Вопросы и задачи 80 3. ОснОВы линейнОГО пРОГРАммиРОВАниЯ Постройте математическую модель задачи о минимизации транспортных расходов.
Ответ: если х„— объем поставок муки (в тоннах) с 1-го хлебокомбнната на 1-й хлебозавод, то 8хы +х1з+9хьз+7Х14+4хз1 + бхзз+ 2хзз+ + 12хз4+ Зхз1+ 5хзз+ 8хзз+ 9хз4 — 1 ш1п; 4 4 ~~1 хз1 = 190, )1 хз1 —— 90, ,1=1 1=1 з з ~~1 хьз — — 60, ~1 х1з = 170, ~~> Х1 1=1 з ',1 Х1 Еа1 з Х14 = 110, =80, х,, ) О, 1=1,3,,У =1,4. = 80, 2.18. Фирма производит и реализует два вида продукции: А и В. Объем сбыта продукции вида А составляет не менее б0% общего объема реализации всей продукции. Для изго- 2.17.
Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионные сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 5 500 условных денежных единиц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 условных денежных единиц, а каждая минута телерекламы — в 100 условных денежных единиц. Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в 2 раза чаще, чем телесеть, исходя из своих конъюнктурных соображений.
Опыт показал, что одна минута телерекламы обеспечивает объем сбыта продукции, в 25 раз превышающий объем сбыта продукции, обеспечиваемый одной минутой радиорекламы. Найдите оптимальное (в смысле максимизации объема сбыта своей продукции) распределение финансовых средств между теле- и радиорекламой. От нет: на радиорекламу — 500 условных денежных единиц, на телерекламу — 5 000. товления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 120 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 кг, а на единицу продукции В— 4кг. Цена единицы продукции (в условных денежных единицах) вида А равна 20, а вида  — 40, Найдите оптимальное (в смысле максимального дохода фирмы от реализации производства продукции) распределение сырья для изготовления продукции вида А и вида В.
Ответ: на изготовление продукции вида А необходимо 40 кг сырья, а на изготовление продукции вида  — 80 кг сырья. 2.19. Для производства двух видов продукции А и В предприятие использует трн вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида (в килограммах на единицу объема производимой продукции) приведены в табл. 2.5. Там же указано крлнчество сырья каждого вида, которое может быть использовано как цри производстве продукции вида А, так и при производстве продукции вида В. Прибыль предприятия от производства единицы объема продукции вида А равна 30, а от производства единицы объема продукции вида  — 40 (в условных денежных единицах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
